第十六講：充分必要條件【教學(xué)目標(biāo)】1.理解充要條件的意義.2.會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單的充要條件問(wèn)題.3.能對(duì)充要條件進(jìn)行證明．【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)：充分必要條件1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說(shuō)，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【題型目錄】考點(diǎn)一：充要條件的判斷（一）考點(diǎn)二：充要條件的判斷（二）考點(diǎn)三：既不充分也不必要條件的判斷考點(diǎn)四：充要條件的應(yīng)用（一）考點(diǎn)五：充要條件的應(yīng)用（二）【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：充要條件的判斷（一）例1．是不等式成立的（）條件 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由絕對(duì)值性質(zhì)求得的解集，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】．故選：A．變式訓(xùn)練1．“或”是“”成立的（） A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，解得或，所以由或可推出，由可推出或，所以“或”是“”的充要條件．故選：A．變式訓(xùn)練2．設(shè)命題甲為：，命題乙為：，那么甲是乙的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得，又命題甲為：，所以甲是乙的充要條件，故選：C.變式訓(xùn)練3．“”是“”成立的（） A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】化簡(jiǎn)兩個(gè)不等式，得兩式等價(jià)，根據(jù)充要條件的定義即得結(jié)果.【詳解】等價(jià)于，等價(jià)于，即，兩范圍一致，故兩不等式等價(jià)，“”是“”成立的充要條件.故選：A.考點(diǎn)二：充要條件的判斷（二）例2．已知，，則“”是“”的（） A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，此時(shí)成立，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)成立，即可以推出，反之，若，則中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，若均為負(fù)數(shù)，必然有，若，則，因?yàn)?，則必有，所以可以推出，故“”是“”的充分必要條件.故選：C.變式訓(xùn)練1．設(shè)，是兩個(gè)集合，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】試題分析：若，對(duì)任意，則，又，則，所以，充分性得證，若，則對(duì)任意，有，從而，反之若，則，因此，必要性得證，因此應(yīng)選充分必要條件．故選C．變式訓(xùn)練2．有下述說(shuō)法：①：是的充要條件. ②：是的充要條件. ③：是的充要條件．則其中正確的說(shuō)法有 A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】①:：,顯然是的充要條件是錯(cuò)誤的；②：,顯然是的充要條件是錯(cuò)誤的；③：因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),所以有：,故本說(shuō)法是正確的,故選B變式訓(xùn)練3．已知、，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】，對(duì)任意的，，所以，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.考點(diǎn)三：既不充分也不必要條件的判斷例3．．不等式“”成立，是不等式“”成立的（） A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】由，但，所以由“”不能推出“”；又，但，所以由“”不能推出“”，即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要條件.故選：D變式訓(xùn)練1．“”是“”的（） A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以或，則或，故充分性不成立，若，滿足，但不滿足，必要性不成立，故“”是“”的既不充分又不必要條件.故選：D變式訓(xùn)練2．設(shè)：“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】由得.成立時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的非充分條件；成立時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D變式訓(xùn)練3．設(shè)，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】充分性：若，則可得有三種可能：①兩個(gè)都為正；②一個(gè)為正、一個(gè)為零；③一個(gè)為正、一個(gè)為負(fù)且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，所以或或，故不是的充分條件；必要性:若，則或，故或，故“”不是“”的必要條件.綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.考點(diǎn)四：充要條件的應(yīng)用（一）例4．“一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根”的充要條件是（） A． B． C． D．或【答案】B【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，設(shè)兩根分別為：，故，解得：，故“一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根”的充要條件是.故選：B.變式訓(xùn)練1．設(shè)，則“”的一個(gè)充要條件是（） A．a(chǎn)，b都為2 B．a(chǎn)，b都不為2 C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)為2 D．a(chǎn)，b都不為0【答案】C【分析】根據(jù)充要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】或中至少有一個(gè)為.故選：C變式訓(xùn)練2．“不等式在R上恒成立”的充要條件是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，則不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要條件,故選:A.變式訓(xùn)練3．方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（） A． B． C． D．或【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，時(shí)，則，于是得；當(dāng)時(shí)，，若，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個(gè)實(shí)根，必有，此時(shí)與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，必有.所以方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是.故選：C考點(diǎn)五：充要條件的應(yīng)用（二）例5．設(shè)集合，；(1)用列舉法表示集合；(2)若是的充要條件，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要條件，則，，.變式訓(xùn)練1．已知且，，若p是q的充要條件，則實(shí)數(shù)m的值是（） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】由已知，，由p是q充要條件得，因此解得，故選：C.變式訓(xùn)練2．已知命題，命題.（1）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）集合，集合.因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以，∴集合可以分為或兩種情況來(lái)討論：當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，要使成立，需滿足，綜上所得，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件，那么，則必有，解得，綜合得無(wú)解.故不存在實(shí)數(shù)，使得，即不存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件.變式訓(xùn)練3．已知，求證：是的充要條件.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】設(shè)，，先證充分性：∵，∴，即，∵，，∴，即；再證必要性：∵，∴，∴；綜上：是的充要條件.【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)充要條件概念的理解．(2)充要條件的證明．(3)充要條件的應(yīng)用．2．方法歸納：等價(jià)轉(zhuǎn)化．3．常見(jiàn)誤區(qū)：條件和結(jié)論辨別不清．【課后作業(yè)】1、“”是“”的（） A．必要不充分條件 B．既不充分又不必要條件 C．充分不必要條件 D．充要條件【答案】D【詳解】是兩個(gè)集合，則“”可得“”，“”，可得“”.所以是兩個(gè)集合，則“”是“”的充要條件.故選：D.2、設(shè)為全集，則“”是“”的（）． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因?yàn)闉槿?，則；若，則；所以“”是“”的充要條件.故選：C.3、設(shè)，則是的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若，則根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去1，不等式符號(hào)不變，所以，成立，則成立，充分性成立；成立，根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上1，不等式符號(hào)不變，所以，成立，則成立，必要性成立；所以，是的充要條件故選C4、已知：，：，則是的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】D【詳解】：，，：，所以，且，所以是的充要條件.故選：D.5、“”是“”成立的（） A．充要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【詳解】∵“不等式，不等式，∴兩不等式解集相等，∴“”是“”成立的充要條件，故選A．6、設(shè)是的充分條件，是的充要條件，是的必要條件，是的充分條件，那么是的（）條件. A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．充分必要條件【答案】D【詳解】因?yàn)槭堑某浞謼l件，是的充要條件，所以是的充分條件，即成立.又因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以是的充分條件，即，因?yàn)閠是r的充分條件，，所以，即是的充要條件.故選：D7、“”是“二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”的（） A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,對(duì)稱軸為所有二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴“”是“二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的充要條件，故選：A.8、有下述說(shuō)法：①是的充要條件②是的充要條件③是的充要條件，則其中正確的說(shuō)法有（） A．個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【詳解】①，，如，，故①錯(cuò)誤.②因?yàn)?，所以，，故②錯(cuò)誤.③因?yàn)?，，如，，故③錯(cuò)誤.故選：A9、已知、，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】，對(duì)任意的，，所以，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.10、已知，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由于,

,

,反之:當(dāng)時(shí),

,

,

,2,

,即

綜上所述:“”是“”的充要條件，

故選：C.11、成立的充要條件是（） A． B． C． D．或【答案】D【詳解】解：因?yàn)?，，，即，解得或，即，故成立的充要條件是“或”.故選：12、若，都是正整數(shù)，則成立的充要條件是（） A． B．，至少有一個(gè)為1 C． D．且【答案】B【解析】,當(dāng)時(shí),不等式成立,故排除三個(gè)選項(xiàng),所以選.13、求證：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明①充分性：如果，那么.當(dāng)時(shí)，，所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).②必要性：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.綜上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是.14、已知，求證：的充要條件是．注：．【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】證明：先證必要性：∵，∴∴再證充分性：∵∴即：∵，∴，即.綜上所述：的充要條件是.15、給出如下