頁第八節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.利用給出的具體函數(shù)模型解決實際問題，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2．給出具體實際問題，借助所學(xué)基本初等函數(shù)的特點，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．幾類常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2．三種基本初等函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．下列函數(shù)中，隨x的增大，y的增長速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x2．某物體一天內(nèi)的溫度T關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為T(t)＝t3﹣3t＋60，時間單位是h，溫度單位為℃，t＝0時表示中午12：00，則上午8：00時的溫度為()A．8℃B．18℃C．58℃D．128℃3．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln(1+eq\f(M,m)).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒．4．某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100km，票價是0.5元/km，如果超過100km，超過100km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是________________．二、易錯點練清1．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y﹣0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2xB．y＝x2﹣1C．y＝2x﹣2D．y＝log2x2．某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為()A．3.75元/瓶B．7.5元/瓶C．12元/瓶D．6元/瓶3．某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元；銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元．若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為________萬元．考點一應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題[典例]Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60B．63C．66D．69[方法技巧]應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題的3個關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．[針對訓(xùn)練]一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae﹣bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過______min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．考點二構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題考法(一)構(gòu)建二次函數(shù)模型[例1]如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．[方法技巧]在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域在坐標系中對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解．解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后還要還原到實際問題．考法(二)構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型[例2](1)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()A．8B．9C．10D．11(2)已知世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%[方法技巧]兩類函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)．考法(三)構(gòu)建y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函數(shù)模型[例3]某校為豐富師生課余活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S(平方米)的AMPN矩形健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價為eq\f(37k,\r(S))元，再把矩形AMPN以外(陰影部分)鋪上草坪，每平方米的造價為eq\f(12k,\r(S))元(k為正常數(shù))．(1)試用x表示S，并求S的取值范圍；(2)求總造價T關(guān)于面積S的函數(shù)T＝f(S)；(3)如何選取|AM|，使總造價T最低(不要求求出最低造價)?[方法技巧]“y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)”型函數(shù)模型的求解策略(1)“y＝x＋eq\f(a,x)”型函數(shù)模型在實際問題中會經(jīng)常出現(xiàn)．解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式，必要時通過配湊得到“y＝x＋eq\f(a,x)”型函數(shù)模型．(2)求函數(shù)解析式時要先確定函數(shù)的定義域．對于y＝x＋eq\f(a,x)(a>0，x>0)類型的函數(shù)最值問題，要特別注意定義域和基本不等式中等號成立的條件，如果在定義域內(nèi)滿足等號成立，可考慮用基本不等式求最值，否則要考慮函數(shù)的單調(diào)性，此時可借用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性．考法(四)構(gòu)建分段函數(shù)模型[例4]國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？[方法技巧]分段函數(shù)模型的求解策略(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)建分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．[針對訓(xùn)練]1．某商場銷售A型商品．已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表所示：銷售單價/元45678910日均銷售量/件400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價(單位：元/件)應(yīng)為()A．4B．5.5C．8.5D．102．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L，記作[OH﹣])的乘積等于常數(shù)10﹣14.已知pH值的定義為pH＝﹣lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以為(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D．eq\f(1,10)3．已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關(guān)于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數(shù)解析式為q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x≤180，))當(dāng)每件衣服的利潤為多少元時，該服裝廠所獲效益最大？并求出最大值．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)2．某新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100xB．y＝50x2﹣50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋1003．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.eq\f(p＋q,2)B．eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq)D．eq\r(p＋1q＋1)﹣14．(多選)某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，若使這種溶液的雜質(zhì)含量達到市場要求，則過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．6B．7C．8D．95．基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天6．華羅庚是上世紀我國偉大的數(shù)學(xué)家，以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華王方法”等．他除了數(shù)學(xué)理論研究，還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”．“優(yōu)選法”，是指研究如何用較少的試驗次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學(xué)方法．在當(dāng)前防疫取得重要進展的時刻，為防范機場帶來的境外輸入，某機場海關(guān)在對入境人員進行檢測時采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率：每16人為一組，把每個人抽取的鼻咽拭子分泌物混合檢查，若為陰性，則全部放行；若為陽性，則對該16人再次抽檢確認感染者．某組16人中恰有一人感染(鼻咽拭子樣本檢驗將會是陽性)，若逐一檢測可能需要15次才能確認感染者．現(xiàn)在先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性，則認定在另一組；若為陽性，則認定在本組．繼續(xù)把認定的這組的8人均分為2組，選其中一組4人的樣本混合檢查……依此類推，最終從這16人中認定那名感染者需要經(jīng)過檢測的次數(shù)為()A．3B．4C．6D．77.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0<a<12)，不考慮樹的粗細．現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()8．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5元收費．某職工某月的水費為55元，則該職工這個月實際用水為()A．13立方米B．14立方米C．15立方米D．16立方米9.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形ABCD，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的取值范圍為()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]10．成都市某物流公司為了配合“北改”項目順利進行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用倉庫搬遷到北三環(huán)外重新租地建設(shè)．已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5千米處B．4千米處C．3千米處D．2千米處11．中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可，良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史，考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿足N＝N0·2eq\f(－t,5730)(N0表示碳14原有的質(zhì)量)，則經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腳_______；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的eq\f(3,7)至eq\f(1,2)，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到________年之間．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg7≈0.85，lg3≈0.48)12．已知某品牌商品靠廣告宣傳得到的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù)且a>0)，廣告效應(yīng)D＝aeq\r(A)﹣A.那么對于此商品，精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為________．(用常數(shù)a表示)13．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e﹣kt，P0為過濾前的污染物數(shù)量．如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時．14.某人準備購置一塊占地1800平方米的矩形地