【考綱下載】1.理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．第2講等差數(shù)列及其性質(zhì)1．等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于

，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，通常用字母d表示．

(2)等差中項(xiàng)：在兩個(gè)數(shù)a與b之間插入一個(gè)常數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，則把

叫做a與b的等差中項(xiàng)，

＝，即a＋b＝

.(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

．同一個(gè)常數(shù)2公差A(yù)A2Aan＝a1＋(n－1)d(n∈N*)提示：通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以寫成an＝dn＋(a1－d)，它是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0時(shí))或常函數(shù)(d＝0時(shí))，它的圖象是一條直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(diǎn)，公差d是這條直線的斜率．2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝

＝

.【思考】

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與函數(shù)的關(guān)系如何？(從d≠0與d＝0分別說明)

答案：當(dāng)d≠0時(shí)，Sn＝n2＋n，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是過 原點(diǎn)的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立點(diǎn)；當(dāng)d＝0時(shí)，Sn＝na1，它的圖象 是一條射線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立點(diǎn)．3．等差數(shù)列的重要性質(zhì)

(1)若m＋n＝p＋q，則

.(m，n，p，q∈N*)

特別地，若m＋n＝2p，則2ap＝am＋an.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d推廣為an＝am＋(n－m)d.(3)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．a(chǎn)m＋an＝ap＋aq提示：這些重要結(jié)論，在解答選擇題和填空題時(shí)非常有用(可直接應(yīng)用)，在做解答題時(shí)雖然不能作為公式和定理用，但至少可以當(dāng)作解題的目標(biāo)或方向，檢驗(yàn)結(jié)果的正誤時(shí)可直接套用，運(yùn)用上述結(jié)論時(shí)要注意它成立的條件．1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，則a5等于(

)

A．3 B．7 C．10D．11

解析：設(shè)公差為d，則 .∴a1＝－2，d＝3，∴a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.

答案：C2．已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于(

)A．4B．5C．6D．7

解析：∵a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.

答案：C3．(2009·湖南)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11， 則S7等于(

)A．13B．35C．49D．63

解析：S7＝ ＝ ＝49.

答案：C4．(2009·山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.

解析：設(shè)公差為d，∴3d＝a5－a2＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

答案：131.等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個(gè)基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d，是解決 等差數(shù)列問題的常用方法；2．由a1，d，n，an，Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，需選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠探M求解．【例1】

(2009·全國Ⅱ卷)已知等差數(shù)列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0， 求Sn.

思維點(diǎn)撥：列方程組解a1和公差d.

解：設(shè){an}的公差為d，則 即 解得 ，或 因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)

或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．變式1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則Sn＝na1＋n(n－1)d. ∵S12＝84，S20＝460，

∴ 解得

∴Sn＝－15n＋n(n－1)×4＝2n2－17n. ∴S28＝2×282－17×28＝1092.證明{an}為等差數(shù)列的方法：1．用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列．2．用等差中項(xiàng)證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列．3．通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)或常函數(shù)?{an}為等差數(shù)列．4．前n項(xiàng)和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝ ?{an}為等差數(shù)列．【例2】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：是等差數(shù)列；

(2)求an的表達(dá)式． 思維點(diǎn)撥：(1)由an與Sn的關(guān)系先轉(zhuǎn)化為an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 然后利用定義證明

(2)先求Sn，再求an.證明：(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴ ＝2(n≥2)．由等差數(shù)列的定義知是以

為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)知 ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝－2Sn×Sn－1＝－.又∵a1＝，∴an＝利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，關(guān)鍵是要敏銳地觀察出題中各項(xiàng)的腳標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系．【例3】

已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，且 ，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是(

) A．2 B．3 C．4 D．5

思維點(diǎn)撥：靈活利用S2n－1公式中的a1＋a2n－1與an的關(guān)系．解析：∵∴當(dāng)n＝1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù)．答案：D變式3：已知{an}是等差數(shù)列．

(1)前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，且各項(xiàng)和為286，求項(xiàng)數(shù)；

(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.

解：(1)∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，

∴a1＋an＝(21＋67)＝22.

又∵286＝ ，∴n＝26， 即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是26.(2)∵{an}是等差數(shù)列．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差數(shù)列，設(shè)S3n＝x，則20,18，x－38成等差數(shù)列，即2×18＝20＋(x－38)，∴x＝54，即S3n＝54.解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題有兩種方法，①利用an：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值，可由an≥0且an＋1<0求得n的值；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，前n項(xiàng)和有最小值，可由an≤0且an＋1>0求得n的值．②利用Sn：Sn＝n2＋n，即由二次函數(shù)求得當(dāng)Sn取最值時(shí)n的值．【例4】

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范圍；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由．解：(1)∵S12>0，S13<0，∴

即又a3＝a1＋2d＝12，∴解得－<d<－3.(2)解法一：Sn＝na1＋ d(n＝1,2,3，…，12)．∴Sn＝n(12－2d)＋d∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn有最大值，即Sn的值最大為S6解法二：由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得∴a7<0，a6>0.∴在數(shù)列{an}中，前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)為負(fù)(第7項(xiàng)也為負(fù))，故S6最大．1．在有關(guān)等差數(shù)列的基本問題中，常常需要根據(jù)已知a1，an，d，n，Sn中的某些量去求其他未知的量，解方程是必不可少的，在運(yùn)用方程的思想時(shí)，還要注意等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用以及整體代換思想的運(yùn)用．【方法規(guī)律】2．注意設(shè)元技巧，利用對(duì)稱性，減少運(yùn)算量．若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為a－d，a，a＋d；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，其余各項(xiàng)再依等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是特殊的二次函數(shù)關(guān)系式，對(duì)前n項(xiàng)和的最大值或最小值的求解可以借助函數(shù)求最值的方法進(jìn)行，也可以利用數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.(12分)(2009·湖北卷)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an=

(n為正整數(shù))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【高考真題】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題設(shè)d>0. ………1分由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.② ………3分由①得2a1＝16－7d，將其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4.又d>0，∴d＝2.代入①得a1＝1. ……5分∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. ………6分【規(guī)范解答】(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，∴b1＝2.

………7分當(dāng)n≥2時(shí)，兩式相減得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1.

………9分因此 ………10分當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝b1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋ ＝2n＋2－6.∵當(dāng)n＝1時(shí)上式也成立，

∴當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)都有Sn＝2n＋2－6.

………

12分本題第(1)問的求解體現(xiàn)了方程思想，這種方法是數(shù)列中求通項(xiàng)公式