【拔尖特訓】2023-2024學年九年級數學上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題22.19二次函數的應用八大類型提升專練（重難點培優(yōu)80道）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________類型一、銷售問題1．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州延安中學?？奸_學考試）某公司生產的某種時令商品每件成本為22元，經過市場調研發(fā)現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與x（天）的關系如表：時間x（天）1361036…日銷售量m（件）9490847624…未來40天內，前20天每天的價格y1=14x+25（1≤x≤20且x為整數），后20天每天的價格y(1)認真分析上表中的數據，用所學過的知一次函數，二次函數的知識確定一個滿足這些數據m（件）與x（天）之間的關系式，求出日銷售量m（件）與x（天）之間的函數關系式；(2)請預測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？【答案】(1)m=-2x+96(2)第18天的日銷售利潤最大為450元【分析】（1）由題意可知，m（件）與x（天）滿足一次函數關系，設一次函數關系式為m=kx+b，待定系數法求解析式，即可求解；（2）設前20天日銷售利潤為P1元，后20天日銷售利潤為P【詳解】（1）解：由題意可知，m（件）與x（天）滿足一次函數關系．設一次函數關系式為m=kx+b，將1,94、3,90分別代入一次函數關系式m=kx+b中，得k+b=94解得k=-2b=96∴m=-2x+96經檢驗，其他m與x的對應值均適合以上關系式．（2）解：設前20天日銷售利潤為P1元，后20天日銷售利潤為P則P1∵1≤x≤20，-1∴當x=18時，P1有最大值，最大值為450P2∵21≤x≤40，此函數圖象開口向上，對稱軸是直線x=42，∴當x=21時，P2有最大值，最大值為21-42∵405<450，答：第18天的日銷售利潤最大為450元；【點睛】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．2．（2022秋·山東臨沂·九年級?？茧A段練習）2022年北京冬奧會舉辦期間，冬奧公吉祥物“冰墩墩”深受廣大人民的喜愛，某特許零售店“冰墩款”的銷售日益火爆．每個紀念品進價40元．規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個，現將家決定提價銷售，設每天銷售量y個，銷售單價為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？(3)該店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的利潤中捐出200元給希望工程，為了保證捐款后每入剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．【答案】(1)y=-10x+740(2)將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．(3)捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售價不低于50元且不高于52元．【分析】（1）根據題意直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量的取值范圍；（2）根據“銷售利潤=銷售量×(售價-進價)”列出平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間的函數關系式，再根據函數的增減性求得最大利潤；（3）根據題意得剩余利潤為w-200，利用函數性質求出w-200≥2200時的x的取值范圍即可．【詳解】（1）解：根據題意得：y=300-10x-44∴y與x之間的函數關系式為y=-10x+74044≤x≤52（2）解：根據題意得：w=-10x+740∵-10<0，∴當x<57時，w隨x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴當x=52時，w有最大值，最大值為w=-10×52-57∴將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．（3）解：依題意剩余利潤為w-200元，∵捐款后每天剩余利潤不低于2200元，∴44≤x≤52，w-200隨x增大而增大，由-10x-572+2890-200=2200，解得x=50∴捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售價的取值范圍為50≤x≤52．答：捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售價不低于50元且不高于52元．【點睛】本題主要考查了列一次函數關系式、二次函數應用、一元二次方程的應用等知識點，讀懂題意、列出函數關系式是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）某商店銷售一種進價100元/件的商品，且規(guī)定售價不得超過進價的1.4倍，經市場調查發(fā)現：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價、銷售量的二組對應值如下表：售價x（元/件）130140銷售量y（件/天）8060(1)直接寫出y關于售價x的函數關系式；(2)設商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數關系式，并求出當銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？(3)若某天的利潤不低于2000元，請直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)y=-2x+340(2)W=-2x2+540x-34000；當銷售單價定為(3)120≤x≤140【分析】（1）根據題意，設y關于售價x的函數關系式為y=kx+b，利用待定系數法求解即可得到答案；（2）由（1）知，每天的銷售量為y=-2x+340，每件商品的利潤為x-100元，即可得到W與x之間的函數關系式；再由二次函數圖像與性質求出最值即可得到答案；（3）根據（2）中，列一元二次方程求解，再由二次函數圖像與性質解答即可得到答案．【詳解】（1）解：設y關于售價x的函數關系式為y=kx+b，將130,80、140,60代入y=kx+b得80=130k+b60=140k+b解得k=-2b=340∴y關于售價x的函數關系式為y=-2x+340；（2）解：由（1）知，每天的銷售量為y=-2x+340，∵商品進價為100元/件，∴W與x之間的函數關系式為W=-2x+340∵100<x≤140，∴W=-2x∵-2<0，∴當x=135時，W有最大值，為2450，答：當銷售單價定為135時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大為2450；（3）解：由（2）知，W與x之間的函數關系式為W=-2x∴當某天的利潤不低于2000元時，令-2x2+540x-34000=2000，即x-1352=225∵100<x≤140，∴120≤x≤140．【點睛】本題考查函數解決實際應用題，涉及待定系數法求函數解析式，熟練掌握二次函數圖像與性質是解決問題的關鍵．4．（2023·湖南益陽·統考中考真題）某企業(yè)準備對A，B兩個生產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益yA（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：yA=25x，投資B項目一年后的收益(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（m>0）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？【答案】(1)4萬元(2)m=8(3)當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【分析】（1）把x=10代入yA（2）當x=m時，可得25（3）設投入到B項目的資金為x萬元，則投入到A項目的資金為32-x萬元，設總收益為y萬元，y=yA+yB【詳解】（1）解：∵投資A項目一年后的收益yA（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：y當x=10時，yA（2）∵對A，B兩個項目投入相同的資金m（m>0）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，∴25整理得：m2解得：m1=8，∴m的值為8．（3）y設投入到B項目的資金為x萬元，則投入到A項目的資金為32-x萬元，設總收益為y萬元，∴y===-1而0≤x≤32，∴當x=-852×∴當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，一元二次方程的解法，列二次函數的解析式，二次函數的性質，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．5．（2022春·安徽宿州·九年級?？计谥校┠乘N售商從外地批發(fā)水果進行銷售，為了解銷售情況，他將去年九月和十月銷售櫻桃和枇杷情況統計如下表：月份櫻桃銷售量(櫻桃每kg的利潤（元/kg)枇杷銷售量(枇杷每kg的利潤（元/kg)九月10032002十月比九月少m3比九月多2m比九月少m(1)該銷售商十月份枇杷銷售的總利潤比九月份少48元，設x=m%，求x(2)若十月份在這兩種水果銷售過程中，銷售商獲得了最大利潤，請求最大利潤．【答案】(1)0.6(2)最大利潤為703.125元【分析】（1）根據銷售商十月份枇杷銷售的總利潤比九月份少48元，列一元二次方程求解即可；（2）設銷售商獲得利潤為w元，x=m%【詳解】（1）解：根據題意得：2×(1-x)×200(1+2x)=2×200-48，解得x=0.6或x=-0.1（舍去），∴x的值為0.6．（2）解：設銷售商獲得利潤為w元，x=m%根據題意得：w=3×100(1-x)+2(1-x)×200(1+2x)=-800x∵-800<0，∴當x=116，即m=6.25時，w取最大值∴最大利潤為703.125元．【點睛】本題主要考查一元二次方程和二次函數的應用，讀懂題意、列出方程和函數關系式是解題的關鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）我國互聯網發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務．據市場調查，天貓超市在銷售一種進價為每件40元的護眼臺燈中發(fā)現：每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．

(1)設每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月獲得最大利潤？(2)如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？；(3)由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月銷售單價不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？【答案】(1)當銷售單價定為70元時，每月獲得最大利潤；(2)如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應定為60元或80元；(3)每月成本最少需要10000元．【分析】（1）設y=kx+b，把40，600，75，250代入即可求出一次函數的解析式，再根據總利潤=單件的利潤（2）當w=8000時，得到-10x-70（3）求出x的取值范圍，設成本為S，根據成本=進價×銷售量，即可求出S與x的函數關系式，然后利用一次函數的增減性即可求出S的最小值．【詳解】（1）解：設y=kx+b，把40，600，解得k=-10b=1000∴y=-10x+1000，w==-10=-10x-70∵a=-10<0，拋物線的開口向下，二次函數有最大值，∴當x=70時，w有最大值為9000元，∴當銷售單價定為70元時，每月獲得最大利潤；（2）解：當w=8000時，則-10x-70解得：x1=60，答：如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應定為60元或80元；（3）解：設成本為S，依題意得：60≤x≤75，∴S=40-10x+1000∵-400<0，∴S隨x增大而減小，∴x=75時，S有最小值為10000元，答：每月成本最少需要10000元．【點睛】此題考查的是二次函數與一次函數的應用，掌握利用待定系數法求一次函數解析式和實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．7．（2023春·安徽·九年級專題練習）某重工機械公司為用戶提供礦山機械設備，該設備每件的售價為18萬元，每件的成本為y（萬元）與月需求量x（件/月）滿足關系式y=6+ax（a為常數），其中x>0．經市場調研發(fā)現，月需求量x與月份n（n為整數，1≤n≤12）符合關系式月份n（月）12成本y（萬元/件）11b需求量x（件/月）120100(1)求y與x滿足的關系式，并求表中b的值；(2)試推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損，請說明理由；(3)設第n個月的利潤為w（萬元），請求出w與n的函數關系式，并求在這一年的前9個月中，哪個月的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)y=6+600x，(2)不存在某個月既無盈利也不虧損，理由見解析；(3)w=24n2-312n+1128，在這一年的前9個月中，1【分析】（1）把x=120，y=11代入y=6+ax求出a即可得y與x滿足的關系式，并把x=100代入解析式即可求出（2）假設存在某個月既無盈利也不虧損，即所得利潤為0，得出關于n的方程，由判別式Δ<0（3）根據第n個月的利潤=月需求量【詳解】（1）解：把x=120，y=11代入y=6+ax得：11=6+解得a=600，∴y與x滿足的關系式為y=6+當x=100時，y=6+600∴b=12；（2）解：不存在某個月既無盈利也不虧損，理由：假設存在某個月既無盈利也不虧損，則x18-(6+解得x=50，∴2n整理得：n2∵Δ=∴方程無解，∴不存在某個月既無盈利也不虧損；（3）解：根據題意得：w=x（=x(18-6-=12x-600=12(2=24=24(n-6.5)∵24＞∴當1≤n≤6時，w隨n的增大而減小，當n=1時，w最大值為840，當7≤n≤9時，w隨n的增大而增大，當n=9時，w最大值為264，∵840＞∴在這一年的前9個月中，1月的利潤最大，最大利潤是840萬元．【點睛】本題主要考查二次函數函數的應用，理解題意準確梳理所涉變量，并熟練掌握待定系數法求函數解析式、以及根據利潤的相等關系列出關系式是解題的關鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為p=14t+161≤t≤40,t為整數

(1)求日銷售量y（千克）與時間第t（天）的函數表達式；(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果該養(yǎng)殖戶有日銷售利潤不低于2400元，該養(yǎng)殖戶決定每天捐贈m元給村里的特困戶，如果共捐贈了7350元，求m的值．【答案】(1)y=-2t+200（1≤t≤80，t為整數）；(2)第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元；(3)m的值為350．【分析】（1）設日銷售量y與時間t的函數解析式為y=kt+b(k≠0)，將(1,198)、(80,40)代入，得二元一次方程組，解得k和b的值，再代入y=kt+b即可；（2）設日銷售利潤為w，根據日利潤等于每千克的利潤乘以日銷售量可得w=(p-6)y，分兩種情況討論：①當1≤t≤40時，②當41≤t≤80時；（3）令w≥2400，即-12(t-30)【詳解】（1）解：設日銷售量y與時間t的函數解析式為y=kt+b(k≠0)將(1,198)、(80,40)代入，得：k+b=19880k+b=40，解得：k=-2∴y=-2t+200（1≤t≤80，t為整數）；（2）解：設日銷售利潤為w，則w=(p-6)y，①當1≤t≤40時，w=1當t=30時，w有最大值2450元；∴②當41≤t≤80時，w=-∴當t=41時，w有最大值2301∵2450>2301∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元；（3）解：由（2）得：當1≤t≤40時，w=-1令w≥2400，即-1解得：20≤t≤40，即20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，∴共有21天符合條件．∴m=7350÷21=350（元)．【點睛】本題考查了二次函數在銷售問題中的應用，同時本題還考查了待定系數法求一次函數的解析式、解一元二次方程等知識點，明確二次函數的相關性質并會數形結合，是解題的關鍵．9．（2023·江蘇泰州·統考中考真題）某公司的化工產品成本為30元/千克．銷售部門規(guī)定：一次性銷售1000千克以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元．考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數關系如圖所示．

(1)當一次性銷售800千克時利潤為多少元？(2)求一次性銷售量在1000～(3)當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？【答案】(1)當一次性銷售800千克時利潤為16000元；(2)一次性銷售量在1000～1750kg(3)當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元．【分析】（1）用銷售量×利潤計算即可；（2）根據一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元求出銷售單價，再乘以銷售量即可列出函數解析式，再根據函數的性質求最值；（3）根據（2）中解析式，令y=22100，解方程即可．【詳解】（1）解：根據題意，當x=800時，y=800×50-30∴當一次性銷售800千克時利潤為16000元；（2）解：設一次性銷售量在1000～銷售價格為50-30-0.01x-1000∴y=x=-0.01=-0.01=-0.01x-1500∵-0.01<0，1000≤x≤1750，∴當x=1500時，y有最大值，最大值為22500，∴一次性銷售量在1000～1750kg（3）解：由（2）知，當x=1750時，y=-0.011750-1500∴當一次性銷售量在1000～1750kg∴-0.01x-1500解得x1∴當一次性銷售為1300或1700千克時利潤為22100元．【點睛】本題考查二次函數的應用，根據等量關系列出函數解析式，掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．10．（2023春·浙江嘉興·八年級統考期末）根據以下素材，按要求完成任務：如何設計利潤最大的銷售方案素材1某商場以每件30元的價格購進一種杭州亞運會吉祥物，物價部門規(guī)定這種吉祥物的銷售單價不高于55元．素材2市場調查分析：銷售單價x（元）…343842465054…每天的銷售量y（件）…726456484032…任務一確定銷售量與銷售單價之間的關系請求出每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系．任務二確定每天的總利潤與銷售單價之間的關系請用x的代數式表示銷售這種吉祥物每天所獲得的總利潤．任務三預估銷售單價若商場銷售這種吉祥物每天想獲得600元的總利潤，每件商品的售價應定為多少元？任務四擬定銷售方案商場應將吉祥物的銷售單價定為多少元時，使每天獲得的總利潤最大？【答案】任務一，函數關系式為y=-2x+140；任務二，W=-2x任務三，每天想獲得600元的總利潤，每件商品的售價應定為40元；任務四，商場應將吉祥物的銷售單價定為50元時，使每天獲得的總利潤最大．【分析】任務一，利用待定系數法求解即可；任務二，根據利潤=每件利潤×銷售量就可以得出結論；任務三，當W=600時，代入任務二的解析式求出x的值即可；任務四，將任務二的解析式轉化為頂點式，由拋物線的性質就可以求出結論．【詳解】解：任務一，根據素材2知，銷售單價每4元，每天的銷售量減少8件，∴每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系是一次函數關系，設函數關系式為y=kx+b，代入x=34，y=72和x=38，y=64，得34k+b=7238k+b=64，解得k=-2∴函數關系式為y=-2x+140；任務二，設每天的總利潤為W，根據題意可得，W=x-30任務三，由題意知，W=600元，即-2x2+200x-4200=600解得x1=40，∴每天想獲得600元的總利潤，每件商品的售價應定為40元；任務四，∵W=-2x∵-2<0，對稱軸x=50，∴當x=50時，W取最大值，W最大答：商場應將吉祥物的銷售單價定為50元時，使每天獲得的總利潤最大．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．類型二、面積問題11．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）為了增加校園綠化，學校計劃建造一塊邊長為40m的正方形花壇種植“兩花一草”，如圖，取四邊中點，構成正方形EFGH（甲區(qū)域），在四個角落構造4

(1)經了解，甲區(qū)域建造費用為50元/m2，乙區(qū)城建造費用為80元/m2，草坪建造費用為10元/m2，設每個矩形的面積為xm2，建造總費用為y(2)當建造總費用為74880元時，矩形區(qū)城的長和寬分別為多少米？(3)甲區(qū)域建造費用調整為40元/m2，乙區(qū)域建造費用調整為a元/m2（a為10的倍數），草坪建造單價不變，最后建造總費用為55000元，求【答案】(1)y=280x+48000(2)矩形區(qū)域的長和寬分別為12米和8米(3)a的最小值是50．【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、種植草坪的面積，然后根據“費用=單價×面積”即可解答；（2）設一個矩形區(qū)域的長和寬分別為m，n，則m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得x=96，即m20-m=96，即可求得（3）先根據題意可得800×40+4x?a+101600-800-4x=55000，即a=3750【詳解】（1）解：由題意可知：正方形ABCD的面積為40×40=1600m2，正方形EFGH的面積為800m2，種植草坪的面積為1600-800-4x，根據題意可得：（2）解：設一個矩形區(qū)域的長和寬分別為m，n，則m+n=20，mn=x．依題意可得：280x+48000=74880，解得x=96．∴m20-m=96，解得m1∴m=12，n=8．答：矩形區(qū)域的長和寬分別為12米和8米．（3）解：依題意，800×40+4x?a+101600-800-4x∴a=3750∵x=m20-m∴當m=10時，x最大=100．∴a≥47.5．∴a的最小值是50．【點睛】本題主要考查了列函數關系、一元二次方程的應用、二次函數的應用等知識點，靈活運用相關知識點成為解答本題的關鍵．12．（2023秋·浙江·九年級專題練習）用長為12米的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框，設矩形窗框的寬為x米，窗框的透光面積為S平方米．（鋁合金型材寬度不計）

(1)求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．(2)求S的最大值．【答案】(1)S=-(2)6【分析】（1）根據矩形窗框的寬為x表示出面積S，即可；（2）利用二次函數最值求法得出即可．【詳解】（1）解：由窗框的寬為x米，則長為12根據題意得：S=x×1∵0<x≤1∴0<x≤12∴S與x的函數關系式為S=-3（2）解：由（1）得：S=-3∴當x=2時，S有最大值，最大值為6．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，利用配方法求出頂點坐標是解題關鍵．13．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，有長為12m的籬笆，現一面利用墻（墻的最大可用長度a為5m），設花圃的寬AB為xm(1)求S與x的函數關系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為9m2的花圃，【答案】(1)S=-3x2(2)3【分析】（1）由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為(12-3x)米，即可得S=x12-3x=-3x2+12x（2）由題意得-3x【詳解】（1）解：由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為(12-3x)米，S=x(12-3x)=-3x∴S與x的函數關系式為：S=-3x∵墻的最大可用長度a為5m，即BC≤5∴0<12-3x≤5,∴73即自變量的取值范圍是73（2）解：由題意，得-3x整理，得x2解得：x1=1，∵73∴x=1不合題意，舍去，∴AB的長為3m【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出二次函數和一元二次方程．14．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）某校九年級數學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的專題探究；一定長度的鋁合金材料，將它設計成外觀為長方形的框，在實際使用中，如果豎檔越多，窗框承重就越大，如果窗框面積越大，采光效果就越好．小組討論后，同學們做了以下試驗：

請根據以上圖案回答下列問題：(1)在圖案①中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為6m，當AB為1m，窗框ABCD的面積是______(2)在圖案②中，如果鋁合金材料總長度為6m，試探究AB長為多少時，窗框ABCD(3)經過不斷的試驗，他們發(fā)現：總長度一定時，豎檔越多，窗框的最大面積越小，試驗證：當總長還是6m時，對于圖案③的最大面積，圖案④【答案】(1)4(2)長為1m時，窗框ABCD的面積最大，最大為(3)見解析【分析】（1）當AB=1時，得出BC=4（2）設AB長為xm時，窗框ABCD的面積為ym2，則y=x（3）圖案③：設AB長為xm時，窗框ABCD的面積為ym2，則y=x?6-4x3=-43x-342+34，根據二次函數的最值求解方法得當x=34時，y有最大值【詳解】（1）解：當AB=1m時，則BC=∴窗框ABCD的面積=1×4故答案為：43（2）解：設AB長為xm時，窗框ABCD的面積為yy=x2-x=-x-1∵a=-1＜∴當x=1時，y有最大值1，即當AB長為xm時，窗框ABCD的面積最大，最大為1（3）解：設AB長為xm時，窗框ABCD的面積為yy=x?6-4x3=-∵a=-4∴當x=34時，y有最大值令x?6-5x整理得：20x∵Δ=∴此方程無解，∴圖案③的最大面積，圖案④不能達到這個面積．【點睛】本題考查二次函數的應用，熟練掌握矩形的面積和二次函數對最值，根的判別式是解題的關鍵．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，要利用一面墻（長為30m）建羊圈，用100m長的圍欄圍成兩個大小相同的矩形羊圈，每個羊圈留有個1m寬的門（留門部分不需要圍欄），若寬用x（m）表示，總面積用y（

(1)寫出總面積y（m2）關于寬x（m(2)當面積y=624m2時，求羊圈的寬【答案】(1)y=-3(2)羊圈的寬x的值為26米【分析】（1）根據長方形面積公式求解即可；（2）把y=624代入（1）中的解析式，解一元二次方程求解即可．【詳解】（1）由題意得，y=x100-3x+2∵100-3x+2≤30，∴x≥24，∵100-3x+2≥2，∴x≤100∴y=-3x（2）當y=624=-3x解得x1∴羊圈的寬x的值為26米．【點睛】本題考查了二次函數的應用和解一元二次方程，準確理解題意，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．16．（2023·全國·九年級專題練習）2023年南寧市公共資源交易中心明確提出將五象站鐵路樞紐接入地鐵4號線．目前4號線剩余的東段（五象火車站-龍崗站）已經在建設中，施工方決定對終點站龍崗站施工區(qū)域中的一條特殊路段進行圍擋施工，先沿著路邊砌了一堵長27m的磚墻，然后打算用長60m的鐵皮圍欄靠著墻圍成中間隔有一道鐵皮圍欄（平行于

(1)設施工區(qū)域的一邊AB為xm，施工區(qū)域的面積為S?m2．請求出S與(2)當圍成的施工區(qū)域面積為288m2時，(3)該特殊路段圍擋區(qū)域的施工成本為400元/m2，項目方打算撥款120000【答案】(1)S=-3x(2)當AB的長是12米時，圍成的施工區(qū)域面積為288m(3)撥款夠用．理由見解析【分析】（1）根據題意可得到S與x的函數關系式為：S=-3x2+60x，自變量x（2）當圍成的施工區(qū)域面積為288m2時：-3x（3）由S-3x-102+300，結合【詳解】（1）解：根據題意得：S=x60-3x0<60-3x≤270<3x<60解得：11≤x<20，∴S與x的函數關系式為：S=-3x（2）解：由（1）知：S=-3x∵圍成的施工區(qū)域面積為288m∴-3x解得：x=8（舍去）或x=12，∴當AB的長是12米時，圍成的施工區(qū)域面積為288m（3）解：撥款夠用．解析如下：∵S=-3x∵a=-3<0，函數圖像的對稱軸為直線：x=10，∴當11≤x<20時，S隨x的增大而減小，∴當x=11時，施工區(qū)域有最大面積S=-311-10所需費用為297×400=118800<120000，答：撥款夠用．【點睛】本題是面積問題(二次函數綜合)，考查了二次函數的性質及解一元二次方程，熟練掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵．17．（2023·黑龍江大慶·統考中考真題）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，點G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長為

(1)求y與x之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；(2)當x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．【答案】(1)y=4-(2)當x=87時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為【分析】（1）由BE=y可表示出IJ,MN,CD的長，由BF=x，AF:BF=3:4可表示出BC，AF，AB，AC，FG，FH的長，進而可求出y與x之間的函數關系式；（2）根據（1）中相關數據列出函數解析式，然后利用函數的性質解答．【詳解】（1）∵四邊形BCDE是矩形，∴BC∥DE，∵BE∥∴BE=∵AB=AC，F是邊BC的中點，∴BC=DE=2x，AF⊥BC，∵AF:BF=3:4，∴AF=3x∴AB=AC=B∵點G、H、F分別是邊AB、AC的中點，∴FG=FH=1∴4y=16-2x×2-5x∴4y=16-17x∴y=4-17x∵4-17x∴0<x<32∴y=4-17x（2）設面積為S，則S=2x=8x-=-7∴當x=87時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為【點睛】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，正確列出函數解析式是解答本題的關鍵．18．（2023春·浙江寧波·八年級校聯考期中）某景區(qū)要建一個游樂場（如圖所示），其中AD、CD分別靠現有墻DM、DN（墻DM長為27米，墻DN足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆DE將游樂場隔成等腰直角△CED和長方形ADEB兩部分，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為54米．設(1)則BE的長為米（用含x的代數式表達）；(2)當AB多長時，游樂場的面積為320平方米？(3)直接寫出當AB為多少米時，游樂場的面積達到最大，最大值為多少平方米？【答案】(1)60-3x(2)當AB長為16米時，游樂園的面積是320平方米；(3)當AB為12米時，游樂場的面積達到最大，最大值為360平方米．【分析】（1）根據BE的長=籬笆總長-AB-DE-EC+2×3得出結論；（2）根據矩形的面積與等腰直角三角形的面積的和=320列出方程，解方程即可，并根據BE的取值范圍得出結論；（3）根據游樂場的面積=矩形的面積與等腰直角三角形的面積的和列出函數解析式，由函數的性質求出最大．【詳解】（1）解：由題意知，DE=CE=AB，設AB的長為x米，則BE的長為54-3x+6=60-3x米，故答案為：60-3x；（2）解：由題意得：x(60-3x)+1解得x1∵x>060-3x≤27解得11≤x<58∴x=16，答：當AB長為16米時，游樂園的面積是320平方米；（3）解：設游樂場的面積為y平方米，由題意得：y=x(60-3x)+1∵11≤x<58∴當x=12時，y有最大值，最大值為360，答：當AB為12米時，游樂場的面積達到最大，最大值為360平方米．【點睛】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據題意用x表示BE的長．19．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┤绾尾眉舫龇弦蟮拈L方形紙片？素材1如圖1，△ABC是腰長為40cm的等腰直角三角形卡紙，校藝術節(jié)上，甲、乙、丙三名同學分別用這樣的卡紙試圖裁剪出不一樣的長方形紙片，并使長方形的四個頂點都在△ABC的邊上．

素材2甲同學按圖2的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的732的長方形紙片，乙同學按圖3的方式裁剪，想裁出面積為三角形面積的5

任務1計算紙片周長請幫甲同學計算此長方形紙片的周長．任務2判斷裁剪方案請幫乙同學判斷此裁剪方案是否能夠實現，說明理由．任務3計算最大面積請幫丙同學計算出長方形紙片面積的最大值．【答案】任務1：80cm；任務2：乙同學不能實現，見解析；任務3：400【分析】任務1.設EF=CF=xcm，則AF=(40-x)cm，依據題意列出方程求得任務2.設NP=CP=MQ=BQ=ycm，則PQ=(402-2y)任務3.利用配方法，分別求得兩個方案中的面積的最大值即可得出結論．【詳解】解：任務1.由題意得：∠C=45°，∵EF⊥AC，∴EF=FC．設EF=CF=x?cm，則AF=(40-x)cm∵矩形ADEF的面積為三角形面積的732∴x(40-x)=7化簡得x2解得：x=5或x=35，∴矩形ADEF的邊長為5cm，35∴周長為2(5+35)=80cm任務2.由題意得：∠C=∠B=45°，MQ=NP，∵EF⊥AC，MQ⊥BC，∴NP=CP=MQ=BQ．設NP=CP=MQ=BQ=ycm，則PQ=(40∵矩形MNPQ的面積為三角形面積的58∴y(402整理得：y2∵Δ=b∴方程無實數根，∴乙同學的方案不能實現；任務3.圖2方案：∵S=x(40-x)=-x∴當x=20cm時，矩形的面積最大為400圖3方案：∵S=y(402∴當y=102cm時，面積最大為∴長方形紙片面積的最大值為400cm【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，配方法，二次函數的性質，函數的極值，利用配方法解答是解題的關鍵．20．（2023秋·全國·九年級專題練習）某家禽養(yǎng)殖場，用總長為200m的圍欄靠墻（墻長為65m）圍成如圖所示的三塊矩形區(qū)域，矩形EAGH與矩形HGBF面積相等，矩形EAGH面積等于矩形DEFC面積的二分之一，設AD長為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為

(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？(3)現需要在矩形EAGH和矩形DEFC區(qū)域分別安裝不同種類的養(yǎng)殖設備，單價分別為40元/平方米和20元/平方米，若要使安裝成本不超過30000元，請直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)y=-(2)當x=40時，y有最大值，y最大(3)60≤x<80【分析】（1）根據題意可得AE=DE=HG=BF=CF=12x（2）將（1）中得到的表達式化為頂點式，即可進行解答；（3）先分別求出矩形EAGH和矩形DEFC的面積，再求出總費用w，結合w關于x的函數圖象，即可得出x的取值范圍．【詳解】（1）解：題意得，AE=DE=HG=BF=CF=1DC=200-∴y=AD×DC=100-∴y=-5（2）解：y=-5∵-54<0，開口向下，對稱軸x=40∴當x=40時，y有最大值，y最大（3）解：矩形DEFC=CD?DE=1矩形EAGH面積=1∴-5整理得：x2設w=x如圖，畫出w關于x的函數圖象．

由圖可知，當x≤20或x≥60時，w=x∵28≤x<80，∴60≤x<80．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出表達式，熟練掌握二次函數相關知識點，并靈活運用．類型三、幾何動點問題21．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動，如果P、(1)△PBQ的面積等于8平方厘米？(2)五邊形APQCD的面積最??？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)經過3秒時，五邊形APQCD的面積最小，最小值為63【分析】（1）設經過x秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米，則AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB-AP=6-x（2）設五邊形APQCD的面積最小面積是ycm2，根據S五邊形APQCD=【詳解】（1）解：設經過x秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米，則AP=xcm，BQ=2x∴BP=AB-AP=6-x由題意得：S△PBQ整理得：x2解得：x1=2，答：經過2秒或4秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米；（2）解：設五邊形APQCD的面積最小面積是ycm根據題意得：S五邊形∴y=6×12-1∴當x=3時，y最小答：經過3秒時，五邊形APQCD的面積最小，最小值為63cm【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數的實際應用，讀懂題意，正確列出一元二次方程，求出y與x的關系式是解題的關鍵．22．（2020秋·廣東廣州·九年級中山大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以1個單位每秒的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2個單位每秒的速度移動．如果P，Q兩點在分別到達B，C兩點后就停止移動，設運動時間為t秒(0<t<6)，回答下列問題：

(1)運動開始后第幾秒時△PBQ的面積等于8．(2)設五邊形APQCD的面積為S，寫出S與t的函數關系式，當t為何值時S最??？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，當【分析】（1）設運動開始后第t秒時△PBQ的面積等于8，由三角形面積公式即可求解；（2）由S=S【詳解】（1）解：設運動開始后第t秒時△PBQ的面積等于8，由題意得12整理得：t2解得：t1=2，答：運動開始后第2秒或4秒時△PBQ的面積等于8．（2）解：S==6×12-=t=t-3∵1>0，0<t<6，∴當t=3時，S最小答：S=t2-6t+72，當t=3【點睛】本題考查了一元二次方程及二次函數的應用，根據圖形找出等量關系式，掌握二次函數最值的求法是解題的關鍵．23．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，到點C停止，過點P作PQ⊥BC交AB點Q，以線段PQ的中點為對稱中心將△APQ旋轉180°得到△DQP，點A的對應點為點D，設點P的運動時間為t(s)(t>0)，

(1)求當點D落在BC邊上時t的值；(2)求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；(3)直接寫出當△ADC是等腰三角形時t的值．【答案】(1)2(2)S=(3)1或81717【分析】（1）由題意易得AP=QD=PC=2t，然后可得方程2t+2t=8，進而問題可求解；（2）由題意可分當0<t≤2時和當2<t≤4時，進而分類求解即可；（3）由題意可當DC=DA時，當AD=AC=8cm時，當DC=CA=8【詳解】（1）解：如圖，當點D落在BC邊上時，

AP=QD=PC=2t．由2t+2t=8，解得t=2，所以當點D落在BC邊上時t的值是2．（2）解：當0<t≤2時，如圖，

AP=DQ=2t，QP=t．∴S=1當2<t≤4時，如圖，

AP=QD=2t，DE=4t-8，∴S=t綜上，S=t（3）解：當DC=DA時，如圖，

CM=MA=4t，由4t+4t=8，解得t=1；當AD=AC=8cm時，如圖5DM=QP=t，AM=2AP=4t，由(4t)2+t

當DC=CA=8cm時，如圖6DM=QP=t，CM=4t-8，由(4t-8)2解得t1=64綜上，當△ADC是等腰三角形時t的值為1或81717或【點睛】本題主要考查勾股定理、二次函數的綜合及等腰三角形的性質，熟練掌握勾股定理、二次函數的綜合及等腰三角形的性質是解題的關鍵．24．（2023春·全國·八年級專題練習）已知△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CD=4cm，BD=AD．點F從點A出發(fā)，沿AC-CD運動，速度為1cm/s，同時點E從點B出發(fā)，沿(1)求BD的長；(2)設△AEF的面積為S，點P、Q運動時間為t，求S與的函數關系式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)5(2)S=【分析】（1）在Rt△ACD中，利用勾股定理，可求出AD的長，結合BD=AD，即可得出BD（2）利用時間=路程÷速度，可求出點E，F到達各節(jié)點所需時間，分0≤t≤3，3<t≤5及5<t<7三種情況考慮，當0≤t≤3時，由點E，F的運動速度，可得出AF，BE的長，進而可得出CE的長，再利用三角形的面積公式，即可找出S關于t的函數關系式；當3<t≤5時，由點E，F的運動速度，可得出CF，BE的長，進而可得出EF的長，再利用三角形的面積公式，即可找出S關于t的函數關系式；當5<t<7時，過點E作EM⊥BC于點M，則△DEM∽△DAC，根據各邊之間的關系，可得出DF，EM的長，再利用三角形的面積公式，即可找出S關于t的函數關系式．【詳解】（1）解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=3cm，∴AD=A又∵BD=AD，∴BD=5cm（2）解：3÷1=3(s)，5÷1=5(s)，當0≤t≤3時，如圖1所示，AF=tcm，BE=t∴CE=BC-BE=4+5-t=(9-t)cm∴S=1當3<t≤5時，如圖2所示，CF=(t-3)cm，BE=t∴EF=BC-CF-BE=4+5-(t-3)-t=(12-2t)cm∴S=1當5<t<7時，如圖3所示，過點E作EM⊥BC于點M，則△DEM∽△DAC．∵CF=(t-3)cm，BD=5cm，DE=(t-5)cm∴DF=BC-CF-BD=4+5-(t-3)-5=(7-t)cm，EM=∴S=1綜上所述，S與t的函數關系式為S=-【點睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積、相似三角形的判定及性質以及根據實際問題列二次函數關系式，解題的關鍵是：（1）在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的長；（2）分0≤t≤3，3<t≤5及5<t<7三種情況，找出S關于t25．（2023·河北邯鄲·統考一模）如圖在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動．黑球到達A處時，從10cm/s開始減速，每過2秒減1cm；其運動距離y（單位：cm）由兩部分構成：一部分與運動時間t（單位：s）成正比，另一部分與t2成正比，此時，白球在黑球前面70cm處，一直以2cm/s運動時間t/s24運動速度v/cm/s98運動距離y1936(1)求出v關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)求黑白兩球之間距離的w與運動時間t之間的關系式，判斷并說明黑球在運動過程中會不會碰到白球．【答案】(1)v=10-12(2)w=1【分析】（1）設出表達式，利用待定系數法即可求得；（2）表示出黑白兩球之間距離，求最小值即可；【詳解】（1）解：設表達式為v=kt+b，將2,9，4，8代入表達式得：解得：k=-1所以，函數表達式為：v=10-1設y=at2+bt，將(2,19)得4a+2b=19,16a+4b=36，解得∴y=-1（2）解：設黑白兩球的距離為wcmw=70+2t-y=1∵14∴當t=16時，w的最小值為6>0，∴黑球不會碰到白球．【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據條件準確得到表達式是解題關鍵．26．（2023·天津東麗·統考一模）如圖，四邊形ABCD的坐標分別為A-4,0，B2,0，C0,4(1)求四邊形ABCD的面積；(2)將△OBC沿x軸以每秒1個單位長度的速度向左平移，得到△O'B'C'，點O、B、C的對應點分別為點O'、B'、C'，設平移時間為t秒，當點O'與點A重合時停止移動，若【答案】(1)20(2)當0≤t<2，S=4t-t2；當2≤t≤83，S=4【分析】（1）過點D作DE⊥OA于點E，由A-4,0，B2,0，C0,4，D-2,6，可得OE=2，OA=4，DE=6，OC=4，（2）根據當0≤t<2時，△O'B'C'與四邊形AOCD重合部分是梯形，當2≤t≤83時，△O'B【詳解】（1）解：過點D作DE⊥OA于點E，∵A-4,0，B2,0，C0,4∴OE=2，OA=4，DE=6，OC=4，AE=4-2=2，∴S==6+10+4=20；（2）解：當0≤t<2時，△O'BS=4+4-2t當2≤t≤83時，△O'BS=1當83<t≤4時，△OS=-9【點睛】本題考查平面直角坐標系與幾何圖形、二次函數與圖形變換、平移的性質，熟練掌握相關知識進行分類討論是解題的關鍵．27．（2023春·天津·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，O為原點，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，頂點A6,0，點B在第一象限，矩形OCDE的頂點E-6,0，C0,2，點D在第二象限．將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O'C'D'E'，點O，C，D，E的對應點分別為(1)如圖①，當t=1時，O'C'與OB交于F點，求點C(2)若矩形O'C'D'①如圖②，當矩形O'C'D'E'與△OAB重疊部分為五邊形時，C'D'分別與OB交于點G，與AB交于點H．O'②當53≤t≤42【答案】(1)點F的坐標F1,1，點C'(2)①S=-12t2+6t-10．其中t【分析】（1）由t=1、C0,2，可得點C坐標，根據△OAB是等腰直角三角形可證△OOF是等腰直角三角形，從而可得∴O（2）①過點G作GM⊥OA于M，根據平移的性質可得O'C'=2，O'M=C'G=t-2，由C'D'∥OA，可證△O'AN與△C'NH均為等腰直角三角形，可得O'A=O'【詳解】（1）解：由點C0,2，得OC=2由已知矩形平移得，OO'=t，OC=又△OAB是等腰直角三角形，得∠BOO∴△OOF是等腰直角三角形，∴OO∴點F的坐標F1,1，點C'的坐標（2）解：①由平移知，O'C'=2，如圖，過點G作GM⊥OA于M，∴GM=OM=2，∴O由C'得∠O∴△O'AN又OA=6，∴O∴C∴S=S==2t-2-=-1其中t的取值范圍是4<t<6；②∵t=53時，矩形O'∴S=1當t=42時，矩形O'C∴S=-1【點睛】本題考查平移的性質、平面直角坐標系與圖形、等腰直角三角形的性質及求二次函數解析式，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．28．（2023·吉林松原·校聯考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2cm．點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向運動，在運動過程中，以線段AP為斜邊作等腰直角三角形APQ．當PQ經過點C時，點P停止運動．設點P的運動距離為x(cm)，△APQ(1)當點Q落在CD邊上時，x=______cm；(2)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)設PQ的中點為M，直接寫出在整個運動過程中，點M移動的距離．【答案】(1)4(2)y=(3)2【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質AP=2AQ，∠QAP=45°，再根據矩形的性質得∠DAQ=∠AQD，進而得出（2）分0<x≤4時，4<x≤6時，6<x≤8時，分別根據面積公式計算表示即可；（3）先確定點的運動軌跡是線段AC，再根據勾股定理求出答案．【詳解】（1）解：如圖1中，∵△APQ是等腰直角三角形，∴AP=2AQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAB=90°，∴∠DAQ=∠AQD=45°，∴AD=DQ=2，∴AQ=A∴AP=2故答案為：4；（2）解：當0<x≤4時，如圖2-1中，重疊部分是△APQ，∵AQ=PQ=2∴y=1當4<x≤6時，如圖2-2中，則重疊部分是四邊形APMN，Rt△MQN由（1）知，AN=22∴NQ=MQ=AQ-AN=2∴y=S當6<x≤8時，如圖2-3中，重疊部分是五邊形ABTMN，由題意，Rt△QMN和Rt

y==-1綜上所述：y=1（3）解：如圖4中，連接AC．當點C落在PQ上時，QC=PC=22，此時點M與C∴PQ的中點M的運動軌跡是線段AC，AC=A【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，求分段函數關系式，勾股定理等，分情況求關系式要找到臨界點．29．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知正方形ABCD的邊長為12，點E由點C開始沿射線CB運動，連接DE，點G為DE的中點，EG繞點E順時針旋轉90°得到EF，連接CF．(1)當點E運動到B點時，△GEF的面積是．(2)當點E為BC中點時，①求點F到直線BC的距離是多少？②∠FCE的度數是多少？(3)直接寫出CF的最小值．【答案】(1)36(2)①點F到BC的距離為3；②90°(3)CF的最小值為2【分析】（1）利用勾股定理求出BD，可得結論；（2）①如圖2中，過點G作GM⊥CD于點M．證明△DMG≌△ECFSAS，推出∠DMG=∠ECF=90°，GM=CF②利用全等三角形的性質解決問題即可；（3）如圖3中，過點G作GM⊥CD于點M．過點F作FN⊥EC于點N．證明△DMG≌△ENFAAS，推出GM=FN=12EC，DM=EN=6，設FN=GM=m，則EC=2m，推出【詳解】（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°，∵AB=AD=12，∴BD=122∵DG=GB=62∴BF=BG=62∵∠GBF=90°，∴△GBF的面積=1（2）①如圖2中，過點G作GM⊥CD于點M．則DG=GE，GM∥EC，∴DM=MC（平行線分線段成比例），∴GM=1∴DM=MC=6，∵CD=CB，EC=EB，∴DM=EC，∵∠DCE=∠GEF=90°，∴∠EDC+∠DEC=90°，∠DEC+∠CEF=90°，∴∠MDG=∠CEF，∵DG=EG=EF，∴△DMG≌△ECFSAS∴∠DMG=∠ECF=90°，GM=CF，∴點F到BC的距離為3；②∵△DMG≌△ECF，∴∠DMG=∠ECF=90°；（3）如圖3中，過點G作GM⊥CD于點M．過點F作FN⊥EC于點N．∵DG=EG=EF，∠MDG=∠NEF，∠DMG=∠ENF=90°，∴△DMG≌△ENFAAS∴GM=FN=12EC設FN=GM=m，則EC=2m，∴CN=2m-6，∴CF∵5＞∴CF2有最小值，最小值∴CF的最小值為2205【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質和勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．30．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm．現有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2(1)當t為多少秒時，P,Q兩點之間的距離是10cm(2)用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S(3)當t為多少秒時，S△CPQ【答案】(1)當t為3秒或5秒時，P,Q兩點之間的距離是10(2)S=-4(3)2秒或3秒【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm，點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，由此可用含（2）由（1）可知CP=(20-4t)，CQ=2t，根據三角形的面積公式即可求解；（3）根據題意分別表示出S△ABC，S【詳解】（1）解：若運動的時間為ts，則CP=(20-4t)cm，CQ=2tcm，P,Q即在Rt△PCQ中，∠C=90°，PQ=10∴PC2+CQ2=PQ∴當t為3秒或5秒時，P,Q兩點之間的距離是10cm（2）解：∵AC=20cm,BC=15cm，點P的速度是4cm/s，點∴點P從點A到點C的時間為204=5s，點Q從點C到點B∵當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，∴0≤t≤5，若運動的時間為ts，則CP=(20-4t)cm，CQ=2tcm，在Rt∴S=1∴Rt△CPQ的面積S=-4（3）解：根據題意，S△ABC由（2）可知，S△CPQ∴-4t2+20t=425∴當t為2秒或3秒時，S△CPQ【點睛】本題主要考查動點與三角形知識的綜合，理解動點的運動規(guī)律，動點的運動與三角形邊長的關系，邊長的面積關系是解題的關鍵．類型四、拱橋問題31．（2023秋·全國·九年級專題練習）蘭蘭家新建了一個蔬菜大棚，大棚的樣式如圖1，大棚入口的外形呈拋物線形狀，寬度是8m，最高點距地面2m，現要在大棚的入口正中間加3根木條做一個簡易的長方形門框，如圖

(1)若門框的高不低于1.5m，且長方形門框的寬AB的長度不小于2m，則長方形門框的寬度(2)在（1）的條件下，為了節(jié)省木料，求3根木條長度和的最小值．【答案】(1)2≤AB≤4(2)23【分析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x-4）（2）設A點的橫坐標為x，則B點的橫坐標為8-x，AB的長度為8-2xm，求出AE，BE【詳解】（1）解：如圖，以大棚入口的左端點為原點建立直角坐標系，由題意知頂點C坐標為4，2，D點坐標為設拋物線的解析式為y=ax-4

將D點坐標代入，得a8-42+2=0，解得∴拋物線的解析式為y=-1當y=1.5時，x1=6，則AB的長度最大為6-2=4m∴AB的范圍為2≤AB≤4；（2）設A點的橫坐標為x，則B點的橫坐標為8-x，AB的長度為8-2xm∵2≤AB≤4，∴2≤8-2x≤4，得2≤x≤3，點A的縱坐標為-18如圖，木條AE=BF=-18令3根木條長度和為l，∴l(xiāng)=AB+AE+BF=8-2x+2×-當2≤x≤3時，y隨x的增大而減小，所以當x=3時，l取得最小值為-1即3根木條長度和的最小值為234m【點睛】本題考查的是二次函數的應用，解題關鍵是求出函數解析式．32．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成．長方形的長為16m，寬為6m，拋物線的最高點C離路面AA

(1)建立適當的坐標系，求出表示拋物線的函數表達式．(2)一大型貨車裝載設備后高為7m，寬為4【答案】(1)y=-(2)能【分析】（1）根據題意建立坐標系可得拋物線的頂點坐標為點C0,8，點B-8,6,B18,6（2）根據題意得：當x=±4時，y=7.5>7，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：以AA1的中點為坐標原點，以AA1所在直線為

∵OA=OA1=∴B-8,6，B18,6設拋物線函數表達式為y=ax2∴6=64a+8，解得：a=-132∴拋物線的函數表達式為y=-1（2）解：這輛貨車能安全通過，理由如下：根據題意得：當x=±4時，y=-132∴這輛貨車能安全通過．【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，明確題意，準確得到函數關系式是解題的關鍵．33．（2023·北京·九年級專題練習）賽龍舟是中國端午節(jié)的習俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動．某地計劃進行一場劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點O的水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=-0.01x-302+9，據調查，龍舟最高處距離水面2(1)水面的寬度OA=_______m；(2)要設計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m【答案】(1)60(2)4條．【分析】（1）求出拋物線與x軸的交點坐標即可得到答案；（2）求出當y=5時，x的值，即可求出可設計賽道的寬度，再根據每條龍舟賽道寬度為9m【詳解】（1）解：令y=0，則-0.01x-30∴x-302解得x=0或x=60，∴A60∴OA=60m故答案為：60；（2）解：令y=5，得-0.01x-30∴x-30解得x1=10，∴可設計賽道的寬度為50-10=40m∵每條龍舟賽道寬度為9m∴最多可設計賽道4條．【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．34．（2023·北京·九年級專題練習）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系．拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=a(x-h)(1)拱門上的點的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據上述數據，直接寫出“門高”（拱門的最高點到地面的距離），并求出拱門上的點滿足的函數關系y=a(x-h)(2)一段時間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=-0.288(x-5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部兩個端點間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d1__________d2(填“>”、【答案】(1)y=-0.2(2)>【分析】（1）由表格得當x=2時，y=4，當x=10時，y=4，從而可求頂點坐標，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=-0.288(x-5)2【詳解】（1）解：由表格得：∵6-2=10-6，∴頂點坐標為6,7.2，∴y=a(x-6)∴a(2-6)解得：a=-0.2，∴y=-0.2(x-6)（2）解：由表格得當x=12時，y=0，原拱門中：d1=12（新拱門中：當y=0時，-0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，理解函數中自變量和應變量的實際意義是解題的關鍵．35．（2023·浙江紹興·統考一模）如圖1，有一座拋物線形拱橋，某正常水位時，橋下的水面寬20米，拱頂到水面的距離為6米，到橋面的距離為4米，相鄰兩支柱間的距離均為5米，建立直角坐標系如圖2．(1)求拋物線的函數表達式．(2)求支柱MN的長度．(3)隨著水位的上升，橋下水面的寬度逐漸減?。凰邑洿谒嫔系牟糠值臋M截面是邊長為5米的正方形，當水位上升0.75米時，這艘貨船能否順利通過拱橋？請說說你的理由．【答案】(1)y=-(2)5.5米(3)不能，理由見解析【分析】（1）設拋物線的函數表達式為y=ax2+6（a≠0（2）將x=5代入函數關系式求得y的值，可求出支柱MN的長度；（3）將x=52代入函數關系式求得y的值，再與【詳解】（1）設拋物線的函數表達式為y=ax2把B（10，解得a=-350拋物線的函數表達式為y=-350（2）當x=5時，y=-3∴MN=10-4.5=5.5（米）．（3）不能，理由如下：當x=52時，y=∴這艘貨船不能順利通過拱橋．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，借助二次函數解決實際問題是解題根本，求出二次函數關系式是關鍵．36．（2023·河南商丘·統考一模）清明上河園是中國著名八朝古都河南開封的一座大型歷史文化主題公園，占地600余畝，坐落在開封城風光秀麗的龍亭湖西岸．它是依照北宋著名畫家張擇端的傳世之作《清明上河圖》為藍本建造的，于1998年10月28日正式對外開放．2021年10月，入選首批河南省中小學研學旅行實踐基地擬認定名單．如圖為園中一座橋，橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬OA=20m，橋拱頂點B到水面的距離是5m．按如圖所示建立平面直角坐標系，設該拋物線的解析式為(1)求橋拱部分對應的拋物線的解析式；(2)某天，一艘船經過橋下，如圖，船的寬度DE=2m，船上放置長方體的集裝箱，集裝箱的高度CD=EF=1.8m，若該船恰好貼著橋拱經過橋下，求此時船的左側點D與點【答案】(1)y=-(2)船的左側點D與點O的距離為2m或16【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）令y=1.8，求得x1【詳解】（1）解：如圖，由題意得：水面寬OA=20m，橋拱頂點B到水面的距離是5結合函數圖象可知，頂點B10，5設二次函數的表達式為y=ax-10將點O0，0解得：a=-1∴二次函數的表達式為y=-1即y=-1（2）解：集裝箱的高度CD=EF=1.8m則y=1.8，即1.8=-1則x1∵船的寬度DE=2m由題意得：當船在對稱軸左側時，點C恰好經過橋拱，此時船的左側點D與點O的距離DO=2m當船在對稱軸右側時，點F恰好經過橋拱，此時船的左側點D與點O的距離DO=OE-DE=18-2=16m即此時船的左側點D與點O的距離為2m或16【點睛】本題考查二次函數的應用，求出函數解析式是解決問題的關鍵．37．（2023秋·江蘇泰州·九年級統考期末）蘇北里下河水鄉(xiāng)溱潼鎮(zhèn)，過去有著“出門就過河”的歷史，隨著經濟的發(fā)展，橋梁逐漸增多，其中以新讀書址大橋最為壯觀．現測得其中一鋼架跨徑為24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．(1)該鋼架可以看作一個二次函數的圖像，如右圖所示，請建立適當的平面直角坐標系，并寫出這個二次函數的表達式；(2)求制作右圖中這七根立柱共需要多長的不銹鋼管．【答案】(1)y=-110x(2)75.6m【分析】（1）根據構建平面直角坐標系時，盡量使得拋物線的解析式比較簡單的原則，可以y=ax（2）由（1）可根據拋物線的解析式求每根柱子的長，從而可求．【詳解】（1）解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則有A12,-14.4設拋物線解析式為y=ax∴a×解得：a=-1∴y=-1（2）解：當x=3時，y=-1當x=6時，y=-1當x=9時，y=-12=75.6m答：這七根立柱共需75.6m【點睛】本題考查了構建平面直角坐標系，二次函數的實際應用，掌握構建平面直角坐標系及理解二次函數中的自變量和因變量的實際意義是解題的關鍵．38．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構成.矩形OABC的邊OA=34米，OC=9米，以OC所在的直線為x軸，以OA所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，拋物線頂點D的坐標為(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON=7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F.①求EF的最大值.②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標的范圍【答案】(1)y=-1(2)①當m=72時，EF有最大值165【分析】（1）利用待定系數法即可求出函數表達式；（2）①先求出點M坐標為152,3，再求出直線OM的解析式為y=25x，進而求出EF=-15②根據師傅能刷到的最大垂直高度是125米，得到當EF>125時，他就不能刷到大門頂部，令EF=125，得到-15【詳解】（1）解：由題意知，拋物線頂點D的坐標為92設拋物線的表達式為y=ax-將點A0,34解得a=-15∴拋物線對應的函數的表達式為y=-1（2）解：①將x=7.5代入y=-15x-∴點M15∴設直線OM的解析式為y=kxk≠0將點M152,3∴k=2∴直線OM的解析式為∴EF=-15m-92∵-∴當m=72時，EF有最大值，為②∵師傅能刷到的最大垂直高度是125∴當EF>12令EF=125解得m1又∵EF是關于m的二次函數，且圖象開口向下，∴他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標m的范圍是32【點睛】本題考查為二次函數的實際應用，考查了待定系數法求解析式，二次函數的性質、應用等知識，熟知二次函數的性質并靈活應用是解題關鍵．39．（2023·湖北武漢·模擬預測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標系．①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于+【答案】(1)原計劃每天修20米(2)①y=-0.3x2+10.8；②5.5【分析】（1）設原計劃每天修x米，然后根據題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后運用待定系數法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點G【詳解】（1）解：設原計劃每天修x米則根據題意可得：2400解得：x=-25或x=20經檢驗，x=20是分式方程的解．答：原計劃每天修20米．（2）解：①根據題意可得：C設拋物線的函數表達式為y=a由題意可得：0=36a-6b+c0=36a+6b+c10.8=c所以拋物線的函數表達式為y=-0.3②∵車的寬度為4米，車從正中通過，∴令x=4時，y=-0.3×16+10.8=6，∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6-0.5=5.5（米）．③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點G的縱坐標為令y=0.3，則有：0.3=-0.3x2+10.8∴人行道臺階的寬度為：FG=∴人行道寬度設計達標．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖像上點的坐標特征等知識點，正確求得函數解析式是解答本題的關鍵．40．（2023春·廣西南寧·九年級校考階段練習）某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米，在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米，小紅根據學習函數的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．下面是小紅的