第2講新情境新命題新高考試題突出對情境應(yīng)用題的考查,引導(dǎo)學(xué)生由“解題”向“解決問題”方向轉(zhuǎn)變.試題情境貼近時代、貼近社會、貼近生活,以前沿科技、社會熱點(diǎn)、傳統(tǒng)文化、日常生活中的實(shí)際問題為背景,考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力,強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,常以圖、表、文并用的方式呈現(xiàn),情境新穎,信息量大,解題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)建模.一、關(guān)注科技前沿,樹立遠(yuǎn)大志向例1(1)(2022北京,7)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是(

)A.當(dāng)T=220,P=1026時,二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T=300,P=9987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D解析

對于選項A,lg

P=lg

1

026>3,T=220,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于固態(tài);對于選項B,lg

P=lg

128>2,T=270,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于液態(tài);對于選項C,lg

P=lg

9

987≈3.999,T=300,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于固態(tài);對于選項D,lg

P=lg

729>2,T=360,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于超臨界狀態(tài).故選D.(2)(多選題)(2023新高考Ⅱ,12)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).則下列說法正確的是(

)A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率ABD解析

設(shè)事件“發(fā)送0,收到0”為事件A0,設(shè)事件“發(fā)送0,收到1”為事件A1,設(shè)事件“發(fā)送1,收到0”為事件B0,設(shè)事件“發(fā)送1,收到1”為事件B1.由題知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互獨(dú)立.對于選項A,所求事件為B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)·(1-β)=(1-α)(1-β)2,所以A正確;對于選項B,所求事件為B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正確;對于選項C,所求事件為B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C錯誤;對于選項D,采用三次傳輸,事件為A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用單次傳輸,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因?yàn)?<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率,所以選項D正確.故選ABD.(3)(2021新高考Ⅱ,4)北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400km的球,其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位:km2),則S占地球表面積的百分比約為(

)A.26% B.34% C.42% D.50%C二、聚焦社會熱點(diǎn),彰顯責(zé)任擔(dān)當(dāng)例2(1)(2021全國甲,理4)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(

)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6C(2)(多選題)(2023新高考Ⅰ,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級

,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則(

)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2ACD三、弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,增強(qiáng)民族自信B(2)(2022新高考Ⅱ,3)中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處,更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖1是某古建筑物中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步的比分別為

,若k1,k2,k3是公差為0.1的等差數(shù)列,直線OA的斜率為0.725,則k3=(

)A.0.75 B.0.8

C.0.85

D.0.9圖1圖2D(3)(2020全國Ⅱ,理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊C解析

由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為{an}.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,所以9n2=729,解得n=9.四、注重五育并舉,培育時代新人例4(1)(2023全國甲,理6)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6

C.0.5

D.0.4A解析

由題意可知,既愛好滑冰又愛好滑雪的同學(xué)占60%+50%-70%=40%.設(shè)事件A為“該同學(xué)愛好滑雪”,事件B為“該同學(xué)愛好滑冰”,則所求概率為(2)(2020全國Ⅱ,文3)如圖,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為(

)

A.5 B.8

C.10

D.15C解析

結(jié)合題意,原位大三和弦有(a1,a5,a8),(a2,a6,a9),(a3,a7,a10),(a4,a8,a11),(a5,a9,a12),共5個,原位小三和弦有(a1,a4,a8),(a2,a5,a9),(a3,a6,a10),(a4,a7,a11),(a5,a8,a12),共5個,故原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為5+5=10.故選C.(3)(2020新高考Ⅰ,15)某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是