第二節(jié)假設檢驗一、假設檢驗的基本原理二、假設檢驗的基本方法三、假設檢驗中的兩類錯誤四、一個總體參數(shù)的假設檢驗一、假設檢驗的基本原理參數(shù)估計和假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，都是利用樣本對總體進行某種推斷。推斷的角度不同：參數(shù)估計是在總體參數(shù)未知的情況下用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。假設檢驗是先對總體參數(shù)提出一個假設，然后利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立，如果成立，就接受這個假設，否則就放棄。什么是假設檢驗?

(hypothesistest)先對總體的參數(shù)(或分布形式)提出某種假設，然后利用樣本信息判斷假設是否成立的過程有參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗邏輯上運用反證法，統(tǒng)計上依據(jù)小概率原理二、假設檢驗的步驟【例】

某企業(yè)生產(chǎn)一種零件，過去的大量資料表明，零件的平均長度為5厘米，標準差為0.1厘米。為了提高零件的精度，該企業(yè)對這種零件的生產(chǎn)工藝進行了改革。改革工藝后，抽查了100個零件，測得樣本平均長度為4.94厘米?，F(xiàn)問：（1）工藝改革前后零件的長度是否發(fā)生了顯著的變化？（2）工藝改革后的零件長度是否比原來有所縮短？（3）工藝改革后的零件長度是否比原來的長？1、提出原假設和備擇假設對每個假設檢驗問題，要同時提出兩個相反的假設：原假設和備擇假設。原假設又稱零假設，是待檢驗的假設，是研究者想收集證據(jù)予以反對的假設，記為H0；總是有符號

,

或。備擇假設是拒絕原假設后可供選擇的假設，是研究者想收集證據(jù)予以支持的假設，記為H1?？偸怯蟹?/p>

,

或。原假設和備擇假設是相互對立的，并構成一組完備假設。檢驗結(jié)果二者必取其一。接受H0則必須拒絕H1；反之，拒絕H0則必須接受H1。原假設和備擇假設不是隨意提出的，應根據(jù)所檢驗問題的具體背景而定。常常是采取“不輕易拒絕原假設”的原則，即把沒有充分理由不能輕易否定的命題作為原假設，而相應地把沒有足夠把握就不能輕易肯定的命題作為備擇假設。一般地，假設有三種形式：1）H0:μ＝μ0；H1:μ≠μ0。這種形式的假設檢驗稱為雙側(cè)檢驗。如前例中的第一個問題可提出假設：H0:μ＝5厘米；H1:μ≠5厘米。2）H0:μ≥μ0；H1:μ<μ0。這種形式的假設檢驗稱為左側(cè)檢驗。如前例中的第二個問題可提出假設：H0:μ≥5厘米；H1:μ<5厘米。3）H0:μ≤μ0；H1:μ>μ0。這種形式的假設檢驗稱為右側(cè)檢驗。如前例中的第三個問題可提出假設：H0:μ≤5厘米；H1:μ>5厘米。左側(cè)檢驗和右側(cè)檢驗統(tǒng)稱為單側(cè)檢驗。采用哪種假設，要根據(jù)所研究的實際問題而定。如果對所研究問題只需判斷有無顯著差異或要求同時注意總體參數(shù)偏大或偏小的情況，則采用雙側(cè)檢驗。如果所關心的是總體參數(shù)是否比某個值偏大（或偏?。?，則宜采用單側(cè)檢驗。雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗

(假設的形式)假設雙側(cè)檢驗單側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗原假設H0:m=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設H1:m≠m0H1:m<m0H1:m>m0【例】一家研究機構估計，成都市居民家庭擁有汽車的比率超過40%。為驗證這一估計是否正確，該研究機構隨機抽取了一個樣本進行檢驗。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設。提出假設(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設是“成都市居民家庭擁有汽車的比率超過40%”。建立的原假設和備擇假設為

H0：

40%H1：

40%【例】一家研究機構估計，成都市居民家庭擁有汽車的比率超過40%。為驗證這一估計是否正確，另一家機構隨機抽取了一個樣本進行檢驗。試陳述用于檢驗的原假設與備擇假設。2、選擇適當統(tǒng)計量并確定其分布形式不同的假設檢驗問題需選擇不同的統(tǒng)計量。用于假設檢驗問題的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。選擇什么統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量，應根據(jù)具體問題和不同的條件而定。例如，用于進行檢驗的樣本是大樣本還是小樣本，總體方差已知還是未知，等等。檢驗統(tǒng)計量(teststatistic)與拒絕域檢驗統(tǒng)計量：根據(jù)樣本統(tǒng)計量得到的，并能衡量樣本統(tǒng)計量與零假設差異的統(tǒng)計量通常檢驗統(tǒng)計量取為：

根據(jù)樣本計算檢驗統(tǒng)計量的值，如該值與0相差很大，說明零假設不正確；否則，不能認為零假設不正確。拒絕域：檢驗統(tǒng)計量（或樣本統(tǒng)計量或樣本）取值的集合，當根據(jù)樣本觀測結(jié)果算得檢驗統(tǒng)計量的值屬于該集合時，零假設應被拒絕。

3、選擇顯著性水平а，確定臨界值顯著性水平表示原假設H0為真時拒絕原假設的概率，即拒絕原假設所犯錯誤的概率，一般用а表示，統(tǒng)計上把α稱為假設檢驗中的顯著性水平（Significantlevel），也就是決策中所面臨的風險。所以，顯著性水平是指當原假設為正確時人們卻把它拒絕了的概率或風險。這個概率是由人們事前確定的，通常取α=0.05或α＝0.01，這表明，當做出接受原假設的決定時，其正確的可能性（概率）為95%或99%。給定了顯著性水平а，也就確定了原假設H0的接受區(qū)域和拒絕區(qū)域。通過查分布表，得到臨界值，這個臨界值就是接受區(qū)域和拒絕區(qū)域的臨界點。對于不同形式的假設，H0的接受區(qū)域和拒絕區(qū)域也有所不同。雙側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計量分布曲線的兩側(cè)；左側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計量分布曲線的左側(cè)；右側(cè)檢驗的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計量分布曲線的右側(cè)。顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗)抽樣分布0臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H01-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗

)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(單側(cè)檢驗

)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(左側(cè)檢驗

)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量顯著性水平和拒絕域

(右側(cè)檢驗

)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量4、作出結(jié)論1）給定顯著性水平，查表得出相應的臨界值z

或z/2，t

或t/22）將檢驗統(tǒng)計量的值與水平的臨界值進行比較3）作出決策雙側(cè)檢驗：I統(tǒng)計量I>臨界值，拒絕H0左側(cè)檢驗：統(tǒng)計量<-臨界值，拒絕H0右側(cè)檢驗：統(tǒng)計量>臨界值，拒絕H0假設檢驗步驟的總結(jié)1.陳述原假設和備擇假設2.從所研究的總體中抽出一個隨機樣本3.確定一個適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并利用樣本數(shù)據(jù)算出其具體數(shù)值4.確定一個適當?shù)娘@著性水平，并計算出其臨界值，指定拒絕域5.將統(tǒng)計量的值與臨界值進行比較，作出決策統(tǒng)計量的值落在拒絕域，拒絕H0，否則不拒絕H0三、假設檢驗中的兩類錯誤1. 第Ⅰ類錯誤(棄真錯誤)原假設為真時拒絕原假設第Ⅰ類錯誤的概率記為

被稱為顯著性水平2. 第Ⅱ類錯誤(取偽錯誤)原假設為假時未拒絕原假設第Ⅱ類錯誤的概率記為

(Beta)

H0:無罪假設檢驗中的兩類錯誤(決策結(jié)果)陪審團審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確H0檢驗決策實際情況H0為真H0為假未拒絕H0正確決策(1–a)第Ⅱ類錯誤(b)拒絕H0第Ⅰ類錯誤(a)正確決策(1-b)假設檢驗就好像一場審判過程統(tǒng)計檢驗過程

錯誤和

錯誤的關系

你不能同時減少兩類錯誤!

和的關系就像翹翹板，小就大，大就小影響錯誤的因素1）總體參數(shù)的真值隨著假設的總體參數(shù)的減少而增大2）顯著性水平

當減少時增大3）總體標準差

當

增大時增大4）樣本容量n當n

減少時增大四、一個總體參數(shù)的假設檢驗z檢驗(單側(cè)和雙側(cè))

t檢驗(單側(cè)和雙側(cè))z

檢驗(單側(cè)和雙側(cè))

2檢驗(單側(cè)和雙側(cè))均值一個總體比率方差總體均值的檢驗

(作出判斷)

是否已知小樣本容量n大

是否已知否t檢驗否z檢驗是z檢驗

是z檢驗（一）總體均值的檢驗1、總體方差已知時對正態(tài)總體均值的假設檢驗設總體X～N（μ,σ2），總體方差σ2

為已知，（x1,x2,…,xn）為總體的一個樣本，樣本平均數(shù)為?，F(xiàn)在的問題是對總體均值μ進行假設檢驗。H0:μ＝μ0

（或μ≤μ0、μ≥μ0

）。根據(jù)抽樣分布定理，樣本平均數(shù)服從N（μ，σ2/n），所以，如果H0成立時，檢驗統(tǒng)計量Z及其分布為：利用服從正態(tài)分布的統(tǒng)計量Z進行的假設檢驗稱為Z檢驗法。根據(jù)已知的總體方差、樣本容量n和樣本平均數(shù)，計算出檢驗統(tǒng)計量Z的值。對于給定的檢驗水平，查正態(tài)分布表可得臨界值，將所計算的Z值與臨界值比較，便可做出檢驗結(jié)論。[例]根據(jù)過去大量資料，某公司所生產(chǎn)產(chǎn)品的使用壽命服從正態(tài)分布N（1020，1002）。該公司在進行了技術革新后，需要檢驗技術革新后的產(chǎn)品使用壽命是否有顯著改善，現(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16件，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高？解：根據(jù)題意，提出假設：H0:μ≤1020；H1:μ>1020，檢驗統(tǒng)計量由α＝0.05，查表得臨界值z0.05＝1.645由于Z＝2.4>Z0.05＝1.645，所以應拒絕H0而接受H1，即這批產(chǎn)品的使用壽命確有顯著提高?？傮w均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μz0z00非正態(tài)總體n≥30σ2已知或未知ZaZa2、總體方差未知時對正態(tài)總體均值的假設檢驗設總體X～N（μ，σ2），但總體方差σ2

未知，此時對總體均值的檢驗不能用上述Z檢驗法，因為此時的檢驗統(tǒng)計量Z中包含了未知參數(shù)。為了得到一個不含未知參數(shù)的檢驗統(tǒng)計量，很自然會用總體方差的無偏估計量即樣本方差S2

來代替σ2

，在小樣本時采用t統(tǒng)計量。檢驗統(tǒng)計量t及其分布為：t利用服從t分布的統(tǒng)計量去檢驗總體均值的方法稱為t檢驗法。雙側(cè)檢驗時，若，則拒絕H0，接受H1。左側(cè)檢驗時，若t<–tα，則拒絕H0，接受H1。右側(cè)檢驗時，若t>tα，則拒絕H0，接受H1?！纠繌拈L期的資料可知，某公司生產(chǎn)的某種電子元件的使用壽命服從均值為200小時，標準差未知的正態(tài)分布。通過改變部分生產(chǎn)工藝后，抽得10件樣本作分析（小時）：202，209，213，198，206，210，195，208，200，207試根據(jù)抽查的樣本，判斷該公司所生產(chǎn)的電子元件的使用壽命是否有了提高。（α=0.05）解：根據(jù)題意，檢驗目的是考察電子元件使用壽命的平均值數(shù)據(jù)是否有所提高。因此，可建立如下假設：根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得=204.8，S=5.789檢驗統(tǒng)計量由α=0.05，查表得臨界值由于，所以拒絕H0接受H1，即可以接受“在新工藝下，這種電子元件使用壽命的平均值有所提高的假設”。t檢驗法討論t檢驗法適用于小樣本情況下總體方差未知時對正態(tài)總體均值的假設檢驗。隨著樣本容量n的增大，t分布趨近于標準正態(tài)分布。所以大樣本情況下（n>30），總體方差未知時對正態(tài)總體均值的假設檢驗通常近似采用Z檢驗法。同理，大樣本情況下非正態(tài)總體均值的檢驗也可用Z檢驗法。因為，根據(jù)大樣本的抽樣分布定理，總體分布形式不明或為非正態(tài)總體時，樣本平均數(shù)趨近于正態(tài)分布。這時，檢驗統(tǒng)計量Z中的總體標準差用樣本標準差S來代替。（二）總體比例的假設檢驗由比例的抽樣分布定理可知，樣本比例服從二項分布，因此可由二項分布來確定對總體比例進行假設檢驗的臨界值，但其計算往往十分繁瑣。大樣本情況下，二項分布近似服從正態(tài)分布。因此，對總體比例的檢驗通常是在大樣本條件下進行的，根據(jù)正態(tài)分布來近似確定臨界值，即采用Z檢驗法。其檢驗步驟與均值檢驗時的步驟相同，只是檢驗統(tǒng)計量不同。首先提出待檢驗的假設：檢驗統(tǒng)量為

[例]調(diào)查人員在調(diào)查某企業(yè)的主要產(chǎn)品生產(chǎn)線時，被告知生產(chǎn)線性能良好，產(chǎn)品生產(chǎn)穩(wěn)定，產(chǎn)品合格率達99%。為了驗證這一說法，調(diào)查人員隨機抽查了200件產(chǎn)品，其中195件產(chǎn)品合格，判斷廠方的宣稱是否可信？（α＝10%）。解：依題意，可建立如下假設：樣本比例由于樣本容量相當大，所以可近似采用Z檢驗法。給定α=0.1，查正態(tài)分布表得由于，應接受原假設，即認為廠方的宣稱是可信的。（三）總體方差的假設檢驗在實際生產(chǎn)活動或生活中，僅僅知道樣本均值或比率維持在一個特定的范圍內(nèi)是不夠的，因為這還不足以保證整個過程（如生產(chǎn)線）的穩(wěn)定性。在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中，產(chǎn)品的方差大就意味著所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量或生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)線的性能不穩(wěn)定，但由于抽樣中受偶然因素的影響，所觀