頁第七節(jié)函數(shù)與方程核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.通過判斷具體函數(shù)零點的個數(shù)或零點所在區(qū)間，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．通過函數(shù)零點或方程根的存在情況求參數(shù)的取值范圍，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)圖象與零點的關系Δ＝b2﹣4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無零點個數(shù)_2__1__0_[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．函數(shù)f(x)＝lnx﹣eq\f(2,x)的零點所在的大致范圍是()A．(1，2)B．(2，3)C.(eq\f(1,e)，1)和(3，4)D．(4，＋∞)2．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是()A．0B．1C．2D．33．函數(shù)f(x)＝(x2﹣2)(x2﹣3x＋2)的零點為________．二、易錯點練清1．給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2﹣1的零點是(﹣1，0)和(1，0)；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)·f(b)<0；③二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2﹣4ac<0時沒有零點；④若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．其中正確的是________(填序號)．2．函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點，則k的取值范圍是________．考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷[典例]函數(shù)f(x)＝x＋lnx﹣3的零點所在的區(qū)間為()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[方法技巧]判斷函數(shù)零點(方程的根)所在區(qū)間的方法解方程法當對應方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上定理法利用零點存在性定理進行判斷數(shù)形結(jié)合法畫出相應的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷[針對訓練]1．方程(eq\f(1,3))x＝x的解所在的區(qū)間是()A.(0，eq\f(1,3))B.(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))C.(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D．(eq\f(2,3)，1)2．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x﹣6的零點在(eq\f(1,2)k，eq\f(1,2)k+eq\f(1,2))(k∈Z)內(nèi)，那么k＝________.考點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷[典題例析](1)函數(shù)f(x)＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零點個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x>0，,2x＋1，x≤0))的零點個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(3)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝ex＋x﹣3，則f(x)的零點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4[方法技巧]判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法直接法直接求零點，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點定理法利用零點存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點圖象法利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；或?qū)⒑瘮?shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)[針對訓練]1．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|﹣1的零點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x>0時，f(x)＝2x＋2x﹣4，則f(x)的零點個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5考點三函數(shù)零點的應用問題考法(一)根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函數(shù)g(x)＝f(x)﹣|kx2﹣2x|(k∈R)恰有4個零點，則k的取值范圍是()A.(﹣∞，﹣eq\f(1,2))∪(2eq\r(2)，＋∞)B.(﹣∞，﹣eq\f(1,2))∪(0，2eq\r(2))C．(﹣∞，0)∪(0，2eq\r(2))D．(﹣∞，0)∪(2eq\r(2)，＋∞)考法(二)根據(jù)函數(shù)零點存在情況求參數(shù)[例2]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x>0，))則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x﹣m有零點的實數(shù)m的取值范圍是______________．考法(三)根據(jù)零點的范圍求參數(shù)[例3]若函數(shù)f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(﹣1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是________．[方法技巧]由函數(shù)零點求參數(shù)范圍的方法直接法直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題再求解即可數(shù)形結(jié)合法先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解[針對訓練]1．函數(shù)f(x)＝2x﹣eq\f(2,x)﹣a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x∈－∞，0，,lnx，x∈0，1，,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，))若函數(shù)g(x)＝f(x)﹣m恰有2個零點，則實數(shù)m可以是()A．﹣1B．0C．1D．23．方程log(a﹣2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________．

創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法應用“三招五法”，輕松破解含參零點問題根據(jù)函數(shù)的零點情況，討論參數(shù)的范圍是高考的重點和難點．對于此類題目，我們常利用零點定理、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)單調(diào)性與分離參數(shù)等思想方法來求解．[典例]已知函數(shù)f(x)＝ax3﹣3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍為()A．(2，＋∞)B．(﹣∞，﹣2)C．(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)[方法演示]本題的實質(zhì)是函數(shù)f(x)存在唯一的零點x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代數(shù)特征轉(zhuǎn)化為方程有唯一的正根來構(gòu)思解析，也可以從零點本身的幾何特征入手，將其轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題來突破，還可以利用選項的唯一性選取特例求解．法一單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2﹣6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,a).當a>0時，x∈(﹣∞，0)，f′(x)>0；x∈(0，eq\f(2,a))，f′(x)<0；x∈（eq\f(2,a)，＋∞），f′(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(﹣∞，0)和（eq\f(2,a)，＋∞）上單調(diào)遞增，在（0，eq\f(2,a)）上單調(diào)遞減，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零點，不符合題意．當a<0時，x∈（﹣∞，eq\f(2,a)），f′(x)<0；x∈（eq\f(2,a)，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)在（﹣∞，eq\f(2,a)）和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在（eq\f(2,a)，0）上單調(diào)遞增，所以要使f(x)有唯一的零點x0且x0>0，只需f（eq\f(2,a)）>0，即a2>4，解得a<﹣2.法二數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關系求解由ax3﹣3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3﹣eq\f(1,x2)，作出y＝3﹣eq\f(1,x2)的圖象如圖所示，轉(zhuǎn)動直線y＝ax，顯然a>0時不成立；當a<0，直線y＝ax與左邊的曲線相切時，設切點為（t，3﹣eq\f(1,t2)），其中t<0，則切線方程為y﹣（3﹣eq\f(1,t2)）＝eq\f(2,t3)(x﹣t)．又切線過原點，則有0﹣（3﹣eq\f(1,t2)）＝eq\f(2,t3)(0﹣t)，解得t＝﹣1(t＝1舍去)，此時切線的斜率為﹣2，由圖象可知a<﹣2符合題意．法三數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點問題求解令f(x)＝0，得ax3＝3x2﹣1.問題轉(zhuǎn)化為g(x)＝ax3的圖象與h(x)＝3x2﹣1的圖象存在唯一的交點，且交點橫坐標大于零．當a＝0時，函數(shù)g(x)的圖象與h(x)的圖象存在兩個交點；當a>0時，如圖(1)所示，不合題意；當a<0時，由圖(2)知，可先求出函數(shù)g(x)＝ax3與h(x)＝3x2﹣1的圖象有公切線時a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝﹣2.由圖形可知當a<﹣2時，滿足題意．法四分離參數(shù)法：參變分離，演繹高效易知x≠0，令f(x)＝0，則a＝eq\f(3,x)﹣eq\f(1,x3)，記g(x)＝eq\f(3,x)﹣eq\f(1,x3)，g′(x)＝﹣eq\f(3,x2)＋eq\f(3,x4)＝eq\f(－3x2－1,x4)，可知g(x)在(﹣∞，﹣1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(﹣1，0)和(0，1)上單調(diào)遞增，且g(﹣1)＝﹣2，畫出函數(shù)大致圖象如圖所示，平移直線y＝a，結(jié)合圖象，可知a<﹣2.法五特例法：巧取特例求解取a＝3，則f(x)＝3x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣1)<0，從而f(x)在(﹣∞，0)上存在零點，排除A、C.取a＝﹣eq\f(4,3)，則f(x)＝﹣eq\f(4,3)x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣eq\f(3,2))<0，從而f(x)在(﹣∞，0)上存在零點，排除D，故選B.[答案]B[名師微點]函數(shù)的含參零點問題是高考熱門題型，既能很好地考查函數(shù)、導數(shù)、方程與不等式等基礎知識，又能考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思維能力，所以此類題往往能較好地體現(xiàn)試卷的區(qū)分度．由本題的五種方法，可知破解含參零點問題常有“三招”.第一招帶參討論當我們無法通過等價轉(zhuǎn)化的思想將原問題轉(zhuǎn)化為相對容易的問題時，我們要根據(jù)題設要求直接研究函數(shù)的性質(zhì)．由于函數(shù)含有參數(shù)，通常需要合理地對參數(shù)的取值進行分類，并逐一求解．(如本例法一)第二招數(shù)形結(jié)合由兩個基本初等函數(shù)組合而得的超越函數(shù)f(x)＝g(x)﹣h(x)的零點個數(shù)，等價于方程g(x)﹣h(x)＝0的解的個數(shù)，亦即g(x)＝h(x)的解的個數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的圖象的交點個數(shù)．(如本例法二和法三)第三招分離參數(shù)通過將原函數(shù)中的參數(shù)進行分離后變形成g(x)＝l(a)，則原函數(shù)的零點問題化歸為與x軸平行的直線y＝l(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點問題．(如本例法四)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、綜合練——練思維敏銳度1．求下列函數(shù)的零點，可以用二分法的是()A．f(x)＝x4B．f(x)＝tanx＋2(eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))C．f(x)＝cosx﹣1D．f(x)＝|2x﹣3|2．函數(shù)f(x)＝x﹣(eq\f(1,2))x的零點個數(shù)為()A．0B．1C．2D．33．設函數(shù)y＝log2x﹣1與y＝22﹣x的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．已知函數(shù)f(x)＝x﹣eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點分別為x1，x2，x3，則()A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x25．(多選)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(﹣∞，0)上單調(diào)遞減，且f(﹣3)·f(6)<0，那么下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點B．f(3)·f(﹣4)≥0C．f(﹣4)<f(6)D．f(0)<f(﹣6)6．(多選)定義域和值域均為[﹣a，a](常數(shù)a＞0)的函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有()A．方程f(g(x))＝0有兩正數(shù)解和一負數(shù)解B．方程g(f(x))＝0最多只有三個解C．方程f(f(x))＝0可能存在五個解D．方程g(g(x))＝0有且僅有一個解7．對于實數(shù)a，b定義運算“D○×”：aD○×b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a，a<b，,b2－a2，a≥b.))設f(x)＝(2x﹣3)D○×(x﹣3)，且關于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三個互不相同的實根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍為()A．(0，3)B．(﹣1，0)C．(﹣∞，0)D．(﹣3，0)8．若函數(shù)f(x)＝ax＋1﹣2a在區(qū)間(﹣1，1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．9．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是﹣2和3，則不等式af(﹣2x)>0的解集是__________．10．函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))|x﹣1|＋2cosπx(﹣4≤x≤6)的零點個數(shù)為________；所有零