成都市2020級高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測

數(shù)學（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁，第II卷（非選擇題）3至4頁,

共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

擦干凈后，再選涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合，=料一={小--4x+3W。},則AF=（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.{x|l<x<21D.|x|l<x<3}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，得到8={x|l〈x<3},進而求出交集.

【詳解】8={乂》2-4%+3<。}={即<》<3},

故AcB=何1<x<2}.

故選：C

2.滿足（l+i）z=3+i（i為虛數(shù)單位）的復數(shù)z=（）

A.2-iB.2+i

C.l+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得復數(shù)Z.

3+i_(3+i)(l-i)_4-2i

【詳解】由復數(shù)的除法可得

ZT+T-(l+i)(l-i)-2

故選：A.

3.拋物線V=2y的焦點坐標為()

A(。，1)C.g,o)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線r=2px的焦點為求解.

【詳解】因為拋物線無2=2),

所以〃=1,所以焦點坐標為=(0,(]

故選：B

4.下圖為2012年—2021年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列

結(jié)論正確的是()

A.2012年一2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

B.2012年一2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

C.2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年工業(yè)企業(yè)利潤

總額增速

D.2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)折線圖給出的數(shù)據(jù)進行計算可判斷出答案.

【詳解】對于A,2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2017到2018利潤總額下降，故A

不正確；

對于B,2015年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2014到2015利潤總額下降，2019年工業(yè)企業(yè)利潤總額

增速為負數(shù)，從2018到2019利潤總額下降，故B不正確；

對于C,2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均為正數(shù)，所以利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長,

且其增速均大于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，故C正確；

對于D,2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為

5.3+12.2+3.3-2.3+8.5+21+10.3—3.3+4.1+34.3

=9.34,2012年—2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利

10

7.9+19.7+17.1+5.9+12.8+22.9—3.1+3.1+17.2+38.9

潤總額增速的均值為=14.24,9.34<14.24,

10

故D不正確.

故選：C

光+y-4M0,

5.若實數(shù)蒼丁滿足約束條件｛yNO,則z=x+2y的最大值是()

x-y>0.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解.

x+y-4<0,

【詳解】畫出約束條件<所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x-y>0.

1z

目標函數(shù)z=x+2y,可化為直線丁=一5犬+/,

當直線y=三過點A時在>上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值,

-22

x+y-4=0

又由《，解得A(2,2),

x-y=0

所以目標函數(shù)Z=x+2y的最大值為Zm”=2+2x2=6.

故選：c.

6.下列命題中錯誤的是()

A.在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)『的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強

B.對分類變量x與y,它們的隨機變量長2的觀測值我越小，說明“x與y有關(guān)系”的把握越大

c.線性回歸直線勺=%恒過樣本中心(元》)

D.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

【答案】B

【解析】

【分析】相關(guān)系數(shù)『來說，卜|越接近1,相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好可判斷A；由隨機變量K2的觀

測值Z可判斷B；由線性回歸直線一定恒過樣本中心可判斷C；由殘差平方和越小，模型的擬合效果越好,

可判斷D.

【詳解】對于A,回歸分析中，對于相關(guān)系數(shù)「，

上|越接近1，相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好，A對；

對于B,對分類變量X與丫，它們的隨機變量K?的

觀測值七越小，說明“x與丫有關(guān)系”的可能性越小，B錯：

對于c,由線性回歸直線a=去+&,其中&=歹一宸

所以一定恒過樣本中心(元歹)，所以C正確；

對于D,在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的

擬合效果越好，D正確.

故選：B

7.若函數(shù)〃x)=x(x+a)2在x=l處有極大值，則實數(shù)。的值為()

A.1B.-1或一3C.-1D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的導數(shù)可得7(1)=0,解出。的值之后驗證函數(shù)在X=1處取得極大值.

【詳解】函數(shù)/(x)=x(x+a)2,r(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

函數(shù)〃x)=x(x+a)2在x=l處有極大值，可得/'(l)=(l+a)(3+a)=0,解得a=-I或a=—3,

當a=T時，/z(x)=(x-l)(3x-l),時/(力＜0,xe(l,+oo)時＞0,

/(x)在((』)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，/(尤)在x=l處有極小值，不合題意.

當a=-3時，/'(x)=(x-3)(3x-3),%€(-＜?,1)時用勾＞0,xe(l,3)時r(x)＜0,

在(-8,1)上單調(diào)遞增，在0,3)上單調(diào)遞減，“X)在％=1處有極大值，符合題意.

綜上可得，a——3.

故選：D

8.已知直線/，相和平面a,/.若a，尸,/J_a,則“/_Lm”是“根J_￡”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】因為

若m_L6，則可得/_Lm,必要性成立；

若/_Lm,則加〃a或機ua都有可能，但是加，/?不一定成立，充分性不成立.

所以“/，m”是“加，夕’的必要不充分條件.

故選:B.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”.若q=2,《用=S?,則Sg=()

A.512B.510C.256D.254

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)s“與乙的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.

【詳解】由凡+1=S“=>Sn+i-Sn-SnnSn+l-2Sn,

所以數(shù)列｛S“｝是以2為首項，2為公式的等比數(shù)列，于是鼠=2"=256,

故選：C

10.日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽?，同時，另一部分被海水中的有機物和無機物有選擇

性地吸收與散射.因而海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用/o=/0e-m表示其總衰減規(guī)律，其中

K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和（單位：坎

德拉）分別表示在深度。處和海面的光強.已知某海區(qū)10米深處的光強是海面光強的30%,則該海區(qū)消光

系數(shù)K的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,In3?l.l,ln5?1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.（）.01

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出方程，得到30%=仁|冰，兩邊取對數(shù)后，求出K的值.

OK

【詳解】由題意得：30%/0=Ioe-',即30%=eT°K,

兩邊取對數(shù)得：一10K=ln3-lnl0=ln3-ln2-ln5,

.In2+In5—In30.7+1.6—1.1.

故K=-------------------?------------------=0.12.

1010

故選：A

11.已知側(cè)棱長為2G的正四棱錐各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為36萬，則該正四棱錐的體積

為（）

168〃832

A.—B.+C.-D.—

3333

【答案】D

【解析】

【分析】作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運用勾股定理分別計算.

【詳解】設(shè)四棱錐為P—ABCD,底面ABCD的中心為O,

設(shè)外接球的半徑為R,底面正方形的邊長為2a,四棱錐的高為PO=h,則4萬R2=36萬,R=3,B0=e，

當外接球的球心在錐內(nèi)時為。1,在Rt二P8O中，BO2+PO2=PB2，

即2a2+川=12…①，在Rt80。中，。。；+8。2=3。；，即（4—3）二+2"=3?…②，

聯(lián)立①②，解得。=2,〃=2＜尺（舍）；

當外接球的球心在錐外時為。2,在RQPBO中，BO1+PO2=PB2，

即2/+川=12…③，在RtBOO2中，BO2+OO;=BO1,BP2a2+（3-A）2=32

I93?

聯(lián)立③④解得a=2,〃=2,四棱錐的體積VP_ABCD=-x（2x2）x2=y；

故選：D.

12.已知平面向量a、b、c滿足a$=0，忖=W=1，—=則卜一《的最大值為（）

歷3

A.近B.1+-C.-D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】在平面內(nèi)一點0,作。4=a，0B=b0C=c，取AB的中點E,計算出|叫、,q的值,

利用向量三角不等式可求得卜一耳的最大值.

【詳解】在平面內(nèi)一點。，作04=a，0B=b，0C=c，則ab=0408=0，則OA_LO5,

uun

因為|?|=W=1'則=|。8卜1故_A@B為等腰直角三角形,則AB=力2,

取AB的中點E，則0￡=QA+AE=0A+gAB=0A+g(08—QA)=g(QA+0B)=；(a+bb

222(,方Y(jié)1

所以，(〃+〃)"=7+//+24/=2,所以，絲2

、2J2

因為卜-。卜卜-匕)=1-c.(a+8)=g，

所以,J—c.(a+b)+(“叫=c-^-=(0C—0E『=EC2=1，貝"七4=1,

412J

所以，卜一《=區(qū)一04=,(=腿+用小曰+忸。卜與+1.

當且僅當AE、EC同向時，等號成立，故卜一4的最大值為孝+1.

故選：B.

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.在公差為d的等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知q+%+〃3=3,4+〃6=4,貝ijd=

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，將己知等式化簡，兩式相減即可求得答案.

【詳解】由題意公差為d的等差數(shù)列｛4｝中，。1+。2+。3=3,%+“6=4,

則3q+3d=3,2。[+84=4,即〃[+4=1,4+44=2,

故3d=1,??.〃」，

3

故答案為：!

3

展開式中常數(shù)項為

【答案】240

【解析】

【分析】先求出二項式（x-2）

的展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于0,求出廠的值，即可求得展開式

中的常數(shù)項.

【詳解】［x—^\-

展開式的通項公式7；句=C^-rqx(-2yx/2

（x—?。┑恼归_式的常數(shù)項為C：X24=240,故答案為240.

【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱

點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下兒個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公

式7；M=C/"-7/：（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)

和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.

15.已知雙曲線f—與=1（4>0/>0）與圓Y+y2=2c2（C為雙曲線的半焦距）的四個交點恰為一個

正方形的四個頂點，則雙曲線的離心率為

［答案］好±1

【解析】

【分析】將雙曲線方程和圓的方程聯(lián)立可求得V,y2,由曲線對稱性和正方形特征知V=y2,由此構(gòu)造齊

次方程求得離心率.

X2V2

【詳解】由—乒=1得：尤2=2/+4，/=2〃一4，

x2+y=2c2cC

兩曲線交點恰為一個正方形四個頂點，，X2=J?,即2/+咚=262-咚，

整理可得：一3〃2c2+〃4=0,/-3/+]=0,

解得：e?=匹咨，又e>l，，e3+V56+2逐V5+1,則0=立里

22

故答案為：墾1.

2

16.已知函數(shù)/(x)=sin2%-sinx+匕%?0,兀］.有下列結(jié)論:

①若函數(shù)/(X)有零點，則左的范圍是18,：；

②函數(shù)“X)的零點個數(shù)可能為0,2,3,4；

③若函數(shù)/(x)有四個零點%,々，％3，％4，則Ae(o,3)，且X+X2+X3+X4=2兀；

④若函數(shù)/(X)有四個零點％(，々,玉,％4(3<W<玉</)，且%,々，芻，工4成等差數(shù)列，則々為定值，且

3518

其中所有正確結(jié)論的編號為.

【答案】②③④

【解析】

【分析】令sinx=r,因xe［0,句,則問0,1］.

對于①，f(x)=sm2x-sinx+k=O^>k=t-t2,則函數(shù)/(%)有零點相當于函數(shù)

g(f)=f-r"e［0,1］的圖像與直線y=女有交點，做出相關(guān)圖像可得答案；

對于②，由圖可得答案；

對于③，由圖可得時，g(r)=/—產(chǎn)，re［0,1］的圖像與直線y=Z有2個點，即產(chǎn)_/+攵=0

有兩個根，1，t2,得sinx=4，sinx=/2.方程sinx=4,sinx=L在［(),兀］上均有兩個根，設(shè)為

xx,x4,x2,x,?即可得答案；

11

對于④，由③可知，sin尤?+sinz=1，々+/=，設(shè)數(shù)列公差為d，則d=n~2x2,

(兀<y\

=1在^77上有唯一解即可.

sin（3X2-n）+sinx=1,說明方程sin（3毛一+sinx2

v31o7

【詳解】令sinx=f,因工?0,可，貝

對于①，./'(x)=sin?x—sinx+左=0=左=7——，

則函數(shù)/(x)有零點相當于函數(shù)g(f)=e[(),1]圖像與直線y=上有交點，

做出g(t)=t-r,te[0,1]的圖像，

由圖可得若函數(shù)/(x)有零點，則攵的范圍是0,；,故①錯誤；

對于②，由圖，當女e(7,0)U時，g?)=￡e[0,1]的圖像與直線y=女無交點，

得“X)有0個零點；

當％=0,2=1—rn/=0或/=1，得sin%=0或sinx=l,解得xG<0,—,,

即此時/(另有3個零點；

當由圖可得，此時g(f)=f-e[0,1]的圖像與直線y=左有2個交點，

即方程2=一*有2個解，設(shè)為4，t2,

又方程sinX=乙，sinx=右各有兩個解，即此時/(%)有4個零點；

當％=l，k=t-t~=>r=—,得sinx=—=>%=二或x=2,

42266

即此時/(x)有2個零點.綜上函數(shù)/(X)的零點個數(shù)可能為023,4,故②正確.

對于③，當上由圖可得，此時g(。=/一/"￡[0,1]的圖像與直線y=女有2個交點，即方

程4="尸有2個解，設(shè)為4，t2,

又方程sinx=4，sinx=右各有兩個解，即此時/(x)有4個零點.設(shè)方程sinxf兩根為％,x4,方

程sinx=72兩根為々，x?,

因sin%=sinx4=sinx2-sinx3=t2,

則%+/=n,x2+x3=冗=>%+&+F+/=2兀，故③正確;

對于④，由③分析知k=”產(chǎn)有2個解，設(shè)為G，2，則由韋達定理有。+，2=L

又%]+X4=兀，々+%3=兀，X]<X2<X3<X4,

,JI

則。<玉<x2<—<x3<x4〈兀.

又sinXj=sinx4=t19sinx2=sinx3=t2,貝ijsin+sinx2=1.

設(shè)數(shù)列公差為d,則W-&=Z一％=d,又w+工3=兀，

可得d=兀-2X2,%=3X2~冗

代入sin+sinx2=1,得sin（3x2一冗）+sinx2=1,

令h（x）=sin（3x—兀）+sinx-1,xG—

（吟

則/（x）=3cos（3x—兀）+cosx,因3x—ne0,-則〃（x）>0,

<2,

/(n兀、

得從外在？3上單調(diào)遞增，又

JI7n.兀7兀JI

h=sm0+sin---1<0,h=sin——bsin----1>2sin----1=0.

5318；6186

兀7兀

則存在唯一實數(shù)々e，使得M%2)=0?得々為常數(shù)，為方程sin（3X2-JI）+sinx2=1在

7t7兀、

上的唯一解.故④正確.

故答案為：②③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用圖像和導數(shù)研究函數(shù)的零點，難度較大.

判斷①②③時，利用圖像可較為簡介地解決問題；對于④，常規(guī)思路為求出巧的值，但因難以求出，故建

立與4有關(guān)的方程，說明其解的唯一性并確定范圍.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數(shù)超114萬，志愿服務(wù)時長超268萬小

時.2022年6月，成都22個市級部門聯(lián)合啟動了2022年成都市青年志愿服務(wù)項目大賽，項目大賽申報期間,

共收到331個主體的416個志愿服務(wù)項目,覆蓋文明實踐、社區(qū)治理與鄰里守望、環(huán)境保護等13大領(lǐng)域.已知

某領(lǐng)域共有50支志愿隊伍申報，主管部門組織專家對志愿者申報隊伍進行評審打分，并將專家評分（單位:

（2）從評分不低于80分的隊伍中隨機選取3支隊伍，該3支隊伍中評分不低于90分的隊伍數(shù)為X，求隨

機變量X的分布列和期望.

【答案】⑴加=0.012

3

（2）分布列見解析，E（X）=；

【解析】

【分析】（1）利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可.

（2）先求出評分不低于80分的隊伍數(shù)，以及評分不低于90分的隊伍數(shù)，確定隨機變量X的取值，求出概

率，寫出分布列，求得期望.

【小問1詳解】

由（0.（）（）4x2+0.022+0.030+0.028+m）xl0=l,

解得機=0.012.

【小問2詳解】

由題意知不低于80分的隊伍有50x（0.12+0.04）=8支，

不低于90分的隊伍有50x0.04=2支.

隨機變量X的可能取值為0,1,2.

P（X=0）瞪哈。（X=1）=等=1|,P（X=2）=曾=京,

3

4

18.記_748。的內(nèi)角48,。所對邊分別為4/,（?.已知2=sinC+cosC.

a

（1）求A的大小;

（2）若2j5sinB=3sinC，再從下列條件①，條件②中任選一個作為已知，求.46。的面積.

條件①：asinC=2；條件②：ac-2J16.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】Q）A=：；

4

（2）3.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求A；

（2）若選①，由正弦定理求，，由條件求。，結(jié)合三角形面積公式求面積，

若選②，由條件可設(shè)c=20加⑦=3根（加〉0）,利用余弦定理求加，結(jié)合三角形面積公式求面積.

【小問1詳解】

b._-

—=sinC+cosC,

a

由正弦定理知——=sinC+cosC,即sinB=sinAsinC+sinAcosC.

sinA

在一ABC中，由8=7i—（A+C）,

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC4-sinAcosC.

/.cosAsinC=sinAsinC.CG(O,K),sinCw0.

sinA=cosA.

JT

AG(O,K),.\A=—.

【小問2詳解】

若選擇條件①，由正弦定理二j二,得asinC=csinA=也。=2.

sinAsinC2

/.c=2A/2?

又2V^sin6=3sinC，即2任=3c?

.,.力=3.

/.SABC=；〃csinA=gx3x2V^sin；=3.

若選擇條件②，由2j5sinB=3sinC，即2任=3c.

設(shè)c=2也m,b=3m(m>0).

則a2=b2+c2-2bccosA=5mt.二a=V5m.

m2得

=〃=

"

。

Q-入

-?

1V12

兀

5-=-X3X2后m?-3

ABe224-

19.如圖①，在等腰直角三角形ABC中，/A=90,46=3,。,￡分別是人。,8。上的點，且滿足

。石//43.將_8￡沿。￡折起，得到如圖②所示的四棱錐P—A6EZ）

（1）設(shè)平面ABPc平面￡>EP=/,證明：/J_平面ADP；

（2）若PA=EDE=2,求直線PD與平面PEB所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）近

3

【解析】

【分析】（1）由OE//AB得到線面平行，進而由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，得到證

明出線面垂直，

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值.

【小問1詳解】

OE〃AB,OE①平面PAB,ABu平面Q45，

.??。后//平面以6.

DEu平面PDE，平面PDE平面P4B=/,

：.DEHl.

由圖①OE14C,得DE上DA,DE工DP,

:.lLDA,lLDP.

DA,DPu平面ADP,DAryDP=D,

二/J?平面ADP；

【小問2詳解】

由題意，得DE=DP=2,DA=1.

,AP=y/5=dDP?+DA?,DA±DP.

又DELDP,DELDA,以。為坐標原點，D4,OE,OP的方向分別為x軸，，軸，z軸正方向，建立如

圖所示的空間直角坐標系Dxyz.

則。（0,0,0）,E（0,2,0）,B。,3,0）,尸（0,0,2）,

PD=(O,O,-2),PE=(O,2,-2),PB=(l,3,-2).

設(shè)平面PHE的一個法向量為〃=(x,y,z).

n.PB=(尤,y,z)?(1,3,-2)=x+3y—2z=0

n?PE—(x,y,z).(0,2,-2)=2y-2z=0

令z=l，得y=l,x=-l,故〃=(一1,1,1).

設(shè)與平面PEB所成角為e.

〃PD|(一1,1,1)?((),(),—2)|2G

sin9=

n||pZ)2xVl+l+l2x73-3

直線PD與平面PEB所成角的正弦值為B

3

22

20.已知橢圓C:*+%=l（a>b>0）的左，右焦點分別為￡,工，上頂點為。，且工為等邊三角

形.經(jīng)過焦點居的直線/與橢圓。相交于兩點，片45的周長為8.

（1）求橢圓。的方程；

（2）試探究：在x軸上是否存在定點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請

說明理由.

22

【答案】（1）工+匕=1

43

（2）存在定點T，使得ATTB為定值

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三邊長相等可知a=2c,根據(jù)，片43周長為4a可求得。，結(jié)合橢圓a,4c關(guān)

系可求得結(jié)果；

（2）假設(shè)存在滿足題意定點T（/,0）,設(shè)/:x=my+l,與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論；根據(jù)向量

數(shù)量積的坐標運算表示出工4?73,代入韋達定理的結(jié)論整理可得。476=（6'-15）"-9+2,根

3評+4''

6159

據(jù)刀1?re為定值可構(gòu)造方程^~~-=--求得r的值，從而得到定點坐標.

【小問1詳解】

「?△。/譙為等邊三角形，國=03|=<從+。2=a，|￡@=2c,."=2/

■.FtAB周長為8，，|A4|+忸制+|A@=|A6|+忸制+|傷|+忸周=4a=8,

解得：。=2,C=l,/=/—02=3，

22

橢圓。的方程為：—+^-=1.

43

【小問2詳解】

假設(shè)在x軸上存在定點T（f,0）,使得TA-TB為定值；

由（1）知：5（1,0）,直線/斜率不為零，

可設(shè)/:x=ay+l,3（七,％）,

x=my+1

由,龍2y2得：（362+4）;/+6）取一9=0,則A=48（3/T72+3）>0,

143

6m9

X1+必2=--3-->5+4，X1%2=--3-加-7-+-4-'

m.7B=（玉T）（/T）+X%=（沖I+1—f）（陽2+1T）+y%

二（加2+1）9%+加（1-￡）（。+%）+（1-￡）2=稱3_6；!工）+（1―。2

..,6r—15911.......135

7>V7B為定值，------=一一，解得：/=-.此時定值為一--；

34864

二存在定點T(9,0

使得ZA.Tfi為定值?

【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中定點、定值問題的求解，求解此類問題的基本思路

如下：

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于*或y的一元二次方程的形式；

②利用A>()求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；

③利用韋達定理表示出所求量，代入韋達定理可整理消元確定定值或根據(jù)定值求得定點.

21.已知函數(shù)/(x)=ln(分),a>0.

(1)當a=l時，若曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為丫=齒+人，證明：〃x)K"+"

(2)若,f(x)W(x-l)eA",求〃的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(0,1].

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)并求出最值作答.

(2)由給定不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理分類討論求解不等式恒成立的。的范圍作答.

【小問1詳解】

當a=l時，〃x)=lnx,

依題意，曲線y=〃x)在x=l處的切點為(1,0),而/'(x)=(,有/'⑴=1,

即曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y=x—l,記g(x)=/(x)-依-b=lnx-x+1,

求導得g'(x)=y，當X€(O,(時,g'(x)>(),g(x)遞增,當時，g'(x)<0，g(x)遞

減，

因此g(x)Wg(l)=0,所以7(x)〈區(qū)+人成立.

【小問2詳解】

記〃=-/(x)=(x-l)ejr-a-lnx-lna,x>0,依題意，力(%)20恒成立,

求導得〃(x)=xei-±x>0,令y=〃'(x)=xei-’，y=(x+l)e*-a+e>0,

則〃'(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，又/(；)=；「-"—2<0,”(4+1)=(4+1卜一一彳>0,

則叫+,使得“(M)=0,即成立，

則當xe(O,Xo),〃'(x)<O,〃(x)單調(diào)遞減；當xe(后,+8),〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

〃(x)min=〃(玉))=(玉)T)e*~"-1叫)-lna,由=’,得e*"-"=二,。=%+21必0,

于是得〃(%)=互1---lax0-In(JC()+21iw0),當xe(l,+oo)時，令r(x)=壬J?-Inr,

X。x

有f'(x)=-~~""")<0"(X)在(1,+CQ)上單調(diào)遞減,

而x+21nx在(l,+o。)上單調(diào)遞增，即有函數(shù)y=Tn(x+21nx)在(1,+0。)上單調(diào)遞減，

于是得函數(shù)9(x)=;^y^-lnx-ln(x+21nx)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

則當天e(l,+oo)時，〃伉)=夕伍)<夕(1)=0,不合題意;

當且Xo+21aXo>0時，由(1)中InrWx-l知，-1叫21-有

-In(+21nx())>1—(JQ)+2111^)),

JQ-[JQ-]

n

從而〃(x())=---1_In(/+210X())>---lnx0+1-(/+21ILX0)

=-31nx0-x0+l>閆_3(%-1)-/+1=(1-%)(2%T)(2%+1),

X。/X；

由知〃(玉)