汕頭市2023-2024學(xué)年度普通高中畢業(yè)班期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，能表示集合與關(guān)系的Venn圖是（）A. B.C D.2.已知復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.3.設(shè)，則有（）A. B.C. D.4.為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對(duì)科學(xué)?法律?健康等知識(shí)的了解，某學(xué)校組織全校班級(jí)開(kāi)展“紅色百年路?科普萬(wàn)里行”知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)抽取10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)：，據(jù)此估計(jì)該校各個(gè)班級(jí)平均成績(jī)的第40百分位數(shù)為（）A.77 B.78 C.76 D.805.已知，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括端點(diǎn)），向量，的最小值為（）A. B.C. D.6.圖1是一個(gè)水平放置且高為6的直三棱柱容器，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為.將容器底面的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為，如圖2，則（）A.3 B.4 C. D.67.已知函數(shù)圖象的一部分如圖1，則圖2中的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A. B.C. D.8.設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（）A. B.C D.10.已知圓，點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別與圓相切于點(diǎn)，則（）A.圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到的距離為 B.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)C.的最小值是 D.四邊形面積的最小值為211.如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.⊥平面C.異面直線(xiàn)CN和AB所成角的余弦值為D.若P為線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面CMN的距離不是定值12.對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是一個(gè)周期 B.在上有3個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.第16題第一空2分，第二空3分.13.以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為_(kāi)_________.14.高中數(shù)學(xué)教材含必修類(lèi)課本2冊(cè)，選擇性必修類(lèi)課本3冊(cè)，現(xiàn)從中選擇3冊(cè)，要求兩類(lèi)課本中各至少選一冊(cè)，則不同的選法共有__________種.（用數(shù)字作答）15.如圖，在三棱錐中，，若，則直線(xiàn)與所成角的大小是__________.16.三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個(gè)問(wèn)題．古希臘數(shù)學(xué)家Pappus（約300~350前后）借助圓弧和雙曲線(xiàn)給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點(diǎn)；取線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)O，D；以B為焦點(diǎn)，A，D為頂點(diǎn)作雙曲線(xiàn)H．雙曲線(xiàn)H與弧AB的交點(diǎn)記為E，連接CE，則．①雙曲線(xiàn)H的離心率為_(kāi)_______；②若，，CE交AB于點(diǎn)P，則________．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：18.如圖，長(zhǎng)方體中，，，若在上存在點(diǎn)，使得平面.（1）求的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19.某種疾病的歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門(mén)批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給10個(gè)病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.（1）如果新藥有效，把治愈率提高到了，求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率；（精確到0.001，參考數(shù)據(jù)：）（2）根據(jù)（1）中值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.20.在凸四邊形中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，且.（1）若，求的余弦值；（2）若，求邊的長(zhǎng).21.設(shè)橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)分別為.過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）若，求的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)平行于直線(xiàn)？證明你的結(jié)論.22.已知函數(shù)，．（1）若的圖像在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)過(guò)（3，3），求函數(shù)y=xf（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a>0時(shí)，曲線(xiàn)f（x）與曲線(xiàn)g（x）存在唯一的公切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)a的值．汕頭市2023-2024學(xué)年度普通高中畢業(yè)班期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，能表示集合與關(guān)系的Venn圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，結(jié)合集合的交運(yùn)算即可判斷.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，，，根?jù)選項(xiàng)的Venn圖可知選項(xiàng)D符合.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由題意列出方程組，求解即可.【詳解】解：設(shè)，則，，由題意可得,解得，所以.故選：D.3.設(shè)，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.4.為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對(duì)科學(xué)?法律?健康等知識(shí)的了解，某學(xué)校組織全校班級(jí)開(kāi)展“紅色百年路?科普萬(wàn)里行”知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)抽取10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)：，據(jù)此估計(jì)該校各個(gè)班級(jí)平均成績(jī)的第40百分位數(shù)為（）A.77 B.78 C.76 D.80【答案】A【解析】【分析】由第p百分位數(shù)計(jì)算公式可得答案.【詳解】因共10個(gè)數(shù)據(jù)，則，故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大排列第4個(gè)數(shù)據(jù)與第5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：A5.已知，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括端點(diǎn)），向量，的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量共線(xiàn)定理的推論得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括端點(diǎn)），故存在，使得，即，即，因?yàn)橄蛄?，所以，可得，，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C．6.圖1是一個(gè)水平放置且高為6的直三棱柱容器，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為.將容器底面的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為，如圖2，則（）A.3 B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】利用兩個(gè)幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】在圖1中的幾何體中，水的體積為，在圖2的幾何體中，水的體積為，因?yàn)?，可得，解?故選：B.7.已知函數(shù)圖象的一部分如圖1，則圖2中的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換即可得答案.【詳解】解：由題意可知，圖2中的圖象是將圖1中的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)先縮短，再向右平移個(gè)單位得到的.所以對(duì)應(yīng)的解析式為.故選：D.8.設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)在遞增利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，解對(duì)數(shù)不等式即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞增，所以在上恒成立，則，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)遞增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范圍是.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義及概率計(jì)算公式逐項(xiàng)判定即可.【詳解】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，且，所以,即，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，不一定為對(duì)立事件，所以也不一定為對(duì)立事件，故不一定為1，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥的事件，所以，故D正確，故選：AD.10.已知圓，點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別與圓相切于點(diǎn)，則（）A.圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到的距離為 B.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)C.的最小值是 D.四邊形面積的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】利用圓心到直線(xiàn)的距離求解選項(xiàng)A；利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求解方法求解選項(xiàng)B；利用弦長(zhǎng)公式求解選項(xiàng)C；利用切線(xiàn)長(zhǎng)公式求解選項(xiàng)D.【詳解】圓心，半徑，對(duì)A，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離得最小值為，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離得最大值為，所以圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，由題意可知，都在以為直徑的圓上，又，所以為直徑的圓的方程為，整理得，，聯(lián)立可得，，即為直線(xiàn)的方程，即令，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，B正確；對(duì)C，因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線(xiàn)垂直于時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大，則最小，定點(diǎn)與圓心之間的距離為，所以，C正確；對(duì)D，四邊形的面積為,根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)公式可得，，當(dāng)最小時(shí)，最小，，所以最小值為1，即四邊形面積的最小值為1，D錯(cuò)誤；故選:BC.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為棱中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.⊥平面C.異面直線(xiàn)CN和AB所成角的余弦值為D.若P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面CMN的距離不是定值【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，利用空間平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，因?yàn)樗?，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：，設(shè)平面的法向量為，則即令，則所以平面的一個(gè)法向量為因?yàn)榕c不平行，所以⊥平面不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)異面直線(xiàn)CN和AB所成的角為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，所以，又平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)P到平面的距離不是定值.故D正確.故選：AD12.對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.在上有3個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)周期的定義即可判斷；對(duì)于B，令即可求得零點(diǎn)；對(duì)于CD，對(duì)求導(dǎo)，令，判斷單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期，A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，即，即或，解得或或，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由A可知，只需考慮求在上的最大值即可.，則，令，求得或，所以當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，但不恒為0，則在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，為，C正確；對(duì)于D，由C可知，在上不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.第16題第一空2分，第二空3分.13.以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖及相關(guān)系數(shù)的概念判斷即可；【詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，所以，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線(xiàn)上，所以圖①②兩變量的線(xiàn)性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線(xiàn)性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，所以.故答案為：14.高中數(shù)學(xué)教材含必修類(lèi)課本2冊(cè)，選擇性必修類(lèi)課本3冊(cè)，現(xiàn)從中選擇3冊(cè)，要求兩類(lèi)課本中各至少選一冊(cè)，則不同的選法共有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】9【解析】【分析】根據(jù)選取的必修類(lèi)課本數(shù)量分類(lèi)即可.【詳解】第一類(lèi)，只選取一冊(cè)必修類(lèi)課本的選法有種；第二類(lèi)，兩冊(cè)必修類(lèi)課本都選的選法有種.綜上，滿(mǎn)足條件的選法共有種.故答案：915.如圖，在三棱錐中，，若，則直線(xiàn)與所成角的大小是__________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量可得，在根據(jù)模長(zhǎng)可求得，即可求出直線(xiàn)與所成角的大小是.【詳解】根據(jù)題意可得，又，所以可得，即可知，設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，則，又，所以.故答案為：16.三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個(gè)問(wèn)題．古希臘數(shù)學(xué)家Pappus（約300~350前后）借助圓弧和雙曲線(xiàn)給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點(diǎn)；取線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)O，D；以B為焦點(diǎn)，A，D為頂點(diǎn)作雙曲線(xiàn)H．雙曲線(xiàn)H與弧AB的交點(diǎn)記為E，連接CE，則．①雙曲線(xiàn)H的離心率為_(kāi)_______；②若，，CE交AB于點(diǎn)P，則________．【答案】①.2②.【解析】【分析】①根據(jù)圖形關(guān)系確定即可求解；利用面積之比，進(jìn)而可求出，再根據(jù)求解.【詳解】①由題可得所以，所以雙曲線(xiàn)H的離心率為；②，因?yàn)?，且，所?又因?yàn)?，所以所以，所?因?yàn)?解得，所以,故答案為:2;.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，得到時(shí)，，兩式相減可得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由是公差為的等差數(shù)列，可得，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)?，所以，所?18.如圖，長(zhǎng)方體中，，，若在上存在點(diǎn)，使得平面.（1）求的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，令即可求出的值；（2）求出平面的法向量，計(jì)算和的夾角即可得出二面角的大小.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，平面，，即，解得，.（2）由（1）可知，，為平面的法向量，，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，2，，，.平面與平面夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二面角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線(xiàn)法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個(gè)平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個(gè)平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過(guò)觀察二面角的大小選擇“”號(hào)）19.某種疾病的歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門(mén)批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給10個(gè)病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.（1）如果新藥有效，把治愈率提高到了，求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率；（精確到0.001，參考數(shù)據(jù)：）（2）根據(jù)（1）中值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.【答案】19.20.試驗(yàn)方案合理【解析】【分析】（1）先分析新藥無(wú)效的情況：10中0人或1人或2人或3人或4人痊愈，由此求解出無(wú)效的概率；（2）結(jié)合（1）該藥無(wú)效的概率分析試驗(yàn)方案的合理性得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)通過(guò)試驗(yàn)痊愈的人數(shù)為變量，則，所以經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為：.【小問(wèn)2詳解】由題意，新藥是有效的，由（1）得經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為，概率很小是小概率事件，故試驗(yàn)方案合理.20.在凸四邊形中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，且.（1）若，求的余弦值；（2）若，求邊的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，在與中，分別利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解；（2）在中由正弦定理得，從而求得，進(jìn)一步利用直角三角形的性質(zhì)得，，在中由余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.21.設(shè)橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)分別為.過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）若，求的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)平行于直線(xiàn)？證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）不存在