專題1.1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）（六大題型）重難點題型歸納【題型1判斷二次函數(shù)的個數(shù)】【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】【題型3二次函數(shù)的一般式】【題型4根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-銷售問題】【題型5根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-面積類】【題型6根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-幾何類】【題型1判斷二次函數(shù)的個數(shù)】【典例1】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①y＝2x﹣1是一次函數(shù)；②y＝﹣2x2﹣1是二次函數(shù)；③y＝3x3﹣2x2不是二次函數(shù)；④y＝2（x+3）2﹣2x2不是二次函數(shù)；⑤y＝ax2+bx+c不一定是二次函數(shù)；⑥y＝x2++5不是二次函數(shù)；∴②是二次函數(shù)，共1個，故選：A．【變式1-1】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：②是二次函數(shù)，共1個，故選：A．【變式1-2】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：②④是二次函數(shù)，共2個，故選：B．【變式1-3】已知函數(shù)：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：根據(jù)定義②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函數(shù)故選：B．【變式1-4】下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y＝9x2﹣（3x﹣1）2；②；③y＝x（1﹣x）；④y＝（1﹣2x）2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①y＝9x2﹣（3x﹣1）2＝9x2﹣9x2+6x﹣1＝6x﹣1，不是二次函數(shù)；②y＝，不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；③y＝x（1+x）＝x2+x，是二次函數(shù)；④y＝（1﹣2x）2＝4x2﹣4x+1，整理后是二次函數(shù)．故選：B．【變式1-5】下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（）①y＝1﹣3x2；②y＝；③y＝x（1+x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①y＝1﹣3x2，是二次函數(shù)；②y＝，不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；③y＝x（1+x），整理后是二次函數(shù)；④y＝（1﹣2x）（1+2x），整理后是二次函數(shù)；故選：C．【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】【典例2】已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【答案】C【解答】解：由題意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故選：C．【變式2-1】有二次函數(shù)y＝xm﹣2﹣2x+1，則m的值是（）A．4 B．2 C．0 D．4或2【答案】A【解答】解：∵函數(shù)y＝xm﹣2﹣2x+1是二次函數(shù)，∴m﹣2＝2，解得m＝4．故選：A．【變式2-2】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【答案】C【解答】解：由題意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故選：C．【變式2-3】若函數(shù)y＝（a+1）x2+x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≤﹣1 D．a(chǎn)≠﹣1【答案】D【解答】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x2+x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴a+1≠0，解得a≠﹣1．故選：D．【變式2-4】如果函數(shù)y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函數(shù)，那么m的值為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函數(shù)，∴|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣1．故答案為：﹣1．【變式2-5】若關(guān)于x的函數(shù)y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函數(shù)，則a的取值范圍是a≠2．【答案】a≠2．【解答】解：∵函數(shù)y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函數(shù)，∴2﹣a≠0，即a≠2，故答案為：a≠2．【題型3二次函數(shù)的一般式】【典例3】二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的一次項系數(shù)是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3【答案】C【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的一次項系數(shù)是﹣2，故選：C．【變式3-1】將二次函數(shù)y＝x（x﹣1）+3x化為一般形式后，正確的是（）A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【答案】D【解答】解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即y＝x2+2x．故選：D．【變式3-2】把二次函數(shù)y＝﹣（x+3）2+11變成一般式是（）A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2．故選：D．【變式3-3】把二次函數(shù)y＝﹣（x+3）（x+4）+11變成一般形式后，其二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．﹣1，7 D．﹣1，﹣7【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）（x+4）+11＝﹣（x2+7x+12）+11＝﹣x2﹣7x﹣12+11＝﹣x2﹣7x﹣1，故二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為：﹣1，﹣7．故選：D．【變式3-4】二次函數(shù)的一般形式為（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0） C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0） D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【答案】B【解答】解：根據(jù)一元二次方程的一般形式的概念知，應(yīng)為y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），故選：B．【變式3-5】把拋物線y＝（x﹣1）2+1化成一般式是y＝x2﹣2x+2．【答案】y＝x2﹣2x+2．【解答】解：y＝（x﹣1）2+1＝x2﹣2x+1+1＝x2﹣2x+2．故答案為：y＝x2﹣2x+2．【變式3-6】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次項系數(shù)與常數(shù)項的和為1．【答案】1．【解答】解：y＝（3x﹣2）（x+3）＝3x2+7x﹣6，其中一次項系數(shù)為7，常數(shù)項為﹣6，∴一次項系數(shù)與常數(shù)項的和為：7+（﹣6）＝1，故答案為：1．【題型4根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-銷售問題】【典例4】某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【答案】D【解答】解：當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個，∴銷售單價為x元時，每天的銷售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．故選：D．【變式4-1】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可銷售300件．商場為了清庫存，決定讓利銷售，已知每降價1元，每星期可多銷售20件，那么每星期的銷售額W（元）與降價x（元）的函數(shù)關(guān)系為（）A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【解答】解：依題意，每星期的銷售額W（元）與降價x（元）的函數(shù)關(guān)系為W＝（60﹣x）（300+20x），故選：B．【變式4-2】“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+×10） D．w＝（x﹣50）（200+×10）【答案】D【解答】解：設(shè)每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則每件盈利（x﹣50）元，每天可銷售（200+×10）件，根據(jù)題意得：w＝（x﹣50）（200+×10），故選：D．【變式4-3】2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價格購進(jìn)一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價每提高2元，則每天少賣4套．設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，則該商品每天銷售套件所獲利潤w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．w＝（200+×4）（x﹣48） B．w＝（200﹣×4）（x﹣48） C．w＝（200﹣×4）（x﹣34） D．w＝（200+×4）（x﹣48）【答案】C【解答】解：設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，則該商品每天銷售套件所獲利潤w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：w＝（200﹣×4）（x﹣34）．故選：C．【變式4-4】某商品的進(jìn)價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件．如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【答案】y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【解答】解：每件商品的售價上漲x元，則每件的利潤為60﹣50+x＝（10+x）元，每月銷售量減少10x件，根據(jù)題意可得，y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000，∵每件售價不能高于72元，∴0≤x≤12．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．故答案為：y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【變式4-5】某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售單價x（元/件）與日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表．x（元∕件）15182022…y（件）250220200180…按照這樣的規(guī)律可得，日銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝﹣10x2+500x﹣4000．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖表中數(shù)據(jù)得出y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+400；故日銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000．故答案為：w＝﹣10x2+500x﹣4000．【變式4-6】某商店銷售一種進(jìn)價為50元/件的商品，當(dāng)售價為60元/件時，一天可賣出200件；經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果商品的單價每上漲1元，一天就會少賣出10件．設(shè)商品的售價上漲了x元/件（x是正整數(shù)），銷售該商品一天的利潤為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式為y＝﹣10x2+100x+2000．（不寫出x的取值范圍）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60﹣50+x）元，總銷量為：（200﹣10x）件，商品利潤為：y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000．故答案為：y＝﹣10x2+100x+2000．【變式4-7】新華商場銷售某種品牌的童裝，每件進(jìn)價為60元，市場調(diào)研表明：在一個階段內(nèi)銷售這種童裝時，當(dāng)售價為80元，平均每月售出200件；售價每降低1元，平均每月多售出20件．設(shè)售價為x元，則這種童裝在這段時間內(nèi)，平均每月的銷售量y（件）與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣20x+1800；平均每月的銷售利潤W（元）與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是W＝﹣20x2+3000x﹣108000．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)售價為x元，則平均每月的銷售量y（件）與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y＝200+20（80﹣x），化簡整理，得y＝﹣20x+1800；平均每月的銷售利潤W（元）與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是：W＝（x﹣60）（﹣20x+1800），化簡整理，得W＝﹣20x2+3000x﹣108000．故答案為y＝﹣20x+1800；W＝﹣20x2+3000x﹣108000．【題型5根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-面積類】【典例5】將一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形（鐵絲全部用完且無損耗）如圖所示，設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【答案】C【解答】解：設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），則另一邊長為（50﹣x）cm，根據(jù)題意可得：y＝（50﹣x）?x＝﹣x2+25x．故選：C．【變式5-1】長方形的周長為24cm，其中一邊長為xcm（其中x＞0），面積為ycm2，則這樣的長方形中y與x的關(guān)系可以寫為（）A．y＝x2B．y＝12﹣x2C．y＝（12﹣x）?x D．y＝2（12﹣x）【答案】C【解答】解：∵長方形的周長為24cm，其中一邊為x（其中x＞0），∴長方形的另一邊長為12﹣x，∴y＝（12﹣x）?x．故選：C．【變式5-2】長方形的長為10cm、寬為6cm，它的各邊都減少xcm，得到的新長方形的周長為ycm，則y與x之間的關(guān)系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【答案】A【解答】解：∵長方形的長為10cm、寬為6cm，它的各邊都減少xcm，得到的新長方形的周長為ycm，∴y與x之間的關(guān)系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．故選：A．【變式5-3】如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農(nóng)場計劃用木材圍成總長24m的柵欄，設(shè)面積為s（m2），垂直于墻的一邊長為x（m）．則s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（并寫出自變量的取值范圍）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意可知，三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24﹣4x），則：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由圖可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范圍是0＜x＜6，故答案為：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【變式5-4】如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為S＝﹣3x2+24x；自變量x的取值范圍為≤x＜6．【答案】S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【解答】解：設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；由題意可得：，解得：≤x＜6．故答案為：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【變式5-5】如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間同樣大小的長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，柵欄的總長為24m，設(shè)羊圈的總面積為S（m2），垂直于墻的一邊長為x（m），則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為S＝﹣4x2+24x．（不必寫出自變量的取值范圍）【答案】S＝﹣4x2+24x．【解答】解：根據(jù)題意可知，三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24﹣4x），則：S＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x，故答案為：S＝﹣4x2+24x．【變式5-6】有一長方形紙片，長、寬分別為8cm和6cm，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬為xcm（x＜6）的紙條（如圖），則剩余部分（圖中陰影部分）的面積y＝x2﹣14x+48，其中x是自變量，y是因變量．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵剩余部分是一個長方形，而長方形面積＝長×寬，∴y＝（6﹣x）（8﹣x）＝x2﹣14x+48，y因x的變化而變化，∴x是自變量，y是因變量．故答案為：x2﹣14x+48，x，y．【題型6根據(jù)實際問題列二次函數(shù)-幾何類】【典例6】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）如何變化？寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）成二次函數(shù)關(guān)系變化，∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，∴△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t（s）的解析式為：S＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．【變式6-1】如圖，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20cm，AC與MN在同一條直線上，開始時點A與點N重合，讓△ABC以2cm/s的速度向左運動，最終點A與點M重合，求重疊部分的面積ycm2與時間ts之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴重疊部分也是等腰直角三角形，又∵AN＝2t，∴AM＝MN﹣AN＝20﹣2t，∴MH＝AM＝20﹣2t，∴重疊部分的面積為y＝（20﹣2t）2＝2t2﹣40t+200．【變式6-2】如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，點P在線段AB上，P從點A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B移動．點E為線段BC的中點，點Q從E點開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點C移動．如果P、Q同時分別從A、E出發(fā)，寫出出發(fā)時間t與△BPQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，求出t的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，∴S＝PB?BQ＝PB?（BE+EQ）＝（6﹣t）（6+t）＝﹣t2+18，∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．【變式6-3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AC向C以2mm/s的速度移動，動點Q從點C開始沿邊CB向B以4mm/s