2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.命題“\/%€（0,1）,07>111%”的否定是（)

-<b

A.Vxe(0,l),eT<lnxB.3x0e(0,1),e>Inx0

x

C.叫G(0,1),"與<InX。D.3x0e(0,1),e~0<Inxn

2.在長方體A6CO—4gG2中，AB=\,AD=y/2,胡=石，則直線DD、與平面ABC,所成角的余弦值為（）

「%/15

幣R有叵

A15.------a--D.

235~5~

3.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（)

M-2.

1側(cè)視圖

B.4

3

13

C.—D.5

3

4.已知復(fù)數(shù)z=［二

（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（)

2-1

3_J_3331)

A.，-B.，-C.D.

55555'55,5,

5.已知集合A/={x|x=3","eN*1},N={小=2“,〃eN*},將集合MuN的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一

個(gè)新數(shù)列{c,},則q+C2+。3+…+。35=()

A.1194B.1695C.311D.1095

6,若函數(shù)f(x)=Tnx+x+Q在區(qū)間(,e上任取三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c均存在以/(a),f(b),/(c)為邊長的

三角形，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.I-1,一1IB.I--l,e-3IC.I--l,+oo|D.(e-3,+oo)

7.三棱錐S—ABC中，側(cè)棱底面ABC,AB=5,BC=8,ZB=60°,SA=2下,則該三棱錐的外接球的

表面積為()

64256些萬2048

A.—71B.71C.D.

3327

/(%)=[--x—4,貝！J/(-log36)+/(log354)=

8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為4,當(dāng)龍e[-2,2)時(shí),

()

33,c12,c

B.--log2D.3+1°§32

232

9.已知集合4=卜}=館(2-》)},集合8=卜；42"4卜則AB=()

A.{x|x>-2}B.(x|—2<x<2jC.[x\-2<x<2\D.{x|x<2}

10.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方

案種數(shù)為

A.48B.72C.90D.96

11.若xG(0,1),a=lnx,b=(g)，c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

12.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文

化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻

當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

—

坤0000

—

震0011

—

坎0102

—

兌0113

依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“H”表示的十進(jìn)制數(shù)是()

A.18B.17C.16D.15

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

21

13.已知x〉0,y>0,且一+—=1,則x+2y的最小值是.

14.已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若a-e=2，b-e=3,且“.〃=()，則,+目的取值范圍是.

15.若函數(shù)/(X)=C%2"T—C52.+C：X2"M—+C；(_1)“2"T"+￡；(-1)"N,其中〃e"且〃22,則

八1)=.

16.點(diǎn)■是曲線y=31nx+x+左(ZeR)圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)％的切線方程為4x-y—1=0,則實(shí)數(shù)4的值

為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=1+cosa

17.(12分)曲線G的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

y=sma

系，曲線a的極坐標(biāo)方程為pcos2e=4sin6.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線/與曲線G，C?分別交于4B兩點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求JOBl的取值

范圍.

18.(12分)如圖在直角AABC中，B為直角，AB^IBC,E,尸分別為A3,AC的中點(diǎn)，將AA￡尸沿EE折起,

使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)。的位置，連接30,CD,"為CD的中點(diǎn).

(I)證明：面BCD；

(D)若DE上BE,求二面角E—ME—C的余弦值.

A1E

19.(12分)己知函數(shù)/(無)=，-2X—C0SX.

(1)當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，求證：/(%)>0；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+加(X+D，求證：函數(shù)g(x)存在極小值.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—A3CD中，Q4_L底面ABC。，AD//BC,NABC=90。,

AB^BC^-AD^-PB^2,E為PB的中點(diǎn),b是PC上的點(diǎn).

22

(D若〃平面B4。，證明：EE_L平面Q45.

(2)求二面角6—一C的余弦值.

21.(12分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次不少于4次

收費(fèi)比例0.950.900.850.80

現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)1次2次3次不少于4次

領(lǐng)敵6025105

假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：

(1)估計(jì)1位會員至少消費(fèi)兩次的概率

(2)某會員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤；

(3)假設(shè)每個(gè)會員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩

位會員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對值為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

22.(10分)如圖，在直棱柱ABS—AgGA中，底面A8CO為菱形，AB=BD^2,84=2,BO與AC相

交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)。?

D\G

(D求證：4。，平面8片"。；

(2)求直線06與平面。旦Q所成的角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，對命題進(jìn)行改寫即可.

【詳解】

全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“胃€(0,1),07〉111爐’的否定是：mr°e(0,l),e^winx。.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱命題的否定，難度容易.

2.C

【解析】

在長方體中A3//C|D|,得。。與平面4BCI交于A，過。做。OLAR于。，可證“)_L平面ABGA，可得

/。。質(zhì)為所求解的角，解RtAADR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長方體中AB//C.D.,平面ABC,即為平面ABCQ],

過。做。O_LA。于0,QABJ_平面例。。，

￡><?<=平面/141。1。,..481.。0,431ADt=D,

二。0_L平面ABC^,.-.ZDD.A為。2與平面A8Q所成角,

在Rt^ADD],DD、-=E,AD—\f2,.".AD,=小>

小一人DR6屈

AD、小5

.?■直線。。與平面ABCt所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐A-C〃E放入長方體中，利用體積分割求解即可.

【詳解】

如圖，三棱錐的直觀圖為A-CqE,體積

-

VA-CC|E=%方體AG—匕叫E-A4,F*E-4BC~^E-CCIDI~^E-ADtF-%-AOC

17121

=2x4x2——x2x2x2一一x-x4x2x2——x—x2x2x2=4.

23232

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了錐體的體積的求解，利用的體積分割的方法，考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.

4.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得二的坐標(biāo)得出答案.

【詳解】

解：z_-r.yrT-Z_>

2-i(2-z)(2+z)55

(31A

??.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是w.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

確定｛%｝中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列｛2〃｝中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過比較確定｛3"｝中有多少項(xiàng)可以插入

這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和.

【詳解】

〃=35時(shí)，2x35=70,3"<70,〃43,所以數(shù)列￡｝的前35項(xiàng)和中，儼｝有三項(xiàng)3,9,27,｛2〃｝有32項(xiàng)，所以

32x3]

C1+J+J+…+。35=3+9+27+32x2H-----——x2=1095.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列｛%｝的前35項(xiàng)中有

多少項(xiàng)是｛2〃｝中的，又有多少項(xiàng)是｛3"｝中的.

6.D

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得/（X）在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

/（X）的定義域?yàn)椋∣,+8）,/（X）=_，+1=±L

XX

所以“X）在仁,1）上遞減，在（l,e）上遞增，“X）在X=1處取得極小值也即是最小值，/（l）=-lnl+l+/?=l+/z,

/^-j=-ln-+-+/z=-+l+/2,f（^e）--\ne+e+h-e-l+h,

所以在區(qū)間:,e上的最大值為"e）=e—l+〃.

要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)叫b,c均存在以/（a）,f⑼,/（c）為邊長的三角形，

則需/（。）+/修）>/（。）恒成立，且/⑴>0,

也即［/（a）+/?Ln>/（c）a，也即當(dāng)a=h=l、c=e時(shí)，2/⑴>〃e）成立，

即2（l+〃）>e—l+〃，且/（1）>0,解得〃>e—3.所以〃的取值范圍是（e—3,”）.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.

7.B

【解析】

由題，側(cè)棱SA,底面ABC,AB=5,BC=S,48=60。，則根據(jù)余弦定理可得80=^52+82-2x5x8x；=7,

2rBC7.

.48。的外接圓圓心’—5足8一］8"一石

T

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d=；SA=J?,則外接球的半徑/?=｛：）+1后『=’回，則該三棱

錐的外接球的表面積為S=4?R2=亍7

點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關(guān)鍵.

8.A

【解析】

2

因?yàn)榻o出的解析式只適用于xe[—2,2),所以利用周期性，將/(log354)轉(zhuǎn)化為了(1(毛3§)，再與/(Tog-aG)一起代

入解析式，利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

定義在R上的函數(shù)/(%)的周期為4

.?./(log354)=/(log,54-4)=/(log,|),

當(dāng)xe[-2⑵時(shí)，=

2

loe

一log?6e[-2,2),g3-[-2,2),

???/(-log36)+/(log354)

,1\_電6),1、啕；,2.

-

=(-)-(-log36)-4+(—)log3y-4

,一,3

1峭6ilog,-2

33

=(-)+(§)+(log36-log3-)-8

=6+|+log3(6x|)-8

_3

——.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

9.C

【解析】

求出集合的等價(jià)條件，利用交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：?.，4={小<2},8=3-2?%〈2},

/.Ac8={x|-2?x<2},

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽

①當(dāng)甲參加另外3場比賽時(shí)，共有?A?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有44=24種選擇方案.綜

上所述，所有參賽方案有72+24=96種

故答案為：96

點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】

Vxe(o,1),

",a=lnx<0,

b=(—)lnx>(—)°=1,

22

0<c=el"x<e°=l,

：.a,b,c的大小關(guān)系為b>c>”.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

由題意可知“屯”卦符號“三”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.

【詳解】

由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“II”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為卜2。+k24=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.8

【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

x+2y=(x+2y)f—+—=2+—+—+2>4+2/—?—=8,

"(xy)yxx

當(dāng)且僅當(dāng)土=至?xí)r等號成立.

y%

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.

14.[5,+oo)

【解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.

【詳解】

由e是單位向量.若a.e=2,b.e-3>

設(shè)e=(l,0),

則a=(2,m),6=(3,〃)，

又a?b=0,

則=-6,

貝!+=(5,/M+M),

貝!11a+b|=y/25+(m+n)2,

又(m+〃)2..O,

所以|<j+b|..5,(當(dāng)根=#,〃=-#或根=-#,”=卡時(shí)取等)

即|a+切的取值范圍是15,+oo),

故答案為：[5,+00).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

15.0

【解析】

先化簡函數(shù)/(X)的解析式，在求出了'(X),從而求得r(1)的值.

【詳解】

2n2n+,

由題意，函數(shù)f(x)=cy-'-C'nx+C>-+C；(—1)32"T+，+…

可化簡為/(x)[d-C，+C，—…+6(-1)'￡+…+O"]=x2"T(l—X)",

所以f'(x)=(2n-l)x2n-2(l-x)n-x2n-1n(l-x)n-1=x2n-2(1-x)n-1[2n-1-(3n-l)x],

所以/'⑴=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確求解

導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

16.1

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)《橫坐標(biāo)，再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得A.

【詳解】

設(shè)用(x,y),

由題意V'=e3+1,..3.1+1=4,x=l,y=4xl—1=3,即4(1,3),

xx

，3=31nl+l+3k-2.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0=2cos6,x2=4y；(2)[8,8石).

【解析】

(1)先將曲線G化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：x=pcos0,y=psin0,p-=x2+y2,

可得G極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程;

[TTJT\

(2)由已知可得出射線/的極坐標(biāo)方程為a＜彳，聯(lián)立G和G的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),

從而得出|。4卜|。卻=8tan&,由a的范圍可求得的取值范圍.

【詳解】

(I)曲線G的普通方程為(x—i)2+y2=l,即/+了2一2%=0,

其極坐標(biāo)方程為p~-2/?cos^=0=>p-2cos6；

曲線G的極坐標(biāo)方程為pcos26=4sin6,RPp1cos26=4/?sin6,

其直角坐標(biāo)方程為1=4)，；

[JIJI\

(2)射線/的極坐標(biāo)方程為。,

0=cc6=an/4sina、

聯(lián)立0A(2cosa,a),聯(lián)立2=>8(--------------,a)

夕=2cos80cos~9=4sin。cosa

.?.|OA|-IOB|=2cos?-^^C71,兀

=8tana,—<a<—,/.1<tana<6

cos-a43

：.\0^-\0B\的取值范圍是[8,86)

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和

拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

18.(I)詳見解析；(II)且.

3

【解析】

(I)取D6中點(diǎn)N,連結(jié)MN、EN,四邊形EFMN是平行四邊形，由EFLBE，EFLDE,得砂，平面3DE,

從而MFLMN,求出M尸，8,由此能證明ME，平面BCD.

(D)以E為原點(diǎn)，BE、EF、EO所在直線分別為x,)，，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角

E—ME—C的余弦值.

【詳解】

證明：(I)取。8中點(diǎn)可，連結(jié)MN、EN,

VMN-BC,EF\~BC,

=2=2

四邊形ERWN是平行四邊形，

VEF上BE，EhDE,BEEF=E,

:.E尸1.平面BOE,

:.EFVEN,:.MFLMN,

在AOFC中，DF=FC,

又加為CD的中點(diǎn)，二MFLCD,

又VMFMN=M,M/，平面88.

解：(R)*：DE工BE,DELEF,BEEF=E,

:.￡>E_L平面5EF,

以E為原點(diǎn)，BE、EF、EO所在直線分別為x,二軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)3C=2,貝1JE(O,O,O),尸(0,1,0),C(-2,2,0),M(-1,1,1),

EF=(0,1,0),=(-1,0,1),CF=(2,-l,0),

設(shè)面EMF的法向量m-(x,y,z),

則〈，取x=l,得加=(1,0,1),

m-FM=-x+z=0

同理，得平面CMF的法向量”=(1,2/)，

設(shè)二面角￡—C的平面角為。，

八m-n百

貝！|COS6=「E=T，

Uri3

...二面角E—A/尸—C的余弦值為也.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分

析求解能力，屬中檔題.

19.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)得尸(x)=e"-2+sinx,由e'<e°=l，且sinx—L,0,得到求，(x)<0,再利用函數(shù)f(x)在(一*0)上

單調(diào)遞減論證.

(2)^BJg?j§c^(x)=ex-2x-cosx+ln(x+l),x>-l,求導(dǎo)，令/i(x)=g'(x)=e*+――+sinx-2,易知

x+1

1

用(0)=0h\x)="—+COSX,易知當(dāng)時(shí)，h'(x)>0,h(x)=g\x)>g\0)=0；當(dāng)xe(-LO)

(九+1『

時(shí)，函數(shù)"(x)單調(diào)遞增，而〃'(0)=l,又〃，一4)=)卷+(：05(一得)一1()()<()，由零點(diǎn)存在定理得三無0€[一得，0

使得〃(%)=0,3xe(xo,O),使得〃'(x)>0,有/?(幻=8'(犬)<8'(0)=()從而得證.

【詳解】

(1)依題意，/'(X)="-2+sinx,

因?yàn)閑'<e°=l，且sinx—L,O,故/'(x)<0,

故函數(shù)/(x)在(一%0)上單調(diào)遞減,

故/(x)>/(0)=0.

(2)依題意，g(x)=e*-2x-cosx+ln(x+l),x>-l,

令h(x)=g'(x)=ex-\——-——I-sin%-2,則h(O)=0；

x+1

而h'(x)=ex--~i―+cosx,I71

可知當(dāng)xe[0,5時(shí)，h'(x)>0,

U+l)

故函數(shù)/?(x)在0,、上單調(diào)遞增，故當(dāng)xe0,1時(shí)，h(x)=g'(x)>g'(0)=0.

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，函數(shù)斤(x)單調(diào)遞增，而廳(0)=1,

又^)=)+cos]—得卜1()0<0,故叫e卜片,0),使得"'(%)=0,

故玉e(Xo,O),使得“(x)>0,即函數(shù)單調(diào)遞增，即g'(x)單調(diào)遞增；

故當(dāng)x?Xo,O)時(shí)，g'(x)<g'(0)=0,

故函數(shù)g(x)在(%，0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g(x)有極小值g(0)=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于難題.

20.(1)證明見解析(2)已叵

190

【解析】

(1)因?yàn)锽C//AD,利用線面平行的判定定理可證出平面PAO,利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和

EFHBC,由于小，底面ABCQ,利用線面垂直的性質(zhì)，得出

PA1BC,且AB_LBC,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出BC_L平面加8,即可證出平面Q鉆.

(2)由(1)可知AB,AD,AP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-肛z,標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求

出所需向量，分別求出平面BOP和平面CDP的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出3-包)-。的余弦值.

【詳解】

(D證明：因?yàn)?C〃AO,BCa平面PAD,AOu平面Q4。，

所以BC〃平面PAD,

因?yàn)镻e平面P8C,Pe平面PAO,所以可設(shè)平面平面

又因?yàn)?Cu平面P8C,斫以BC4PM.

因?yàn)镋F7/平面尸AD,EFu平面PBC,

所以EF//PM,從而得EF//BC.

因?yàn)?4,底面A8C。，所以PA_LBC.

因?yàn)橐毅@C=90°,所以AB,8c.

因?yàn)樘B=A,所以平面RS.

綜上，所_L平面

(2)解：由(1)可得AB，AD,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD,AP所在

直線分別為x,九z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

因?yàn)锳8=BC=；AO=；PB=2,所以PA=JPB?-AB?=26，

則3(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,4,0),P(0,0,2?

所以80=(-2,4,0),BP=(—2,0,20)，CD=(-2,2,0),CP=(-2,-2,2^3).

M

設(shè)機(jī)=（Xi，X，zJ是平面的法向量,

\m-BD=Q,|-2X|+4y=0,

由，?。紃

m-BP-0,[―2芭+2＞/3Z]=0,

取玉=2有，得根=(26,班,2).

設(shè)〃=（工2,%，Z?）是平面CDP的法向量,

〃。=0,得—2xo+2%—0,

由*

nCP=0,-2%—2%4-2,X/3Z2—0,

取％=上，得〃=(^3,下＞,2),

"].幾_13^190

所以cos（九n

|,n||n|190

即8-P0—C的余弦值為上叵.

190

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.

2249

21.(1)-(2)22.5(3)見解析，——

5200

【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率;

（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤;

（3）求出各種情況對應(yīng)的X的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

25+10+52

解：（1）估計(jì)1位會員至少消費(fèi)兩次的概率〃=

100-5

(2)第1次消費(fèi)利潤60x0.95-30=27；

第2次消費(fèi)利潤60x0.90-30=24；

第3次消費(fèi)利潤60x0.85-30=21；

第4次消費(fèi)利潤60x0.80—30=18；

這4次消費(fèi)獲得的平均利潤：---------------=22.5

4

327+24127+24+21

(3)1次消費(fèi)利潤是27,概率是不；2次消費(fèi)利潤是不一=25.5概率是上；3次消費(fèi)利潤是匕力十個(gè)=24,

43

概率是4次消費(fèi)利潤是22.5,概率是《；

39

由題意：X=0,-,3,-

22

1

八、3311111

P(X=0)=—x—+—x—+—x--1---x=87

5544101020220200