PAGE76PAGE75線性代數(shù)考試題庫及答案一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）1.在展開式中，的系數(shù)為（）(A)-1(B)0(C)1(D)22.是m×n矩陣，是m階可逆矩陣，是m階不可逆矩陣，且，則（）(A)的基礎(chǔ)解系由n-m個(gè)向量組成(B)的基礎(chǔ)解系由n-r個(gè)向量組成(C)的基礎(chǔ)解系由n-m個(gè)向量組成(D)的基礎(chǔ)解系由n-r個(gè)向量組成3.設(shè)n階矩陣有共同的特征值，且各自有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（）(A)(B)(C)(D)不一定相似，但4.設(shè)均為n階矩陣，且，其中為n階單位陣，則（）(A)(B)(C)(D)5．設(shè)，則（）(A)合同，且相似(B)不合同，但相似(C)合同，但不相似（D）既不合同，又不相似二、填空題（共二、填空題（共10小題，每題2分，共計(jì)20分）1．已知，則。2．設(shè)，若三階矩陣滿足則的第一行的行向量是。3．已知為n維單位列向量，為的轉(zhuǎn)置，若，則。4．設(shè)分別是屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)互異特征值的特征向量，則。5．設(shè)是四階矩陣，為其伴隨矩陣，是齊次方程組的兩個(gè)線性無關(guān)解，則。6．向量組的線性關(guān)系是。7．已知三階非零矩陣的每一列都是方程組的解，則。8．已知三維向量空間的基底為，則向量在此基底下的坐標(biāo)是。9．設(shè)。10．二次型的秩為。三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）1．試求行列式的第四行元素的代數(shù)余子式之和.2.設(shè),求.3．設(shè)n階方陣滿足，已知，求矩陣.4．設(shè)二次型中，二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.（1）求的值；（2）用配方法化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共30分）1．當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解或有無窮多組解？在有無窮多組解時(shí)，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解.2已知向量組，，，，（1）求向量組的秩；（2）求該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.3．已知矩陣；判斷能否對(duì)角化，若可對(duì)角化，求正交矩陣，使為對(duì)角矩陣，并寫出相應(yīng)的對(duì)角矩陣。 五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）1．設(shè)是n階矩陣的屬于特征值的特征向量.證明：也是的特征向量.其中為n階單位矩陣.2.設(shè)n維向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，證明：必可由線性表示.《線性代數(shù)》（A卷）答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）1．A；2．B；3．C；4．D；5．C.二．填空題（共10小題，每題2分，共計(jì)20分）1．6m；2．(2,0,1)；3．；4．0；5．0；6．線性無關(guān)；7．1；8．1,1,-1；9．1；10．2.三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）1、解：………4分………8分2、解：方法一：………2分所以………8分（2）方法二：………8分3、解：方法一：由,得到，……2分……5分所以，可逆，=.……8分方法二：由,得到，……2分用初等列變換求……6分所以，.……8分4、解：二次型的矩陣根據(jù)題意得到………4分=令，標(biāo)準(zhǔn)形為.………8分四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共計(jì)30分）1、解：由克萊姆法則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；……2分當(dāng)時(shí)有，所以方程組無解；……4分當(dāng)時(shí)有，方程組有無窮多組解，原方程組等價(jià)于方程組為取，得到特解令，代入等價(jià)方程組的齊次線性方程組中求得基礎(chǔ)解系為方程組的全部解為其中為任意常數(shù)……10分2、解：初等行變換矩陣到行最簡梯矩陣為……6分可得向量組的秩為3，向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為，且……10分3、解：的特征多項(xiàng)式為………3分得到矩陣的全部特征值為當(dāng)時(shí)，由得一個(gè)基礎(chǔ)解系正交化,單位化，當(dāng)時(shí)，由的一個(gè)基礎(chǔ)解將其單位化得………8分因此能對(duì)角化且正交陣，，相應(yīng)的對(duì)角陣為……10分五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）1、證明：因?yàn)橛懈鶕?jù)特征值