2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學(xué)

姓名準(zhǔn)考證號(hào)

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)；非

選擇題部分3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

考生注意：

1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填

寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。

2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范

作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效。

參考公式：

如果事件A,B互斥,則柱體的體積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh

如果事件A,B相互獨(dú)立，則其中S表示柱體的底面積，力表示柱

體的高

P(AB)=P(A)P(B)錐體的體積公式

若事件4在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,則n次V=-Sh

3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示錐體的底面積，h表示錐

體的高

與⑹=Cp*(1-pF(攵=0,1,2,…球的表面積公式

臺(tái)體的體積公式S=4成2

v=廊;+邑)〃球的體積公式

4

其中5,§2表示臺(tái)體的上、下底面積，V=—兀代

3

h表示臺(tái)體的高其中R表示球的半徑

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={1,2},8={2,4,6},則AUB=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

2.已知a,/?eR,a+3i=S+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.a=1,b=—3B.a=—1,Z?=3C.a=—1,Z?=—3D.a=l,h=3

x—2N0,

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件[2x+y—740,則z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2K0,

A.20B.18C.13D.6

4.設(shè)xeR,則“sinx=l”是"cosx=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cn?）是（）

2216

A.22KB.87rC---7CD.一71

33

6.為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin13x+g圖象上所有的點(diǎn)（）

7T7[

A.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移,個(gè)單位長(zhǎng)度

55

TT1T

C.向左平移百個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移百個(gè)單位長(zhǎng)度

7.已知2"=5,log83=b,則4"w=（）

255

A.25B.5C.——D.-

93

8.如圖，已知正三棱柱=E,尸分別是棱BC,AG上的點(diǎn).記石產(chǎn)

與A4所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為夕，二面角尸一3。一A的平面角為7,

A.a<P<yB.P<a<yC.(3<y<aD.a<y<(3

9.已知a,beR,若對(duì)任意xeR,a|x-Z?|+|x-4|-|2x-5|20,則()

A.a<l,b>3B.a<l,b<3C.a>\,b>3D.a>l,b<3

10.已知數(shù)列｛qj滿足。?=1,?！?]EN*),則

557

A.2<1006ZinmA/<-2B.—2<100見105n，<3C.3<100。1n5o，<—2

7

D.5<1004no<4

非選擇題部分(共110分)

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分.

11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三

斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

\/22、2]

S=l-C2a2-3",其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

rLI2〃

某三角形的三邊“=血力=百,。=2,則該三角形的面積5=.

2345

12.已知多項(xiàng)式(x+2)(x-l)4=aQ+a{x+a2x+a3x+a4x+a5x,則生=

%+4+%+/+%=

13.若3sina-sin/?=Vi5,a+/?=^,則sina=,cos2，=

—x~+2,x41,z

14.已知函數(shù)/(%)=<1,?則//若當(dāng)xe[a,句時(shí),

XH----1,X>1,\

X

1</(%)<3,則b—a的最大值是.

15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,

記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為鼻則P(J=2)=,E?)=.

22>

16.已知雙曲線與―與=l(a>0/>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為——的直線交雙曲線

ab-4a

于點(diǎn)A(2，x),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)8(%,%)且若|FB|=3|E4|,則雙

曲線的離心率是.

--2-2--2

17.設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形…4的邊44上，則尸4+尸&+…+月須的

取值范圍是.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

18.(本題滿分14分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

3

已知4。=亞c,cosC=—

(I)求sinA的值；

(ID若b=ll,求AABC的面積.

19.（本題滿分15分）如圖，已知ABCD和CDE/7都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=l,ZBAD=NCDE=60°,二面角產(chǎn)一。。一5的平面角為

60°.設(shè)“，N分別為AE,8c的中點(diǎn).

（I）證明：FN工AD；

（II）求直線3M與平面AQE所成角的正弦值.

20.（本題滿分15分）已知等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為=-1,公差記｛q｝的前〃項(xiàng)和

（I）若S4-2a2a3+6=0,求S”；

（1【）若對(duì)于每個(gè)〃wN*,存在實(shí)數(shù)c“，使a“+q,,a,川+4或?yàn)?2+15%成等比數(shù)列，求

d的取值范圍.

2

21.（本題滿分15分）如圖，已知橢圓工+丁=1.設(shè)A,B是橢圓上異于尸（0,1）的兩點(diǎn)，

12

且點(diǎn)在線段AB上，直線PAPB分別交直線y=-gx+3于C,Q兩點(diǎn).

（I）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

（II）求|CO|的最小值.

e

22.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)/'。）=——+111》（％>0）.

2x

（I）求/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（II）已知a,beR,曲線y=/（x）上不同的三點(diǎn)（%,/（玉））,（％,/（々）），（％3，/（工3））處

的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（“力）.證明：

（i）若”〉e,則—1）；

..#八,2e-a112e-a

（ii）彳「0va<e,玉<與<當(dāng)，貝rfI—?-----<—?v------------z-?

e6e%x3a6e

（注:e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）

數(shù)學(xué)參考答案

選擇題部分（共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.C8.A9.D10.B

非選擇題部分（共110分）

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分.

「V23

11.-——.

4

12.?.8②.-2

13①嚕

37

14.①.—②.3+6##6+3

28

「、1612,5

15.(1).—，②.一##1一

3577

3娓

lb.----

4

17.[12+272,16]

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

18.（1）正;

5

（2）22.

19.（1）過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線。C、A3的垂線EG、?！ú⒎謩e交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H.

..?四邊形ABC。和EFC。都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=l,

NBAD=NCDE=60。,由平面幾何知識(shí)易知，

DG-AH—2,Z.EFC-ZLDCF-Z.DCB-Z.ABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形

DCBH是矩形，在RtAEGD和M^DHA，EG=DH=26,

VDC±CF,DC1CB,且CFcCB=C,

DC_L平面BCF,NBCF是二面角F-DC-B的平面角，則N8C77=60>

.??△3CR是正三角形，由。Cu平面ABC。，得平面ABC。，平面BCF,

；N是BC的中點(diǎn)，??.FNJ_,又DC_L平面BCF,FNu平面BCF,可得FNLCD,

而5CcC0=C,KV_L平面ABCD,而ADu平面4SCD../WLA。.

⑵阻

14

3/—5/7

20.(1)S,,=—^—(neN*)

(2)\<d<2

21.(1)I5；

11

⑵蛀~.

5

22.(1)/(X)的減區(qū)間為增區(qū)間為+8)

(2)(i)因?yàn)檫^(guò)(a,。)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(玉,/(玉)),，=1,2,3,

故〃%)一/=，&)(a-a),

故方程/(X)=/'(x)(x-a)有3個(gè)不同的根，

則g./⑴X二1一e（壽1旬eY（>"匕、1+壽e

=T（x-e）（i），

當(dāng)0cx<e或x>“時(shí)，g?x）<0；當(dāng)e<x<aa^,g?x）>0,

故g(x)在(O,e),(a,+8)上為減函數(shù)，在(e,a)上為增函數(shù),

因?yàn)間(尤)有3個(gè)不同的零點(diǎn),故g(e)<0且g(a)>0,

故卜5e1ee

e-a---Ine+bv0且a-a\-----lnQ+〃>0,

2ea2a12a

整理得到：?！瓷?1且b>￡+lna=/(a),

2e2a

a13e[

此時(shí)/?_/⑷—4-ln6f----h—=-------Inrz,

■一2a2e222a

設(shè)〃(Q)=上一￡-lna,貝!=<0,

-22Q'/2"

36

故〃(〃)為(e,+8)上的減函數(shù)，故-/--lne=0,

故0</?-/(〃).

(團(tuán))當(dāng)Ovave時(shí)，同(回)中討論可得：

故g(x)在(O,a),(e,+8)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)<x2<x3,則。<玉<a<%ve<忍，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故g(a)<0且g(e)>0,

故(-------|(c—ci]-----]ne+/?>0且(-------](a—Q)--------Ina+/?<0

le2e272e{a2/J'72a

整理得至I」：—+l</?<—+ln?,

2e2e

因?yàn)?]<兄2<*3，故0<%<。<々<。<尤3,

eai7

又g(x)=l-土上H---z—Inx+/?

2x2

設(shè)r=￡,-=me(0,l),則方程1—空￡+普—lnx+8=0即為:

xe''x2x-

^-^-t+—t2+\nt+b=0即為一(機(jī)+1"+二/+]nf+0=o,

e2e'，2

eee

記4=一，,2=—，,3=一，

x{x2x3

則fi/W為一(m+1"+^產(chǎn)+1皿+8=0有三個(gè)不同的根,

z4占e[a

設(shè)左='==〉—>1,/〃=上<1,

X,ae

2e-a112e-a2ee-。

——I-<—i<—匕v

要證:2-^T，即證2+----<4+

e6eX]x2a6e--------------a6e

\3-m21-m

即證:<tl+t3<

6m~~T

2(機(jī)-13乂川-m+12)

即證:/]+J-2<-------------------------

m36"Z(4+G)

而一(AT?+1)4+r；+In4+〃=0且一(/〃+1)q+tg+InJ+/?=0,

2

felnZ,-lnZ3+y(z,-/,)-(/?+1)(Z,-Z3)=0,

c22Int,-InL

故/———=——x—1——

mmt]-t3

2

班