雁江區(qū)伍隍中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一次月考考試時(shí)間：120min總分：150分一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解.詳解】,故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.不存在 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)全稱(chēng)命題的否定的定義得到答案.【詳解】命題“”的否定為：.故選：D.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】偶次開(kāi)根根號(hào)下非負(fù)，分式分母不為零，據(jù)此列出不等式組即可求解.【詳解】依題意，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B．4.“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，根據(jù)充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由在上為增函數(shù)，則，所以“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B5已知函數(shù)，若，實(shí)數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而，由此能求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：函數(shù)，，，，解得實(shí)數(shù)．故選：．6.已知是定義在[a1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（）A.－ B. C.－ D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b【詳解】∵在[a1，2a]上是偶函數(shù)∴有：b＝0，且a－1＝－2a∴a＝∴a＋b＝故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性；根據(jù)偶函數(shù)的定義且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求參數(shù)值7.已知，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的最大值為2.故選：D.8.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，且開(kāi)口向下，因?yàn)槭巧显龊瘮?shù)，所以有，故選：B二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分，漏選得2分，選錯(cuò)得0分）9.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先求出集合中的元素，然后逐一代入集合計(jì)算求，不要遺漏即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，綜合得.故選：ABC.10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】用不等式的性質(zhì)或使用特例排除法，逐一驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】和都無(wú)法比較與的大小，故選項(xiàng)A和選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，則，由，則，所以時(shí)，有，選項(xiàng)C正確；當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，那么關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn) B.在上單調(diào)遞增C.有最大值1，無(wú)最小值 D.有最大值3，最小值1【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)的圖象，借助圖象逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】依題意，由解得，則，作出函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象知，函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，有最大值1，無(wú)最小值，即選項(xiàng)A，C正確；選項(xiàng)B，D不正確.故選：AC12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的最大值為1；B.函數(shù)的最小值為0C.函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于A：函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)的最小值為0，故B正確；對(duì)于C：函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)不是上的增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.若冪函數(shù)為偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)和偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】∵函數(shù)為冪函數(shù)，∴，解得或，又∵為偶函數(shù)，∴，故答案為：.14.已知，則___________．【答案】【解析】【分析】利用換元法可得答案.【詳解】令，則，，所以，所以，.故答案為：.15.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，為偶函數(shù)，，所以在單調(diào)遞增，，不等式可變形為或，解得或.故答案為：.16.已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.【答案】####【解析】【分析】求出函數(shù)的值域，再解不等式組即得解.【詳解】解：由題得在時(shí)，當(dāng)函數(shù)取最小值當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值3，所以此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?；在時(shí)的值域?yàn)?，由題得.所以.故答案為：四．解答題（共6小題）17.設(shè)集合．（1）求；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出集合，然后直接求即可；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】由得或，所以或，，所以【小問(wèn)2詳解】由得或，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為或．18.已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）求的解析式；（3）畫(huà)出簡(jiǎn)圖；寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間(只需寫(xiě)出結(jié)果，不要解答過(guò)程).【答案】（1）；（2）；（3）（﹣1，0），（1，+∞）【解析】【詳解】解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x，f（﹣x）＝f（x），∴f（1）＝﹣1，f（﹣2）＝f（2）＝0；（2）∵y＝f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，∴f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，∴f（x）．（2）∵f（x），∴當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x2﹣2x，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣1），當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝0，x2＝2；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0．當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x2+2x，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，﹣1），當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2．由此能作出函數(shù)f（x）的圖象如下：結(jié)合圖象，知f（x）的增區(qū)間是（﹣1，0），（1，+∞）．19.已知命題p：，不等式恒成立；命題q：為實(shí)數(shù)，使有解.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若命題p，q中恰有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三個(gè)“二次”的關(guān)系列不等式求解；（2）分真假和假真兩種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，命題：，不等式恒成立；若命題為真命題，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，命題，，成立，則，即，∴或，又由命題，中恰有一個(gè)為真命題，則命題，一真一假，①當(dāng)真假時(shí)，，解得：，②當(dāng)假真時(shí)，，解得：．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．20.已知函數(shù)，滿(mǎn)足條件.（1）求的解析式；（2）用單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增，并求在上的最值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入得到方程組，解得即可；（2）利用定義法證明，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以解得所以；【小?wèn)2詳解】由，設(shè)任意的且，則因?yàn)榍?，所以，所以，則在上單調(diào)遞增，所以.21.某地某路無(wú)人駕駛公交車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿(mǎn)足，，經(jīng)測(cè)算.該路無(wú)人駕駛公交車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔滿(mǎn)足：，其中.（1）求，并說(shuō)明的實(shí)際意義：（2）若該路公交車(chē)每分鐘的凈收益（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該路公交車(chē)每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.【答案】（1）；發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，載客量為（2）發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該路公交車(chē)每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為元．【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)的解析式，可計(jì)算出，結(jié)合題意說(shuō)明的實(shí)際意義；（2）求出函數(shù)的解析式，分別求出該函數(shù)在區(qū)間和上的最大值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，實(shí)際意義為：發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，載客量為；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．綜上所述，當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該路公交車(chē)每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為元．22.定義域在R的單調(diào)函數(shù)滿(mǎn)足恒等式，且.（1）求，；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若對(duì)于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）取代入函數(shù)滿(mǎn)足的等式，整理可得，再令，根據(jù)，可算出；（2）令，可得，即，可得函數(shù)為奇函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)是