第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．[2018·濟(jì)寧模擬]直線l1，l2平行的一個(gè)充分條件是()A．l1，l2都平行于同一個(gè)平面B．l1，l2與同一個(gè)平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一個(gè)平面答案D解析對A，當(dāng)l1，l2都平行于同一個(gè)平面時(shí)，l1與l2可能平行、相交或異面；對B，當(dāng)l1，l2與同一個(gè)平面所成角相等時(shí)，l1與l2可能平行、相交或異面；對C，l1與l2可能平行，也可能異面，只有D滿足要求．故選D.2．[2018·太原期末]已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l()A．平行B．相交C．垂直D．異面答案C解析直線l與平面α斜交時(shí)，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A錯(cuò)誤；l?α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l異面的直線，∴D錯(cuò)誤；l∥α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l相交的直線，∴B錯(cuò)誤．無論哪種情形在平面α內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直．故選C.3．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案B解析解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，并且相交或異面時(shí)不一定垂直，所以①②錯(cuò)，③顯然成立．解法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)，③正確．故選B.4．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l5.如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．故選D.6．[2018·大連模擬]已知a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c.①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，則必有α⊥β.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C解析①中若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交，故①正確；②中平面α⊥平面β時(shí)，若b⊥c，則b⊥平面α，此時(shí)不論a，c是否垂直，均有a⊥b，故②錯(cuò)誤；③中當(dāng)a∥b時(shí)，則a∥平面β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，故③正確；④中若b∥c，則a⊥b，a⊥c時(shí)，a與平面β不一定垂直，此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直，故④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選C.7.如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).故選D.8.如圖，在三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG.∵E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG為EF與AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°.故選B.9.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.10．[2018·許昌模擬]如下圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直線HG與MN必相交．[B級知能提升]1．[2018·泉州模擬]設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α答案C解析a，b是互不垂直的兩條異面直線，把它放入正方體中如圖，由圖可知A不正確；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，與題設(shè)矛盾，故B不正確；由a?α，且b⊥α，可得a⊥b，與題設(shè)矛盾，D不正確．故選C.2.[2018·赤峰模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行答案D解析如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN與CC1垂直，故A項(xiàng)正確；因?yàn)锳C⊥BD，MN∥BD，所以MN與AC垂直，故B項(xiàng)正確；因?yàn)锳1B1與BD異面，MN∥BD，所以MN與A1B1不可能平行，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.3.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)①A，M，O三點(diǎn)共線；②A，M，O，A1四點(diǎn)共面；③A，O，C，M四點(diǎn)共面；④B，B1，O，M四點(diǎn)共面．答案④解析連接AO，則AO是平面AB1D1與平面AA1C1C的交線．因?yàn)锳1C?平面AA1C1C，M∈A1C，所以M∈平面AA1C1C.又M∈平面AB1D1，所以M4.如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐A－EBC的體積．解(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，∴AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，∴異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).(3)因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為eq\f(1,2)PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×1＝eq\f(\r(3),3).5.[2018·邯鄲一中模擬]已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大小；(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1－BCA1解(1)連接AO，并延長與BC交于點(diǎn)D，則D是BC邊的中點(diǎn)．∵點(diǎn)O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴異面直線AA1與BC1所成的角為∠BC1C∵CC1⊥BC，即四邊形BCC1B1為正方形，∴異面直線AA1與BC1所成角的大小為eq\f(π,4).(2)∵三棱柱的所有棱長都為2，∴可求得AD＝eq\r(3)，AO＝eq\f(2,3)AD＝e