陜西省西安交通大附中2024屆十校聯(lián)考最后數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．某大學生利用課余時間在網上銷售一種成本為50元/件的商品，每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的函數關系式為y=–4x+440，要獲得最大利潤，該商品的售價應定為A．60元B．70元C．80元D．90元2．若，代數式的值是A．0 B． C．2 D．3．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點C為弧BD的中點，若∠DAB=50°，則∠ABC的大小是（）A．55° B．60° C．65° D．70°4．某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（）A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長:]5．下列二次根式中，的同類二次根式是（）A． B． C． D．6．下列運算正確的是（）A． B．C． D．7．如圖,一場暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面1米處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經測量AB=2m,則樹高為（）米A． B． C．+1 D．38．﹣18的倒數是（）A．18 B．﹣18 C．- D．9．據國家統(tǒng)計局2018年1月18日公布，2017年我國GDP總量為827122億元，首次登上80萬億元的門檻，數據827122億元用科學記數法表示為（）A．8.27122×1012 B．8.27122×1013 C．0.827122×1014 D．8.27122×101410．在一個不透明的盒子里有2個紅球和n個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個，摸到紅球的概率是，則n的值為（）A．10 B．8 C．5 D．3二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．同一個圓的內接正方形和正三角形的邊心距的比為_____．12．因式分解：y3﹣16y＝_____．13．為響應“書香成都”建設的號召，在全校形成良好的人文閱讀風尚，成都市某中學隨機調查了部分學生平均每天的閱讀時間，統(tǒng)計結果如圖所示，則在本次調查中，閱讀時間的中位數是________小時．14．如圖，中，，則__________．15．如圖所示，擺第一個“小屋子”要5枚棋子，擺第二個要11枚棋子，擺第三個要17枚棋子，則擺第30個“小屋子”要___枚棋子．16．觀察以下一列數：3，，，，，…則第20個數是_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）我們知道，平面內互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，如果兩條數軸不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么這兩條數軸構成的是平面斜坐標系，兩條數軸稱為斜坐標系的坐標軸，公共原點稱為斜坐標系的原點，如圖1，經過平面內一點P作坐標軸的平行線PM和PN，分別交x軸和y軸于點M，N．點M、N在x軸和y軸上所對應的數分別叫做P點的x坐標和y坐標，有序實數對（x，y）稱為點P的斜坐標，記為P（x，y）．（1）如圖2，ω＝45°，矩形OABC中的一邊OA在x軸上，BC與y軸交于點D，OA＝2，OC＝l．①點A、B、C在此斜坐標系內的坐標分別為A，B，C．②設點P（x，y）在經過O、B兩點的直線上，則y與x之間滿足的關系為．③設點Q（x，y）在經過A、D兩點的直線上，則y與x之間滿足的關系為．（2）若ω＝120°，O為坐標原點．①如圖3，圓M與y軸相切原點O，被x軸截得的弦長OA＝4，求圓M的半徑及圓心M的斜坐標．②如圖4，圓M的圓心斜坐標為M（2，2），若圓上恰有兩個點到y(tǒng)軸的距離為1，則圓M的半徑r的取值范圍是．18．（8分）閱讀材料，解答下列問題：神奇的等式當a≠b時，一般來說會有a2+b≠a+b2，然而當a和b是特殊的分數時，這個等式卻是成立的例如：（）2+=+，（）2+=+，（）2+=+（）2，…（）2+=+（）2，…（1）特例驗證：請再寫出一個具有上述特征的等式：；（2）猜想結論：用n（n為正整數）表示分數的分母，上述等式可表示為：；（3）證明推廣：①（2）中得到的等式一定成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；②等式（）2+=+（）2（m，n為任意實數，且n≠0）成立嗎？若成立，請寫出一個這種形式的等式（要求m，n中至少有一個為無理數）；若不成立，說明理由．19．（8分）某區(qū)教育局為了解今年九年級學生體育測試情況，隨機抽查了某班學生的體育測試成績?yōu)闃颖?，按A、B、C、D四個等級進行統(tǒng)計，并將統(tǒng)計結果繪制成如下的統(tǒng)計圖，請你結合圖中所給信息解答下列問題：說明：A級：90分～100分；B級：75分～89分；C級：60分～74分；D級：60分以下（1）樣本中D級的學生人數占全班學生人數的百分比是；（2）扇形統(tǒng)計圖中A級所在的扇形的圓心角度數是；（3）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）若該校九年級有500名學生，請你用此樣本估計體育測試中A級和B級的學生人數之和.20．（8分）2018年大唐芙蓉園新春燈會以“鼓舞中華”為主題，既有新年韻味，又結合“一帶一路”展示了絲綢之路上古今文化經貿繁榮的盛況。小麗的爸爸買了兩張門票，她和各個兩人都想去觀看，可是爸爸只能帶一人去，于是讀九年級的哥哥提議用他們3人吃飯的彩色筷子做游戲（筷子除顏色不同，其余均相同），其中小麗的筷子顏色是紅色，哥哥的是銀色，爸爸的是白色，將3人的3雙款子全部放在一個不透明的筷簍里搖勻，小麗隨機從筷簍里取出一根，記下顏色放回，然后哥哥同樣從筷簍里取出一根，若兩人取出的筷子顏色相同則小麗去，若不同，則哥哥去。（1）求小麗隨機取出一根筷子是紅色的概率；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求出小隨爸爸去看新春燈會的概率。21．（8分）計算：2﹣1+|﹣|++2cos30°22．（10分）如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為弦，且AB⊥CD于E，點M為上一動點（不包括A，B兩點），射線AM與射線EC交于點F．（1）如圖②，當F在EC的延長線上時，求證：∠AMD＝∠FMC．（2）已知，BE＝2，CD＝1．①求⊙O的半徑；②若△CMF為等腰三角形，求AM的長（結果保留根號）．23．（12分）解分式方程：24．已知四邊形ABCD為正方形，E是BC的中點，連接AE，過點A作∠AFD，使∠AFD=2∠EAB，AF交CD于點F，如圖①，易證：AF=CD+CF．（1）如圖②，當四邊形ABCD為矩形時，其他條件不變，線段AF，CD，CF之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明；（2）如圖③，當四邊形ABCD為平行四邊形時，其他條件不變，線段AF，CD，CF之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．圖①圖②圖③

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解題分析】設銷售該商品每月所獲總利潤為w，則w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴當x=80時，w取得最大值，最大值為3600，即售價為80元/件時，銷售該商品所獲利潤最大，故選C．2、D【解題分析】

由可得，整體代入到原式即可得出答案．【題目詳解】解：，

，

則原式．

故選：D．【題目點撥】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和法則及代數式的求值是解題的關鍵．3、C【解題分析】連接OC，因為點C為弧BD的中點，所以∠BOC=∠DAB=50°，因為OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故選C．4、D【解題分析】試題分析：解：由圖形可得出：甲所用鐵絲的長度為：2a+2b，乙所用鐵絲的長度為：2a+2b，丙所用鐵絲的長度為：2a+2b，故三種方案所用鐵絲一樣長．故選D．考點：生活中的平移現象5、C【解題分析】

先將每個選項的二次根式化簡后再判斷.【題目詳解】解：A：，與不是同類二次根式；B：被開方數是2x，故與不是同類二次根式；C：=，與是同類二次根式；D：=2，與不是同類二次根式.故選C.【題目點撥】本題考查了同類二次根式的概念.6、D【解題分析】【分析】根據同底數冪的乘法、積的乘方、完全平方公式、多項式乘法的法則逐項進行計算即可得.【題目詳解】A.，故A選項錯誤，不符合題意；B.，故B選項錯誤，不符合題意；C.，故C選項錯誤，不符合題意；D.，正確，符合題意，故選D.【題目點撥】本題考查了整式的運算，熟練掌握同底數冪的乘法、積的乘方、完全平方公式、多項式乘法的運算法則是解題的關鍵.7、C【解題分析】由題意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°據勾股定理則BC=m；∴AC+BC=（1+）m.答：樹高為（1+）米．故選C.8、C【解題分析】

根據乘積為1的兩個數互為倒數，可得一個數的倒數．【題目詳解】∵-18=1，∴﹣18的倒數是，故選C.【題目點撥】本題考查了倒數，分子分母交換位置是求一個數的倒數的關鍵．9、B【解題分析】

由科學記數法的定義可得答案.【題目詳解】解：827122億即82712200000000，用科學記數法表示為8.27122×1013，故選B.【題目點撥】科學記數法表示數的標準形式為(＜10且n為整數).10、B【解題分析】∵摸到紅球的概率為，∴，解得n=8，故選B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、【解題分析】

先畫出同一個圓的內接正方形和內接正三角形，設⊙O的半徑為R，求出正方形的邊心距和正三角形的邊心距，再求出比值即可．【題目詳解】設⊙O的半徑為r，⊙O的內接正方形ABCD，如圖，過O作OQ⊥BC于Q，連接OB、OC，即OQ為正方形ABCD的邊心距，∵四邊形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圓，∴O為正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=R；設⊙O的內接正△EFG，如圖，過O作OH⊥FG于H，連接OG，即OH為正△EFG的邊心距，∵正△EFG是⊙O的外接圓，∴∠OGF=∠EGF=30°，∴OH=OG×sin30°=R，∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了正多邊形與圓、解直角三角形，等邊三角形的性質、正方形的性質等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．12、y（y+4）（y﹣4）【解題分析】試題解析：原式故答案為點睛：提取公因式法和公式法相結合因式分解.13、1【解題分析】由統(tǒng)計圖可知共有：8+19+10+3=40人，中位數應為第20與第21個的平均數，而第20個數和第21個數都是1(小時)，則中位數是1小時．故答案為1.14、17【解題分析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA=，∵，∴AC＝8，∴AB==17,故答案為17.15、1．【解題分析】

根據題意分析可得：第1個圖案中棋子的個數5個，第2個圖案中棋子的個數5+6＝11個，…，每個圖形都比前一個圖形多用6個，繼而可求出第30個“小屋子”需要的棋子數．【題目詳解】根據題意分析可得：第1個圖案中棋子的個數5個．第2個圖案中棋子的個數5+6＝11個．…．每個圖形都比前一個圖形多用6個．∴第30個圖案中棋子的個數為5+29×6＝1個．故答案為1．【題目點撥】考核知識點：圖形的規(guī)律.分析出一般數量關系是關鍵.16、【解題分析】

觀察已知數列得到一般性規(guī)律，寫出第20個數即可．【題目詳解】解：觀察數列得：第n個數為，則第20個數是．故答案為．【題目點撥】本題考查了規(guī)律型：數字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解答本題的關鍵．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y=x；③y=x，y=﹣x+；（2）①半徑為4，M（，）；②﹣1＜r＜+1．【解題分析】

（1）①如圖2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解決問題；②如圖2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；③如圖3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．解直角三角形即可解決問題；②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1時，⊙M的半徑即可解決問題.【題目詳解】（1）①如圖2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F，由題意OC=CD=1，OA=BC=2，∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），故答案為（2，0），（1，），（﹣1，）；②如圖2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，∴=，∴，∴y=x；③如圖2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，則有，∴，∴y=﹣x+，故答案為y=x，y=﹣x+；（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N，∵ω=120°，OM⊥y軸，∴∠MOA=30°，∵MF⊥OA，OA=4，∴OF=FA=2，∴FM=2，OM=2FM=4，∵MN∥y軸，∴MN⊥OM，∴MN=，ON=2MN=，∴M（，）；②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．∵MK∥x軸，ω=120°，∴∠MKO=60°，∵MK=OK=2，∴△MKO是等邊三角形，∴MN=，當FN=1時，MF=﹣1，當EN=1時，ME=+1，觀察圖象可知當⊙M的半徑r的取值范圍為﹣1＜r＜+1．故答案為：﹣1＜r＜+1．【題目點撥】本題考查圓綜合題、平行線分線段成比例定理、等邊三角形的判定和性質、平面直角坐標系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考壓軸題．18、（1）（）1+=+（）1；；（1）（）1+=+（）1；；（3）①成立,理由見解析；②成立,理由見解析．【解題分析】

（1）根據題目中的等式列出相同特征的等式即可；（1）根據題意找出等式特征并用n表達即可；（3）①先后證明左右兩邊的等式的結果，如果結果相同則成立；②先證明等式是否成立，如果成立再根據等式的特征寫出m,n至少有一個為無理數的等式.【題目詳解】解：（1）具有上述特征的等式可以是（）1+=+（）1，故答案為（）1+=+（）1；（1）上述等式可表示為（）1+=+（）1，故答案為（）1+=+（）1；（3）①等式成立，證明：∵左邊=（）1+=+=，右邊=+（）1=，∴左邊=右邊，∴等式成立；②此等式也成立，例如：（）1+=+（）1．【題目點撥】本題考查了規(guī)律的知識點，解題的關鍵是根據題目中的等式找出其特征.19、（1）10％;（2）72;（3）5,見解析;（4）330.【解題分析】

解：（1）根據題意得：

D級的學生人數占全班人數的百分比是：

1-20%-46%-24%=10%；

（2）A級所在的扇形的圓心角度數是：20%×360°=72°；

（3）∵A等人數為10人，所占比例為20%，

∴抽查的學生數=10÷20%=50（人），

∴D級的學生人數是50×10%=5（人），

補圖如下：

（4）根據題意得：

體育測試中A級和B級的學生人數之和是：500×（20%+46%）=330（名），

答：體育測試中A級和B級的學生人數之和是330名．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計的知識，要求考生會識別條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.20、（1）;（2）.【解題分析】

（1）直接利用概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有36種等可能的結果數，再找出兩人取出的筷子顏色相同的結果數，然后根據概率公式求解．【題目詳解】（1）小麗隨機取出一根筷子是紅色的概率==；（2）畫樹狀圖為：共有36種等可能的結果數，其中兩人取出的筷子顏色相同的結果數為12，所以小麗隨爸爸去看新春燈會的概率==．【題目點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率．21、+4．【解題分析】

原式利用負整數指數冪法則，二次根式性質，以及特殊角的三角函數值計算即可求出值．【題目詳解】原式＝++2+2×＝+4．【題目點撥】本題考查了實數的運算，涉及了負整數指數冪、特殊角的三角函數值、二次根式的化簡等，熟練掌握各運算的運算法則是解本題的關鍵．22、（1）詳見解析；（2）2；②1或【解題分析】

（1）想辦法證明∠AMD＝∠ADC，∠FMC＝∠ADC即可解決問題；（2）①在Rt△OCE中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；②分兩種情形討論求解即可.【題目詳解】解：（1）證明：如圖②中，連接AC、AD．∵AB⊥CD，∴CE＝ED，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠AMD＝∠ACD，∴∠AMD＝∠ADC，∵∠FMC+∠AMC＝110°，∠AMC+∠ADC＝110°，∴∠FMC＝∠ADC，∴∠FMC＝∠ADC，∴∠FM