2021-2022學年九年級數學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題二次根式的應用大題專練〔重難點培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷試題共30題，解答30道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題〔共30小題〕1．〔2021秋?石鼓區(qū)校級月考〕a、b、c滿足|a﹣22|+b-5+〔c﹣32〔1〕求a、b、c的值．〔2〕試問：以a、b、c為三邊長能否構成三角形，如果能，請求出這個三角形的周長，如不能構成三角形，請說明理由．【分析】〔1〕根據非負數的性質來求a、b、c的值；〔2〕三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊．【解析】〔1〕∵|a﹣22|+b-5+〔c﹣32〕∴a﹣22=0，b-5=0，c﹣解得a＝22，b＝5，c＝32；〔2〕以a、b、c為三邊長能構成三角形．理由如下：由〔1〕知，a＝22，b＝5，c＝32．∵5＜22+32=52，即b＜a+∴以a、b、c為三邊長能構成三角形．周長＝5+52．2．〔2021秋?金牛區(qū)校級月考〕設一個三角形的三邊長分別為a、b、c，P=12〔a+b+S=PS=1〔1〕一個三角形邊長依次為5、6、7，利用兩個公式分別求這個三角形的面積；〔2〕一個三角形邊長依次為5、6、7，利用兩個公式分別求這個三角形的面積．【分析】〔1〕把a、b、c的長代入求出P，進一步代入求得S即可得解；〔2〕把a、b、c的長代入求出P，進一步代入求得S即可得解．【解析】〔1〕P=12×〔5+6+7S=P(PS=14[〔2〕P﹣a=12〔5+6+同理P﹣b=12〔P﹣c=12〔所以，S2=12〔6+7+5〕×12〔6+7-5〕=116×〔8+242〕〔﹣=116×〔168=13S=26S=3．〔2021秋?玉田縣期末〕長方形的長為a，寬為b，且a=3212，〔1〕求長方形的周長；〔2〕當S長方形＝S正方形時，求正方形的周長．【分析】〔1〕直接利用矩形周長求法結合二次根式的加減運算法那么計算得出答案；〔2〕直接利用正方形的性質化簡得出邊長求出答案．【解析】〔1〕∵a=3212=33∴長方形的周長是：2〔a+b〕＝2〔33+23〕〔2〕設正方形的邊長為x，那么有x2＝ab，∴x=ab∴正方形的周長是4x＝122．4．〔2021春?韓城市期末〕如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．求：〔1〕剪掉四個角后，制作長方體盒子的紙板的面積；〔2〕長方體盒子的體積．【分析】〔1〕直接利用總面積減去周圍正方形面積進而得出答案；〔2〕直接利用長方體的體積公式得出答案．【解析】〔1〕制作長方體盒子的紙板的面積為：〔63〕2﹣4×〔3〕2＝108﹣12＝96〔cm2〕；〔2〕長方體盒子的體積：〔63-23〕〔63-23＝43×4＝483〔cm3〕．5．〔2021秋?二道區(qū)期末〕有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．〔1〕求剩余木料的面積．〔2〕如果木工想從剩余的木料中截出長為dm，寬為1dm的長方形木條，最多能截出2塊這樣的木條．【分析】〔1〕根據二次根式的性質分別求出兩個正方形的邊長，結合圖形計算得到答案；〔2〕求出32和2范圍，根據題意解答．【解析】〔1〕∵兩個正方形的面積分別為18dm2和32dm2，∴這兩個正方形的邊長分別為32dm和42dm，∴剩余木料的面積為〔42-32〕×32=6〔dm〔2〕4＜32＜，1＜2∴從剩余的木料中截出長為dm，寬為1dm的長方形木條，最多能截出2塊這樣的木條，故答案為：2．6．〔2021春?武昌區(qū)校級月考〕一個三角形的三邊長分別為239x、6x4、〔1〕求它的周長〔要求結果化簡〕；〔2〕請你給一個適當的x值，使它的周長為整數，并求出此時三角形周長的值．【分析】〔1〕把三角形的三邊長相加，即為三角形的周長．再運用二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并．〔2〕該題答案不唯一，只要使它的周長為整數即可．【解析】〔1〕周長=239x+6x4+2x1x=〔2〕當x＝4時，周長＝7×4=7．座鐘的擺來回擺動一次的時間叫做一個周期，它的計算公式是：T＝2πl(wèi)g，其中T表示周期〔單位：s〕，l表示擺長〔單位：m〕，g＝m/s2，π是圓周率，某臺座鐘的擺長為m，它每擺動一個周期發(fā)出一次“滴答〞聲．求該座鐘1min恰好發(fā)出多少次滴答聲，如果要使該座鐘1min恰好發(fā)出60次滴答聲，該座鐘的擺長應為多少？〔π取，擺長精確到m【分析】由給出的公式代入計算即可．要先求出這個鐘擺的周期，然后利用時間除周期就是次數；解答第二問應先求出T的值，然后將T、g、π代入求值即可．【解析】T＝2π0.89.860T由題意可得，T=6060由公式為T＝2πl(wèi)g，得l=T答：該座鐘1min恰好發(fā)出大約34次滴答聲，該座鐘的擺長應為m．8．〔2021秋?普寧市期中〕材料：海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號表示為：S=p(p-a)(p-b)(p-c)〔其中a，b，c為三角形的三邊長，p=a〔1〕直接寫出p的化簡結果為3+35〔2〕寫出計算S值的過程．【分析】〔1〕把a、b、c的長代入求出p即可；〔2〕把p的值代入S計算即可得解．【解析】〔1〕∵a=5，b＝3，c＝25∴p===3+3故答案為：3+35〔2〕S====＝3．9．〔2021春?磐石市期中〕如圖，一根細線上端固定，下端系一個小球，讓這個小球來回自由擺動，來回擺動一次所用的時間t〔單位：s〕與細線的長度l〔單位：m〕之間滿足關系t=2πl(wèi)【分析】直接把l的值代入化簡二次根式，即可得出答案．【解析】由題意可得：t＝2π0.410≈≈，答：小球來回擺動一次所用的時間是秒．10．〔2021秋?太原期中〕海嘯是一種破壞力極強的海浪，由海底地震、火山爆發(fā)等引起，在廣闊的海面上，海嘯的行進速度可按公式v=gd計算，其中v表示海嘯的速度〔m/s〕，d為海水的深度〔m〕，g表示重力加速度m/s2．假設在海洋深度980m【分析】直接根據數據代入，化簡得出答案．【解析】由題意可得：g＝m/s2，d＝980m，那么v=gd=9.8×980=答：海嘯的行進速度為98m/s．11．〔2021春?玄武區(qū)期中〕數學閱讀：古希臘數學家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：假設一個三角形的三邊長分別為a、b、c，那么這個三角形的面積為S=p(p-a)(p-b)(數學應用：如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7．〔1〕請運用海倫公式求△ABC的面積；〔2〕設AC邊上的高為h1，BC邊上的高h2，求h1+h2的值．【分析】〔1〕根據海倫公式，代入解答即可；〔2〕根據三角形面積公式解答即可．【解析】〔1〕AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=1∴S=〔2〕∵S△∴h1=24∴h112．〔2021秋?太倉市期末〕假設一個三角形的三邊長分別為a、b、c，設p=12〔a+b+記：Q=p〔1〕當a＝4，b＝5，c＝6時，求Q的值；〔2〕當a＝b時，設三角形面積為S，求證：S＝Q．【分析】〔1〕先根據△ABC的三邊長求出p的值，然后再代入三角形面積公式中計算；〔2〕設底邊c上的高為h，根據三角形的面積公式得到S=12c?h=12ca2-c24【解析】〔1〕∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p=12〔a+b+c〕∴Q=p〔2〕∵a＝b，∴設底邊c上的高為h，∴h=a∴S=12c?h=1∵a＝b，∴p=12〔a+b+c〕＝a+∴Q=p(p∴S＝Q．13．〔2021春?沂水縣期中〕高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據研究，高空拋物下落的時間t〔單位：s〕和高度h〔單位：m〕近似滿足公式t=h〔1〕從50m高空拋物到落地所需時間t1是多少s，從100m高空拋物到落地所需時間t2是多少s；〔2〕t2是t1的多少倍？〔3〕經過s，高空拋物下落的高度是多少？【分析】〔1〕將h＝50代入t1=h5進行計算即可；將h＝100代入t2〔2〕計算t2與t1的比值即可得出結論；〔3〕將t＝代入公式t=h【解析】〔1〕當h＝50時，t1=50當h＝100時，t2=1005=〔2〕∵t2∴t2是t1的2倍．〔3〕當t＝時，=h解得h＝，∴下落的高度是米．14．〔2021春?潁泉區(qū)校級期中〕閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c如圖，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．〔1〕求△ABC的面積；〔2〕設AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．【分析】〔1〕根據題意先求p，再將p，a，b，c的值代入題中所列面積公式計算即可；〔2〕按照三角形的面積等于12×底×高分別計算出h1和h【解答】解．〔1〕根據題意知p=a所以S=p(∴△ABC的面積為66；〔2〕∵S=12ch1=12bh∴12×6h1=12×5∴h1＝26，h2=∴h1+h2=2215．〔2021春?椒江區(qū)校級期中〕長方形的長a=1248，寬〔1〕求該長方形的周長；〔2〕假設另一個正方形的面積與該長方形的面積相等，試計算該正方形的周長．【分析】〔1〕利用長方形的周長公式列出代數式并求值；〔2〕利用等量關系另一個正方形的面積＝該長方形的面積列出等式并計算．【解析】∵a=1248=23〔1〕長方形的周長＝2×〔1248+1327〕＝2×〔〔2〕長方形的面積＝23×3根據面積相等，那么正方形的邊長=6所以，正方形的周長＝46．16．〔2021春?晉中月考〕我國古代數學家秦九韶在?數書九章?中記述了“三斜求積術〞，即三角形的三邊長，求它的面積．用符號表示為S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2【分析】根據二次根式的混合計算解答即可．【解析】∵a=∴a2＝5，b2＝9，c2＝20，∴三角形的面積S=117．〔2021春?天河區(qū)校級月考〕假設矩形的長a=6+5，寬〔1〕求矩形的面積和周長；〔2〕求a2+b2﹣20+2ab的值．【分析】〔1〕直接利用二次根式的混合運算法那么分別計算得出答案；〔2〕直接利用完全平方公式結合二次根式的混合運算法那么計算得出答案．【解析】〔1〕∵矩形的長a=6+5，寬∴矩形的面積為：〔6+5〕〔＝6﹣5＝1；矩形的周長為：2〔6+5+6〔2〕a2+b2﹣20+2ab＝〔a+b〕2﹣20＝〔6+5+6＝〔26〕2﹣20＝24﹣20＝4．18．〔2021春?盂縣月考〕閱讀與計算：古希臘的幾何學家海倫，在他的著作?度量?一書中，給出了下面一個公式：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=12〔a+b+c〕，那么三角形的面積為：S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)〔海倫公式〕，假設△【分析】先求出p，再代入海倫公式中計算即可．【解析】∵BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴p=12〔4+5+6〕∴S====1519．〔2021春?瑤海區(qū)期中〕〔1〕用“＝〞、“＞〞、“＜〞填空．12+13＞212×13；6+3＞26×3；1〔2〕由〔1〕中各式猜測a+b與2ab〔a≥0，b≥0〕的大小，并說明理由．〔3〕請利用上述結論解決下面問題：某同學在做一個面積為1800cm2，對角線相互垂直的四邊形風箏時，求用來做對角線的竹條至少要多少厘米？【分析】〔1〕根據完全平方公式的非負性進行變形可得結論；〔2〕直接利用完全平方公式的非負數的性質解答即可；〔3〕根據對角線互相垂直的四邊形面積＝相互垂直的對角線乘積的一半，并綜合利用〔2〕的結論得出答案即可．【解析】〔1〕∵(12∴12-∴12+1同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×故答案為：＞，＞，＞，＝；〔2〕猜測：a+b≥2ab〔a≥0，b≥0〕，理由是：∵a≥0，b≥0，∴a+b﹣2ab=〔a-b〕2∴a+b≥2ab；〔3〕設AC＝a，BD＝b，由題意得：12ab∴ab＝3600，∵a+b≥2ab，∴a+b≥23600，∴a+b≥120，∴用來做對角線的竹條至少要120厘米．20．〔2021秋?榆林月考〕有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面積．【分析】根據兩個正方形木板的面積分別為18dm2和32dm2，分別求得18和32的算術平方根，那么可得兩個正方形的邊長，然后用小正方形的邊長乘以兩個正方形的邊長之差即可得出答案．【解析】∵兩個正方形木板的面積分別為18dm2和32dm2，∴這兩個正方形的邊長分別為：18=32〔dm〕，32=42〔∴剩余木料的面積為：〔42-32〕×32=2×32=21．〔2021春?臨渭區(qū)校級月考〕某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為243m，寬AB為128m，現要在長方形綠地中修建一個長方形花壇〔即圖中陰影局部〕，長方形花壇的長為(14〔1〕長方形ABCD的周長是多少？〔2〕除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為5元/m2的地磚，要鋪完整個通道，那么購置地磚需要花費多少元？〔結果化為最簡二次根式〕【分析】〔1〕根據長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法那么計算可得；〔2〕先計算出空白局部面積，再計算即可，【解析】〔1〕長方形ABCD的周長＝2〔243+128〕＝2〔93+82〕＝183+16答：長方形ABCD的周長是183+162〔m〔2〕購置地磚需要花費＝5[243×＝5[726-〔14﹣1〕＝5〔726-13＝3606-65答：購置地磚需要花費〔3606-6522．〔2021春?漢陽區(qū)期中〕我國宋代的數學家秦九韶發(fā)現：假設一個三角形的三邊長分別為a，b，c，那么這個三角形的面積為s=p(p-a)(p-b)(如圖1，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7．〔1〕求△ABC的面積；〔2〕如圖2，AD，BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為點I，求I到邊BC的距離．【分析】〔1〕根據題干公式將p計算出來，再代入面積計算公式即可；〔2〕過點I依次作出三角形三邊的高，利用角平分線的性質定理可知三邊的高相等，再表示出三角形的面積結合〔1〕問即可求出I到BC的距離．【解析】〔1〕由題意得：p=12∴S△ABC=p(p〔2〕連接IC，過點I分別作AB、BC、AC邊的垂線交AB、BC、AC于點M、Q、N，由角平分線的性質定理可知：IM＝IQ＝IN，觀察圖形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI=12×∴12IQ(9+8+7)=解得：IQ=5故I到邊BC的距離為：5．23．〔2021春?無為市月考〕據研究，高空拋物下落的時間t〔單位：s〕和高度h〔單位：m〕近似滿足公式t=h〔1〕求從40米高空拋物到落地時間；〔2〕小明說從80m高空拋物到落地時間是〔1〕中所求時間的2倍，他說法正確嗎？如果不正確，請說明理由；〔3〕高空墜落物體動能＝10×物體質量×高度〔單位：焦耳〕，某質量為kg的雞蛋經過6秒后落在地上，這個雞蛋產生的動能是多少？你能得到什么啟示？〔注：殺傷無防護人體只需要65焦耳的動能〕【分析】〔1〕把40米代入公式即可，〔2〕把80米代入公式求出時間，與〔1〕中時間相比擬即可得到結論．〔3〕求出h，代入動能計算公式即可求出．【解析】〔1〕由題意知h＝40米，t=h5=405〔2〕不正確，理由如下：當h2＝80m時，t2=805=16∵4≠2×22，∴不正確，〔3〕當t＝6s時，6=h5，h＝180雞蛋產生的動能＝10××180＝90〔焦耳〕，啟示：嚴禁高空拋物．24．〔2021秋?梁平區(qū)期末〕張亮同學在作業(yè)本上做了這么一道題：“當a＝■時，試求a+a2-〔1〕請你計算當a＝5時，代數式a+a〔2〕是否存在數a，使得a+a2-〔3〕請直接判斷張亮同學的答案是否正確．【分析】〔1〕直接將a＝5代入可得結論；〔2〕因為原式＝a+|a﹣1|，所以此題應該從a≥1，a＜1兩種情況考慮；〔3〕根據〔2〕中的結論發(fā)現：a為任何實數時，原式都不可能等于12【解析】〔1〕當a＝5時，原式＝5+(a-1〔2〕不存在，理由是：原式＝a+(a-1)2當a≥1時，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1=1∴a=3當a＜1時，原式＝a+1﹣a＝1≠1∴不存在數a，使得a+a2-〔3〕由〔2〕可知：張亮同學的答案不正確．25．〔2021春?思明區(qū)校級期中〕有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，先在木板上截出兩個面積為18dm2和32dm2的正方形木板，后來又想從剩余的木料中截出長為dm，寬為1dm的長方形木條，請問最多能截出幾塊這樣的木條？【分析】從題意可知，剩余局部的長方形的長邊為18bm，短邊為32-18=2dm，由估算【解析】剩余局部的長為18dm，寬為32-18∵2＜∴剩余的木料的短邊只能作為木條的短邊，∵＜18÷≈2，因此只能截出2塊，答：最多能截出2塊．26．〔2021春?巴南區(qū)期中〕某區(qū)組織環(huán)衛(wèi)工作人員開展草坪種植，假設環(huán)衛(wèi)工人在一塊長方形的土地上種植草坪，該長方形土地的長為343m、寬為224m．〔1〕求該長方形土地的周長；〔2〕假設在該長方形土地上種植造價為每平方米160元的草坪，求在該長方形土地上全部種植草坪的總費用〔提示：結果保存整數，2≈【分析】〔1〕根據長方形周長公式進行計算，并化簡即可．〔2〕根據長方形的面積公式先算出面積，而后乘以每平方米的價錢即可．【解析】〔1〕2〔343+224〕＝2〔77+414〕＝〔147+8〔2〕343×224=77×414=160×＝元．27．〔2021春?博白縣期末〕長方形的長a=1232，寬〔1〕求長方形的周長；〔2〕求與長方形等面積的正方形的周長，并比擬與長方形周長的大小關系．【分析】首先化簡a=1232=22〔1〕代入周長計算公式解決問題；〔2〕求得長方形的面積，開方得出正方形的邊長，進一步求得周長比擬即可．【解析】a=1232=22〔1〕長方形的周長＝〔22+2〕×2＝6〔2〕正方形的周長＝422×∵62=72.8∵72∴62＞828．〔2021