第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)能夠完整地描述隨

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束但要確定隨機(jī)變量的分在許多實(shí)際問題中，數(shù)學(xué)期望、方差、知道它的假設(shè)干重要特征：機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

布函數(shù)絕非易事，只需要相關(guān)系數(shù)等。1.第一節(jié)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2.本節(jié)的教學(xué)要求理解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念及性質(zhì)掌握常用分布的數(shù)學(xué)期望會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望重點(diǎn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

引例某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.義X的平均值呢？車工如何定4.假設(shè)統(tǒng)計(jì)100天,32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？〔假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品〕隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

5.可以想象，假設(shè)另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品、出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,假設(shè)統(tǒng)計(jì)n天,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

6.這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值

.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

7.定義1

設(shè)隨機(jī)變量X，它的分布律是:

P{X=xi}=pi,i=1,2,…注意:

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望,又稱為均值。假設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，那么稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

8.例1

0

1

2

00.20.8

0

1

20.60.30.1問應(yīng)如何評(píng)定甲、乙兩人技術(shù)的優(yōu)劣？即甲的射擊技術(shù)比乙好。隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

9.例2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

10.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),

小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,那么X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是11.由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),假設(shè)積分絕對(duì)收斂,那么稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即注意:

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

12.例3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

13.三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比方說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

14.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

15.(1)當(dāng)X為離散型時(shí),它的分布律為P(X=xi)=pi;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為f(x).假設(shè)定理

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

若絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有16.知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.不必這17.上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

18.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

〔2〕假設(shè)是二維離散型，概率分布為，那么有19.例4

已知隨機(jī)變量的分布列為

.求（1）解由定理1得〔1〕（2）.；（2）的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

20..例11設(shè)

.例5

設(shè)的概率密度為求，。解由定理2得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

21..隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

例11設(shè)

.例6

設(shè)的概率密度為求，。解由定理2得22.四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，那么EC=C;4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，那么E(XY)=EXEY;2.假設(shè)C是常數(shù)，那么E(CX)=CEX;

3.E(X+Y)=EX+EY;〔諸Xi相互獨(dú)立時(shí)〕請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

推廣：

推廣：23.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

性質(zhì)3得證。24.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

性質(zhì)4得證。25.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

例7

設(shè)隨機(jī)變量

的概率密度分別為

獨(dú)立，求。

解由于獨(dú)立，有26.內(nèi)容小結(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)習(xí)題4-1它反映了隨機(jī)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

變量取值的平均水平，介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。27.第二節(jié)一、方差的概念二、方差的性質(zhì)隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束28.本節(jié)的教學(xué)要求理解隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)掌握常用分布的方差重點(diǎn)隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束29.上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的。它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。是隨機(jī)隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

30.例如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近。

隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

中心中心31.由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差

能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

32.一、方差的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E(X-EX)2存在,則稱E(X-EX)2為X的方差.記為DX，即DX=E(X-EX)2稱為的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

33.假設(shè)X的取值比較分散，那么方差DX較大.方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.假設(shè)X的取值比較集中，那么方差DX較??；因此，DX是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

34.X為離散型，分布率P{X=xi}=pi由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)

g(X)=(X-EX)2的數(shù)學(xué)期望.二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，X概率密度f(x)隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

35.計(jì)算方差的簡(jiǎn)單公式

DX=EX2-(EX)2

展開證：DX=E(X-EX)2=E[X2-2XEX+(EX)2]=EX2-2(EX)2+(EX)2=EX2-(EX)2利用期望性質(zhì)隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

36.例1求DX。解由公式因此隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

設(shè)隨機(jī)變量分布，其中。37.例2解X的分布律為上節(jié)已算得隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

38.因此,泊松分布隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

39.例3解因此,均勻分布隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

40.例4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

41.二、方差的性質(zhì)1.假設(shè)C是常數(shù),那么DC=0,D(X+C)=DX;2.假設(shè)C是常數(shù),那么D(CX)=C2DX;3.假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，那么D(X±Y)=DX+DY隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

，推廣：若相互獨(dú)立42.例5

設(shè)相互獨(dú)立，

令求和.解由期望和方差的性質(zhì)得.隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

43.例6

設(shè)隨機(jī)變量分布，求解已知其中相互獨(dú)立且服從相同的0-1分布.又知，于是得

隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

其中.44.內(nèi)容小結(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)習(xí)題4-2介紹了隨機(jī)變量的方差.取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特征。

它是刻劃隨機(jī)變量隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

45.第三節(jié)一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、矩46.本節(jié)的教學(xué)要求理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念及性質(zhì)會(huì)運(yùn)用其性質(zhì)重點(diǎn)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束47.上兩節(jié)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量〔X，Y〕，我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

48.稱⑶Cov(X,C)=0C為任意常數(shù)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡(jiǎn)單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]1.定義為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。(4)

Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

49.

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，假設(shè)X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY-YEX-XEY+EXEY

=E(XY)-EXEY即.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

50.D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

51.例1

設(shè)，求.

解

.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

52.協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(aX,aY)=a2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

53.二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義1設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,假設(shè)DX>0,DY>0,那么稱定義2

當(dāng)時(shí)，

稱X與Y不線性相關(guān)，

簡(jiǎn)稱不相關(guān)

.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì)

54.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：存在常數(shù)a,b(b≠0〕，使得P{Y=a+bX}=1.3.X和Y獨(dú)立時(shí)，

=0，但其逆不真.4.設(shè)，則（1）（2）與