拓展05全等三角形證明題刷題優(yōu)選（共80道）不含輔助線50道含輔助線30道【類型一】不含輔助線1．已知：如圖AD∥CB，AD=CB．求證：【答案】見解析【分析】利用SAS證明△DAC≌△BCA即可．【詳解】證明：∵AD∥CB∴∠DAC=∠BCA，在△DAC和△BCA中，

AD∴△DAC≌△BCA（SAS），∴∠B=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查利用“SAS”直接證明三角形全等．尋找全等條件是解題關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA∥BF，EC∥FD，

【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)得∠A=∠FBC，∠ACE=∠D，再證AC=BD，后證△AEC≌△BFD(ASA)，即可得證．【詳解】證明：∵EA∥BF，EC∥FD，∴∠A=∠FBC，∠ACE=∠D，又∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∠A=∠FBC∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴EC=FD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法．3．如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O,OA=OD,OB=OC．求證：

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)邊角邊公理直接證明即可．【詳解】證明：在△AOB和△COD中，OA=OD∴△AOB≌△DOC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．如圖，AE=DB，AC=DF，AC∥DF，求證：【答案】證明見解析【分析】已知AE=DB，可得AB=DE，由AC∥DF，得∠A=∠D，可證明△ABC≌△DEFSAS【詳解】證明：∵AE=DB，∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，∵AC∥DF，∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠A=∠D∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知D是AC上一點(diǎn)，BC=AE，DE∥AB，∠B=∠DAE．求證：△ABC≌△DAE

【答案】見解析【分析】首先由DE∥AB得到∠EDA=∠CAB，根據(jù)AAS證明三角形全等即可．【詳解】∵DE∥AB，∴∠EDA=∠CAB．在△DAE和△ACB中，∠EDA=∠CAB∴△DAE≌ABCAAS【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AF=DE，∠A=∠D，AC=DB．求證：△ABF≌

【答案】見解析【分析】利用線段的加減證得AB=DC，即可用“SAS”證明三角形全等．【詳解】證明：∵AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=DC，在△ABF和△DCE中，∵AF=DE∠A=∠D∴△ABF≌△DCE(SAS)．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各個(gè)判定定理是關(guān)鍵．7．已知：如圖，AB=AC，F(xiàn)、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)問：△ABE與△ACF全等嗎？為什么？【答案】△ABE與△ACF全等，理由見解析【分析】先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義證明AF=AE，再根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACF即可．【詳解】解：△ABE與△ACF全等，理由如下：∵F、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴AF=1∵AB=AC，∴AF=AE，又∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACFSAS【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，8．如圖，已知AD=BC，OD=OC，O為AB的中點(diǎn)，說出∠C=∠D的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【詳解】∵O為AB的中點(diǎn)，∴AO=BO，在△BOC和△AOD中，AD=BCOD=OC∴△BOC?△AOD，∴∠C=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．9．如圖，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是∠BAC的平分線．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∴Rt△BDE與在Rt△BDE和BD=CDBE=CF∴Rt△∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中（AB<BC），過點(diǎn)C作CD∥AB并連接BD，使∠CBD=∠CDB，在CB上截取CE=AB，連接DE．求證：DE=AC．

【答案】見詳解【分析】根據(jù)CD∥AB，可得∠CBA=∠ECD，根據(jù)∠CBD=∠CDB，可得BC=CD，及可證明△ABC≌△ECD，問題得解．【詳解】∵CD∥AB，∴∠CBA=∠ECD，∵∠CBD=∠CDB，∴BC=CD，∵CE=AB，∴△ABC≌△ECD，∴DE=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABC≌△ECD是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC=PD．Q是OP上一點(diǎn)，QE⊥OA于點(diǎn)E，QF⊥OB于點(diǎn)F．求證：QE=QF．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)角平分線的判定定理得到OP是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明結(jié)論．【詳解】證明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，∴OP是∠AOB的平分線，∵QE⊥OA，QF⊥OB，∴QE=QF．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等、到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．12．如圖，線段AC，BD相交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF【答案】9cm【分析】先證明OE=OF，再利用SAS證明△AOF≌△COE，即可得到AF=CE=9cm．【詳解】解：∵OB=OD，DE=BF，∴OE=OF．又∵OA=OC，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COESAS∴AF=CE=9cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，C為BE上一點(diǎn)．點(diǎn)A，D分別在BE兩側(cè)．AB∥ED，AB=CE，BC=ED．(1)證明：△ABC?△CED；(2)若∠A=135°，求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)45°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B=∠E，即可根據(jù)SAS判斷三角形全等．（2）由（1）△ABC?△CED可得∠A=∠DCE=135°，在由三角形外角和定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E，在△ABC和△CED中，AB=CE∠B=∠EBC=ED∴△ABC?△CEDSAS（2）∵△ABC?△CED，∴∠A=∠DCE=135°，∴∠BCD=180°-135°=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判斷與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角和定理，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知∠1=∠2，AC=BC．求證：AO=BO，∠3=∠4．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意證明△ACO≌△BCOSAS【詳解】證明：在△ACO和△BCO中，AC=BC∴△ACO≌△BCOSAS∴AO=BO，∠CAO=∠CBO，∴∠3=∠4．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等角的補(bǔ)角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．15．如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE．求證：BC=DE．【答案】見解析【分析】先求出∠BAC=∠DAE，再利用“邊角邊”證明△ABC和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．【詳解】證明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADESAS∴BC=DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DF，BE=FC，∠B=∠F，求證：△ABC≌【答案】證明過程見詳解【分析】根據(jù)BE=FC可求BC=EF，再結(jié)合AB=DF，∠B=∠F，由邊角邊證明△ABC≌△DFE即可．【詳解】證明：∵BE=FC，∴BE+EC=FC+EC，即BC=EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠F∴△ABC≌△DFE(SAS)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．17．如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，【答案】見解析【分析】如圖，先證明∠A=∠D,再利用SAS證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠A=∠DHC,∠D=∠DHC,∴∠A=∠D,又AC=DF，AB=DE，在△ABC與△DEF中，AC=DF∴△ABC≌△DEFSAS【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握“利用SAS證明三角形全等”是解題的關(guān)鍵．18．如圖，AB=AC，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)且BE=CE．求證：BD=CD．【答案】見詳解【分析】根據(jù)AB=AC，BE=CE，AE是公共邊，可證△AEB≌△AEC(SSS)，從而得出∠BED=∠CED，由此證明△BED≌△CED(SAS)，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，BE=CE，AE是公共邊，∴△AEB≌△AEC(SSS)，∴∠AEB=∠AEC，∵∠AEB+∠BED=∠AEC+∠CED=180°，∴∠BED=∠CED，且BE=CE，ED是公共邊，∴△BED≌△CED(SAS)，∴BD=CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知AB=AC，∠BEF=∠CFH，BE=CF，M是【答案】證明過程見詳解【分析】證明△BEF≌△CFH(ASA)，△EFM≌△HFM(SSS)即可求解．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BEF和△CFH中，∠B=∠CBE=CF∴△BEF≌△CFH(ASA)，∴EF=FH，∵M(jìn)是EH的中點(diǎn)，∴EM=HM，F(xiàn)M為公共邊，∴△EFM≌△HFM(SSS)，∴∠EFM=∠HFM．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．已知△ABN和△ACM位置如圖所示，AB=AC，AM=AN，【答案】見解析【分析】由∠1=∠2可得出∠BAN=∠CAM，可證出△BAN≌△CAMSAS【詳解】證明：∵∠1=∠2，∴∠BAN=∠CAM．在△BAN和△CAM中，AB=AC∠BAN=∠CAM∴△BAN≌△CAMSAS∴BN=CM．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS證出△BAN≌△CAM是解題的關(guān)鍵．21．如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）欲證明AE=CD，只要證明△ABE≌△CBD即可；（2）由△ABE≌△CBD，推出∠BAE=∠BCD，由∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，∵{AB=CB∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD．（2）證明：由（1）的結(jié)論得△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD，∵由∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，又∵∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，使得EF=ED，連CF．

(1)求證：CF∥(2)若∠ABC=50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)65°【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACF，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)（1）求出∠A=∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】（1）解：證明：∵E為AC中點(diǎn)，∴AE=CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF(SAS)，∴∠A=∠ACF，∴CF∥AB；（2）∵AC平分∠BCF，∴∠ACB=∠ACF，∵∠A=∠ACF，∴∠A=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=50°，∴2∠A=130°，∴∠A=65°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF，求證：AD是△ABC的角平分線．

【答案】見解析【分析】首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)，再根據(jù)三角形角平分線的逆定理即可證明．【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△DCF是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△DCF中，BD=DCBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)，∴DE=DF，∴AD是△ABC的角平分線．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，直角三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理．24．如圖，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：AF=BE．

【答案】見解析【分析】利用已知中的垂直關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠FAC，進(jìn)而可證△ABE≌△CAF，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，∴∠AEB=∠CFA=90°．∵∠BAC=90°，∴∠B=∠FAC=90°-∠BAE．在△ABE與△CAF中，∠AEB=∠CFA∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AF=BE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等轉(zhuǎn)換角的關(guān)系、正確理解與運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)定理．25．如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，E為AD上一點(diǎn)，且BE=AC，DE=DC．求證：∠DBE=

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形高的定義得∠BDE=∠ADC=90°，從而利用HL判斷Rt△BDE≌Rt△ADC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠DBE=∠DAC．【詳解】解：∵AD是△ABC的邊BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=AC∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DBE=∠DAC．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握“HL”證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．如圖1，點(diǎn)A是線段DE上一點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，

(1)求證：DE=BD+CE．(2)如圖2，點(diǎn)A是線段DE上一點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，【答案】(1)見解析(2)BD=DE+CE．理由見解析【分析】（1）先證△AEC≌△BDA得出AD=CE，BD=AE，從而得出（2）先證△ADB≌△CEA得出AD=CE，BD=AE，從而得出【詳解】（1）證明：∵BD⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE．∵AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD；（2）解：BD=DE+CE．理由如下：∵BD⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，∴∠ABD=∠EAC．∵AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∵AE=AD+DE，∴BD=CE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)同角的余角相等可得∠DBA=∠CAE，熟練掌握全等三角形的判定方法：SSS、27．已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P、Q都是OC上不同的點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F，連接EQ、FQ．求證：(1)△OPE≌△OPF．(2)FQ=EQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和垂直的定義得到∠AOC=∠BOC，∠PEO=∠PFO=90°，則可根據(jù)AAS證明△OPE≌△OPF；（2）先由△OPE≌△OPF得到OE=OF，則可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF，然后可根據(jù)SAS判斷△OEQ≌△OFQ，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AOC=∠BOC，∠PEO=∠PFO=90°，在△OPE和△OPF中，∠PEO=∠PFO∴△OPE≌△OPF(AAS)；（2）∵△OPE≌△OPF，∴OE=OF，在△OEQ和△OFQ中，OE=OF∠EOQ=∠FOQ∴△OEQ≌△OFQ(SAS)，∴EQ=FQ．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．28．如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接

(1)求證：∠ABC=∠AED；(2)求證：BD=CE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC≌△AED可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據(jù)SAS證明△ABD≌△AEC【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，又∵AB=AE，AC=AD，∴△ABC≌△AEDSAS∴∠ABC=∠AED；（2）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AE，AC=AD，∴△ABD≌△AECSAS∴BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．29．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別是D，E．

(1)求證：△ADC≌△CEB；(2)猜想線段AD，BE，DE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析．(2)AD=BE+DE，理由見解析．【分析】（1）先求得∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°可求得∠ACD=∠CBE，進(jìn)而可求得答案．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知CD=BE，AD=CE，結(jié)合CE=CD+DE=BE+DE即可求得答案．【詳解】（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB．（2）∵△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE．∴CE=CD+DE=BE+DE．∴AD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，牢記全等三角形的判定方法（兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊也相等的兩個(gè)三角形全等）是解題的關(guān)鍵．30．如圖，已知點(diǎn)F、A、E、B在一條直線上，∠C=∠F，BC∥DE求證：AC=DF.

【答案】見解析【分析】根據(jù)BC∥DE推出∠AED=∠B，證明△ACB≌△DFEAAS【詳解】證明：∵BC∥DE

∴∠AED=∠B在△ACB與△DFE中∠AED=∠B∴△ACB≌△DFEAAS∴AC=DF．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．31．如圖，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形△ABC,△ADE，AD=AE，AB=AC，連接BD，CE交于點(diǎn)F．線段BD和CE有何關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】BD=CE，BD⊥CE，理由見解答．【分析】由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE=90°+∠CAD，而AD=AE，AB=AC，即可證明△BAD≌△CAE，得BD=CE，∠ABD=∠ACE，再推導(dǎo)出∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB=90°，即可證明BD⊥CE．【詳解】解：BD=CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE=90°+∠CAD，在△BAD和△CAE中，AD=AE∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠ACE+∠ACB=∠FBC+∠ABD+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，證明△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．32．如圖，ΔABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，連接BP，CP

(1)求證：BD=CE；(2)若AB=4cm，AC=10cm，求【答案】(1)見解析(2)6cm【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP=EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和（2）利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AE，再根據(jù)AB、AC的長度表示出【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP=CP，∵AP是∠DAC的平分線，∴DP=EP，在Rt△BDP和BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)，∴BD=CE；（2）解：在Rt△ADP和AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，∴AD=AE，∵AB=4cm，AC=10cm，∴4+AD=10-AE，即4+AD=10-AD，解得AD=6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．33．已知：AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且BD=CE．

(1)如圖1，求證：∠B=∠C；(2)如圖2，BE交CD于點(diǎn)F，連接AF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的三角形．【答案】(1)見解析(2)全等三角形有：△ABE≌△ACD，△ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△BDF≌△CEF【分析】（1）根據(jù)題意可得AD=AE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明∠B=∠C；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定即可證明△BDF≌△CEFAAS，△ABF≌△ACFSSS，【詳解】（1）證明：∵AB=AC，BD=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，在△ABE與△ACD中，AB=AC∠A=∠A∴△ABE≌△ACDSAS∴∠B=∠C．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∠B=∠C，在△BDF與△CEF中，∠BFD=∠CFE∠B=∠C∴△BDF≌△CEFAAS∴BF=CF，在△ABF與△ACF中，BF=CFAF=AF∴△ABF≌△ACFSSS∵BE-BF=CD-CF，即EF=DF，在△ADF與△AEF中，AD=AEAF=AF∴△ADF≌△AEFSSS綜上所述：全等三角形有：△ABE≌△ACD，△ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△BDF≌△CEF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．如圖，已知DE⊥AB垂足為E，DF⊥AC垂足為F，BD=CD，BE=CF．

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：AB+AC=2AE，請(qǐng)你幫他寫出證明過程．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先用HL判斷出Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得DE=DF，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上可得AD平分∠BAC；（2）首先用HL判斷出Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AE=AF，結(jié)合BE=CF，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFDHL∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠E=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFDHL∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE-CF+AE+CF=2AE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理，能正確根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．35．如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D在邊AB上，AB＝4BD，連接CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段CD上，連接(1)△FBC與△(2)若AE＝11，EF＝(3)若△ACE與△BDF的面積之和為12，則△ABC【答案】(1)全等，證明見解析(2)3(3)48【分析】（1）連接BC，易得∠AEC=180°-∠AED，進(jìn)而得到∠ACB=∠AED．再證明∠（2）由△FBC?△ECA（3）由△FBC?△ECA可得S△FBC=S△ECA，所以【詳解】（1）解：△FBC與△ECA∵∠BFC=∠AEC=180°-∴∠由外角定理可得∠AED=又∵∠ACB=∴∠CAE=∵∠∴∠在△FBC和△∠∴△FBC?△ECA（2）解：∵△∴FC=AE=11，又∵EF=8，∴CE=FC-EF=11-8=3，∴BF=3．故答案為：3．（3）解：∵△∴S△∴S△又∵AB=4BD∴S△∴S△故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算、三角形外角定理等知識(shí)點(diǎn)，證得△FBC36．如圖，A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，AB=AC，∠BAD=∠ACE，∠BAC=∠ABD+∠BAD．

(1)求證：△BAD≌△ACE；(2)求證：BD=CE+DE；(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，BD∥CE？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)當(dāng)△ABC為直角三角形（或∠ABC=45°，或∠BAC=90°）時(shí)，BD∥CE，理由見解析【分析】（1）根據(jù)ASA證明△BAD≌△ACE即可；（2）根據(jù)△BAD≌△ACE，得出AD=CE，BD=AE．即可證明AE=AD+DE=CE+DE；（3）根據(jù)∠BAC=∠ABD+∠BAD=90°，得出∠ADB=90°，∠BDE=90°，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得出∠ADB=∠CED=90°，得出∠BDE=∠CED，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CE．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠ABD+∠BAD，∠BAC=∠CAE+∠BAD，∴∠ABD=∠CAE，在△BAD和△ACE中∠ABD=∠CAEAB=AC∴△BAD≌△ACE(ASA)；（2）證明：∵△BAD≌△ACE，∴AD=CE，BD=AE，∵AE=AD+DE=CE+DE，∴BD=CE+DE．（3）解：當(dāng)△ABC為直角三角形（或∠ABC=45°，或∠BAC=90°）時(shí)，BD∥CE．理由如下：∵∠BAC=∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ADB=90°，∠BDE=90°．∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB=∠CED=90°．∴∠BDE=∠CED．∴BD∥CE．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明△BAD≌△ACE．37．（1）如圖1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B,C,D在同一條直線上．請(qǐng)判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，△AOB和△COD都是等腰三角形，即AO=BO，CO=DO，且∠AOB=∠COD=90°，請(qǐng)判斷線段BD與AC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）BD=CE且BD⊥CE（2）BD=AC且BD⊥AC【分析】（1）利用“邊角邊”證明△BAD≌△CAE，由全等三角形的性質(zhì)可得BD=CE，∠ADB=∠AEC，再結(jié)合∠DAE=90°易得∠DEC+∠CDE=90°，即可證明BD⊥CE；（2）利用“邊角邊”證明△AOC≌△BOD，由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，再結(jié)合∠AOB=90°易得∠BAP+∠ABP=90°，即可證明BD⊥AC．【詳解】解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵∠DAE=90°，∴∠ADE+∠AED=∠AEC+∠DEC+∠ADE=90°，∴∠DEC+∠CDE=∠ADB+∠DEC+∠ADE=90°，∴∠DCE=180°-(∠DEC+∠CDE)=90°，∴BD⊥CE，綜上所述，線段BD與CE存在的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系為BD=CE且BD⊥CE；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=∠OAC+∠BAC+∠OBA=90°，∴∠BAP+∠ABP=∠BAC+∠OBA+∠OBP=90°，∴∠BPA=180°-(∠BAP+∠ABP)=90°，∴BD⊥AC，

綜上所述，線段BD與AC存在的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系為BD=AC且BD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．38．如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：

(1)△ABC≌△BAD；(2)CE=DF．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）先由AC⊥BC，AD⊥BD證明∠ACB=∠BDA=90°，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△ABC≌（2）證明S△ABC=S△BAD，即可由【詳解】（1）證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90°，在Rt△ABC和AB=BABC=AD∴Rt△ABC≌Rt△（2）證明：∵Rt△ABC≌Rt△∴S∵CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，∴1∴CE=DF．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、垂直的定義等知識(shí)與方法，證明Rt△ABC≌39．如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，在BD上載取BF=AC，延長CE至點(diǎn)G使CG=AB，連接AF，AG．

(1)求證：AG=AF；(2)求∠GAF的度數(shù)；【答案】(1)證明見解析(2)90°【分析】（1）根據(jù)高的定義得到∠AEC=∠ADB=90°，進(jìn)而得到∠ABD=∠ACG，由此證明△AGC≌△FAB即可證明AG=AF；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠CGA，再由三角形內(nèi)角和定理得到∠AGE+∠EAG=90°，即可得到∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【詳解】（1）證明：∵BD、CE分別是AC、AB兩條邊上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠ACG，在△AGC與△FAB中，CA=BF∠GCA=∠ABF∴△AGC≌△FABSAS∴AG=AF；（2）解：∵△AGC≌△FAB，∴∠BAF=∠CGA，∵CE是AB邊上的高，即CE⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠AGE+∠EAG=90°，∴∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，高的定義，證明△AGC≌△FAB是解題的關(guān)鍵．40．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AC,BC上的點(diǎn)，且AD=ED，AB=EB，

【答案】124°【分析】根據(jù)SSS證明△ADB與△EDB全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在△ADB與△EDB中，AD=DEAB=BE∴ΔADB≌ΔEDB(SSS)，∴∠A=∠DEB=56°，∴∠CED=180°-∠DEB=180°-56°=124°，【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ADB與△EDB全等．41．如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點(diǎn)D．使AD=AC．在邊AC上截取AF=AB，連接DF．求證：DF=CB．

【答案】見解析【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】證明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC=90°．∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，∴∠DAF=∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF?△CABSAS∴DF=CB．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．42．如圖，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且點(diǎn)E，A，B在同一直線上，點(diǎn)C，D在BE同側(cè)，連結(jié)BD，CE交于點(diǎn)M，CE與AD交于點(diǎn)N．

(1)求證：BD=CE；(2)若∠DME=25°，求∠EAD的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)25°【分析】（1）利用“SAS”證明△ABD≌△ACESAS（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到∠ADM=∠AEM，再利用三角形內(nèi)角和定理，得到∠EAD=∠DME，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，∴∠DAB=∠EAC，在△ABD和△ACE中，AD=AE∠DAB=∠EAC∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADM=∠AEM，∵∠ADM+∠DME+∠DNM=180°，∠AEM+∠EAD+∠ANE=180°，∠DNM=∠ANE，∴∠EAD=∠DME=25°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．43．【課本習(xí)題】如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D、E．求證：BE=CD；【改編】在圖①中的邊AD上取一點(diǎn)F，使DF=CD，連接BF交DE于點(diǎn)G，連接AG（如圖②）．

（1）求證：△FDG≌△BEG；（2）若AD=5，BE=2，請(qǐng)直接寫出△AFG的面積．【答案】【課本習(xí)題】見解析；【改編】（1）見解析；（2）9【分析】課本習(xí)題：先證明∠ACD=∠CBE，結(jié)合∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，從而可得結(jié)論；改編：（1）先證明CD=BE，可得BE=FD，結(jié)合∠BEG=∠FDG，∠EGB=∠DGF，從而可得結(jié)論；（2）先證明DF=BE=2，DG=EG，可得AF=5-2=3，再證明CE=AD=5，CD=BE=2，可得DE=5-2=3，DG=EG=3【詳解】課本習(xí)題：證明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴CD=BE改編：（1）證明：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，∵DF=CD，∴BE=FD，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BEG=∠FDG，∵∠EGB=∠DGF，∴△FDG≌△BEG．（2）解：∵△FDG≌△BEG，BE=2，∴DF=BE=2，DG=EG，∵AD=5，∴AF=5-2=3，∵△ACD≌△CBE，∴CE=AD=5，CD=BE=2，∴DE=5-2=3，DG=EG=3∴△AFG的面積為12【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．44．如圖，已知AM是△ABC中邊BC上的中線，E、F是直線AM上的點(diǎn)，且BE∥CF．說明△BEM和【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BM=CM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠E=∠3，根據(jù)AAS即可證明△BEM≌△CFM．【詳解】證明：∵AM是△ABC中邊BC上的中線，∴BM=CM，∵BE∥CF，∴∠1=∠2，∠E=∠3．在△BEM與△CFM中，∠1=∠2∠E=∠3∴△BEM≌△CFM(AAS)．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．也考查了三角形的中線以及平行線的性質(zhì)．45．如圖，∠ABC=90°，F(xiàn)A⊥AB于點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線AB上，

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段AB上，判斷DF與DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．【答案】(1)DF=DC，(2)（1）中結(jié)論仍然成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可直接證明△AFD≌△BDC，即可得出結(jié)論；（2）仿照（1）的證明過程推出△ADF≌△BCD，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：DF=DC，由題意，∠A=∠B=90°，在△AFD與△BDC中，AF=BD∠A=∠B∴△AFD≌△BDCSAS∴DF=CD，∠ADF=∠BCD，∵在Rt△BDC中，∴∠BDC+∠ADF=90°，∴∠FDC=90°，∴CD⊥DF，∴DF=DC，（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠DAF=∠CBD=90°，在△ADF和△BCD中，AF=DB∠DAF=∠CBD∴△ADF≌△BCDSAS∴DF=DC，∠ADF=∠BCD，∵∠BCD+∠CDB=90°，∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，∴CD⊥DF；∴（1）中結(jié)論仍然成立．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形兩銳角互余等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．46．如圖，M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BM=CN，AM交BN于點(diǎn)P．

(1)求證：AM=BN．(2)求∠APN的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠APN=108°【分析】（1）利用SAS證明△ABM≌△BCN即可得出結(jié)論；（2）求出∠ABC，由全等形的性質(zhì)可得∠BAM=∠CBN，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）證明：∵多邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN，在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCNSAS∴AM=BN；（2）解：∵多邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=5-2∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠APN是△ABP的外角，∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=108°．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明△ABM≌△BCN是解題的關(guān)鍵．47．如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠CAD=∠BAD,DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF．

(1)求證：DC=DE．(2)若AC=8,AB=10，且△ABC的面積等于24，求DE的長．(3)若CF=BE，直接寫出線段AB,AF,EB的數(shù)量關(guān)系：________．【答案】(1)見解析(2)DE=(3)AB=AF+2EB【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可；（2）根據(jù)三角形ACB的面積=△ACD的面積+三角形ADB的面積，即可求得DE的長度；（3）根據(jù)線段之間的關(guān)系，即可得到AB=AF+2EB．【詳解】（1）證明：∵∠C=90°，DE⊥AB，∠CAD=∠BAD∴DC=DE；（2）解：∵S∴S又∵AC=8，AB=10，DE=DC，且△ABC的面積等于∴24=1∴DE=8（3）解：∵∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，∠CAD=∠BAD∠C=∠AED∴△ACD≌△AEDAAS∴AC=AE，∵AB=AE+EB，∴AB=AC+EB，∵AC=AF+CF，CF=BE，∴AB=AF+2EB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解決問題．48．【問題背景】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn)G

【問題探究】(1)∠AGB的度數(shù)為°；(2)過G作GF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，判斷AB與FB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若AD=10，F(xiàn)G=6，求【答案】(1)135(2)AB=BF，理由見解析(3)4【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分線的定義得到∠GAB+∠GBA=1（2）利用三角形內(nèi)角和定理證明∠F=∠HAG，進(jìn)而證明∠F=∠BAG，由此可證明△ABG≌△FBG得到AB=BF；（3）由全等三角形的性質(zhì)得到AG=FG=6，則DG=AD-AG=4，再證明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，∵∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn)G，∴∠GAB=1∴∠GAB+∠GBA=1∴∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=135°，故答案為：135；（2）解：AB=BF，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵FG⊥AD，∴∠AGH=∠FCH=90°，又∵∠FHC=∠AHG，∴∠F=∠HAG，∵∠ABC和∠BAC的平分線BE和AD相交于點(diǎn)G，∴∠CAD=∠BAD，∴∠F=∠BAG，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGAAS∴AB=BF；（3）解：∵△ABG≌△FBG，∴AG=FG=6，∴DG=AD-AG=4，又∵∠AGH=∠FGD=90°，∴△AGH≌△FGDASA∴GH=DG=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．49．將兩個(gè)三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

(1)試說明△ABC≌(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BED=36°【分析】（1）利用AAS證明三角形全等即可；（2）全等三角形的性質(zhì)，得到∠BED=∠BCA，證明△DBC≌△ABCSSS，得到∠BCD=∠BCA=【詳解】（1）解：因?yàn)椤螪BA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDE所以△ABC≌△DBEAAS（2）因?yàn)椤鰽BC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=ACCB=CB所以△DBC≌△ABCSSS所以∠BCD=∠BCA=1所以∠BED=∠BCA=36°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．50．如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點(diǎn)，滿足CD=BA，過點(diǎn)C作CE∥AB，且CE=BC，連接DE并延長，分別交AC，AB于點(diǎn)F，

(1)求證：△ABC?△DCE；(2)若BD=12，AB=2CE，求BC的長度．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC≌△DCE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵CE∥AB，∴∠B=∠ECD，在△ABC與△DCE中，AB=CD∠B=∠ECD∴△ABC≌△DCESAS（2）∵△ABC≌△DCE，∴AB=CD,BC=CE，∵AB=2CE，∴CD=2BC，∵BD=12，∴BD=CD+BC=3BC=12∴BC=4．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．【類型二】含輔助線全51．如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=26°，∠ADC=77°．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求證：AC+CD=AB．【答案】(1)52°(2)見解析【分析】（1）先用三角形外角的性質(zhì)，先求出∠BAD，再由AD平分∠BAC求出∠CAD，再利用△ACD的三角形內(nèi)角和求出∠C即可；（2）在AB上取一點(diǎn)T，使得AT=AC，先證明△ADT≌△ADCSAS，從而到DT=CD，再利用∠ATD=∠C，求得∠B=∠TDB=26°，從而得到TB=DT=CD【詳解】（1）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=77°-26°=51°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=51°，∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-77°-51°=52°；（2）證明：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT=AC．在△ADT和△ADC中，AT=AC∠DAT=∠DAC∴△ADT≌△ADCSAS∴TD=CD，∠ATD=∠C=52°，∵∠ATD=∠B+∠TDB=52°，∴∠B=∠TDB=26°，∴TB=TD=CD，∴AC+CD=AT+TB=AB．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．52．如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，∠ECF=∠A=60°．

(1)求證：EF=BE+DF．(2)求證：點(diǎn)C在∠BAD的平分線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）延長AD至點(diǎn)G，使得DG=BE，連接CG，利用四邊形內(nèi)角和，易證△BCE≌△DCGSAS，得到CG=CE，∠BCE=∠DCG，再證明△CEF≌△CGFSAS，得到（2）過點(diǎn)C作CN⊥AB、CM⊥AG，易證△CNE≌△CMGAAS，得到CN=CM【詳解】（1）證明：如圖，延長AD至點(diǎn)G，使得DG=BE，連接CG，

∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，且∠BCD=120°，∠A=60°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDG=180°，∴∠B=∠CDG，在△BCE和△DCG中，BC=CD∠B=∠CDG∴△BCE≌△DCGSAS∴CG=CE，∠BCE=∠DCG，∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD=∠ECG=120°，∵∠ECF=60°，∴∠FCG=∠ECG-∠ECF=60°，∴∠ECF=∠FCG，在△CEF和△CGF中，CE=CG∠ECF=∠FCG∴△CEF≌△CGFSAS∴EF=FG=DG+DE=BE+DE；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥AB交AB于點(diǎn)N，CM⊥AG交AG于點(diǎn)M，

∵△BCE≌△DCG，∴∠CEN=∠G，CE=CG在△CNE和△CMG中，∠CNE=∠CMG=90°∠CEN=∠G∴△CNE≌△CMGAAS∴CN=CM，∴點(diǎn)C在∠BAD的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．53．如圖，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于點(diǎn)P．(1)求∠APC的度數(shù)；(2)若AE=3，CD=4，求線段AC的長．【答案】(1)120°(2)7【分析】（1）先由∠ABC=60°，得到∠BAC+∠BCA=120°，然后由AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，進(jìn)而得到（2）在AC上截取AF=AE，連接PF，然后證明△AEP≌△AFP，從而得到∠EPA=∠FPA=∠DPC，然后由∠APC=120o得到∠DPC=60o，進(jìn)而得到∠DPC=∠FPC，可證△PCF≌△PCD，即可得到【詳解】（1）∵∠B∴∠BAC∵AD，CE分別平分∠BAC、∠ACB∴∠PAC=12∴∠PAC+∠PCA==∴∠APC==（2）在AC上截取AF=AE，連接PF∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2在△EAP和△FAP中AE=AF∴△AEP≌△AFP∴∠EPA=∠FPA=∠DPC∵∠APC=∴∠DPC=∴∠CPF=∴∠DPC=∠FPC又∵CE平分∠ACB∴∠ACE=∠BCE在△PCF和△PCD中∠DPC=∠FPC∴△PDC≌△PFC∴CF=CD∴AC=AF=AE=3=7【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．54．如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求證：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)105°【分析】（1）在CD上截取CF=CB，連接AF，證明△BCA≌△FCASAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAC=∠FAC，進(jìn)而證明△ADF≌△ADESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°，即可求解．【詳解】（1）解：在CD上截取CF=CB，連接AF．

∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠FCA．在△BCA和△FCA中，CB=CF∴△BCA≌△FCA∴AB=AF，∠BAC=∠FAC．又∵AB=AE，∴AF=AE．又∵∠CAD=1∴∠BAC+∠EAD=∠FAC+∠FAD，∴∠FAD=∠EAD．在△ADF和△ADE中，AF=AE∠FAD=∠EAD∴△ADF≌△ADE∴DE=DF．∴CD=CF+FD=BC+DE．（2）∵△BCA≌△FCA，∴∠B=∠CFA．∵△ADF≌△ADE，∴∠E=∠AFD．∴∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°．∴∠E=180°-∠B=180°-75°=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與怕那段是解題的關(guān)鍵．55．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E,F在邊AC上，BD=DF．

(1)如圖1，若∠C=90°，求證：△FCD≌△BED；(2)如圖2，求證：AB-AF=2EB．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DE，再證明Rt△（2）過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DG=DE，再證明Rt△FGD≌Rt△BED(HL)，得出FG=BE，證明【詳解】（1）證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，在Rt△FCD和DC=DEDF=DB∴Rt△（2）證明：過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，∵AD是角平分線，DE⊥AB，DG⊥AC，∴DG=DE，在Rt△FGD和DG=DEDF=DB∴Rt△∴FG=BE，在Rt△AGD和DG=DEAD=AD∴Rt△∴AG=AE，∴AB-AF=AB-=AB-=AB-AE+BE=BE+BE=2BE．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．56．如圖所示，已知直線OP平分∠AOB且PA=PB，求∠1與∠2之間的關(guān)系并說明理由．

【答案】∠1+∠2=180°，理由見解析【分析】如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥OB于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE=PF，通過證明Rt△AEP≌Rt△PFBHL，得出∠1=∠3【詳解】解：∠1+∠2=180°，理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥OB于點(diǎn)F，

∵直線OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，在Rt△AEP和PA=PB，PE=PF，∴Rt△AEP≌Rt△PFBHL∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．57．如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，若AC=20，BC=14，求DE的長．

【答案】DE的長為3．【分析】先添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用性質(zhì)求出AD=DF，最后用中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長AD，CB交于點(diǎn)F，

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°，在△ACD和△FCD中，∠ACD=∠FCDCD=CD∴△ACD≌△FCDASA∴AD=DF，AC=CF=20，∴BF=CF-BC=20-14=6，∵點(diǎn)D為AF中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴DE為△ABF的中位線，∴DF=1答：DE的長為3．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是延長CB交AD延長線于F，證明DE是△ABF的中位線．58．在四邊形ABCD中，AB//DC，點(diǎn)E是情景引入：（1）如圖1，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F，證明ΔAEB≌ΔFEC得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為AD=AB+DC，試證明該結(jié)論；問題探究：（2）如圖2，點(diǎn)F是DC的延長線上一點(diǎn)，連AF，若AE恰好是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析；（2）AB=AF+CF，理由見解析.【分析】（1）由“AAS”可證△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得結(jié)論；（2）延長AE交DF的延長線于點(diǎn)G，由“AAS”可證△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得結(jié)論.【詳解】解：（1）AD=AB+DC理由如下：∵AE是∠BAD的平分線∴∠DAE=∠BAE∵AB∥CD∴∠F=∠BAE∴∠DAF=∠F∴AD=DF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF∴△CEF≌△BEA（AAS）∴AB=CF∴AD=CD+CF=CD+AB（2）AB=AF+CF理由如下：如圖②，延長AE交DF的延長線于點(diǎn)G∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB=GC∵AE是∠BAF的平分線∴∠BAG=∠FAG，∵∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∵CG=CF+FG，∴AB=AF+CF【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．59．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．求證：

(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求證；（2）過點(diǎn)C作CA的垂線交AE延長線于點(diǎn)M，先證明△ACM≌△BADASA，得出AD=CM，BD=AM，則CM=CD，再證明△MCE≌△DCESAS，得出【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．（2）證明：過點(diǎn)C作CA的垂線交AE延長線于點(diǎn)M

∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD∴△ACM≌△BADASA∴AD=CM，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB∴△MCE≌△DCE∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°，直角三角形兩銳角互余，以及正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．60．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分線交AC于E，AD⊥BE于D，求證：AD=BE．【答案】見解析【詳解】試題分析：延長AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，證△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．解：如圖延長AD和BC交于F，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，∴∠ABC=45°=∠BAC，∴AC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACF=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBC，∵BD⊥AD，∴∠BCE=∠ADE=90°，∵∠BEC=∠AED，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：∠DAE=∠CBE，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE=AF，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD=DF，即AF=2AD，∴AD=AF，∴AD=BE．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．61．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D，交∠ABC的角平分線于E，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交AC于點(diǎn)F，求證：AF+BD=AB【答案】見解析【分析】延長EF，BC相交于點(diǎn)M，分別證明△AEB≌△MEB和△AEF≌△MED即可得解．【詳解】證明：延長EF，BC相交于點(diǎn)M，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠DEB=180°-135°=45°，∵AE⊥EF，∴∠MEB=∠MED+∠DEB=90°+45°=135°=∠AEB，在△AEB和△MEB中，∠AEB=∠MEBEB=EB∴△AEB≌△MEBASA∴∠EAB=∠M，AE=ME，AB=MB，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠EAB，∴∠FAE=∠M，在△AEF和△MED中，∠FAE=∠MAE=ME∴△AEF≌△MEDASA∴AF=MD，∴AF+BD=MD+BD=MB=AB．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線的定義，通過添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．62．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連接DF、(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)判斷此時(shí)線段DF、(2)如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD=2,AC=32，求CF的長以及△FBC中CF【答案】(1)DF=CF,DF⊥CF，理由見解析(2)成立，證明見解析(3)CF=5，△FBC中CF邊上的高的長為【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知BF=DF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°即可證明；（2）延長DF交BC于點(diǎn)G，先證明△DEF?△GBF，得到DE=GB,DF=GF，根據(jù)AD=DE，AB=BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（3）延長DF交BC于點(diǎn)H，先證明△DEF?△HBF，得到DE=BH,DF=FH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=32，可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．作EM⊥BC于點(diǎn)M，作BN⊥CF于點(diǎn)N，由勾股定理求出BE，得出BF，設(shè)CN=x，則FN=【詳解】（1）DF=CF,DF⊥CF，理由如下∵∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，∴DF=1∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90，∴DF=CF,DF⊥CF；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖2，延長DF交BC于點(diǎn)G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF．∵F為BE中點(diǎn)，∴EF=BF．∴△DEF?△GBF．∴DE=GB,DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB.∵AB=BC，∴CD=CG．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF，∴DF=CF,DF⊥CF；（3）延長DF交BC于點(diǎn)H，如圖3所示，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC,AD=DE,∠AED=∠ABC=45°，由旋轉(zhuǎn)可得，∠CAE=∠BAD，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE∴∠DEF=∠HBF∵F為BE中點(diǎn)，∴EF=BF．∴△DEF?△HBF．∴DE=HB．∵BC=AC=32∴AB=2∵AD=2，∴ED=BH=2，∴AH=4，在Rt△HAD中，由勾股定理得∴DF=1∴CF=5作EM⊥BC于點(diǎn)M，作BN⊥CF于點(diǎn)N，則CM=AE=2∴BM=BC+CM=52∴BE=3∴BF=1設(shè)CN=x，則FN=5在Rt△BCN和Rt△解得x=3∴BN=3即△FBC中CF邊上的高的長為95【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題目，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，及勾股定理的運(yùn)用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．63．【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，OP平分∠MON．點(diǎn)A為OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，延長AC交ON于點(diǎn)B，可根據(jù)ASA證明△AOC?△BOC，則AO=BO，AC=BC（即點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)）．【問題探究】如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上，試探究BE和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：【拓展延伸】如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠BDE=12∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，試探究BE【答案】【問題探究】CD=2BE，證明見解析；【拓展延伸】BE=1【問題探究】延長BE交CA延長線于F，證明△CEF≌△CEB（ASA），推出FE=BE【拓展延伸】過點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長線于點(diǎn)G，與AE相交于H，證明△BGH≌△DFHASA，推出BG=DF，再證明△BDE≌△GDEASA得到【詳解】問題探究：解：CD=2BE，理由如下：延長BE交CA延長線于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE=∠BCE，在△CEF和△CEB中，∠FCE=∠BCECE=CE∴△CEF≌△CEBASA∴FE=BE．，∵∠DAC=∠CEF=90°，∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，∴∠ACD=∠ABF，在△ACD和△ABF中，∠ACD=∠ABFAC=AB∴△ACD≌△ABFASA∴CD=BF，∴CD=2BE；拓展延伸：解：BE=1證明：過點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長線于點(diǎn)G，與AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°，∵∠EDB=1∴∠EDB=∠EDG=1∵BE⊥ED，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠BHD，∵∠EFB=∠HFD，∴∠EBF=∠HDF．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°．∵GD∥AC，∴∠GDB=∠C=45°，∴∠GDB=∠ABC=45°，∴BH=DH，在△BGH和△DFH中，∠HBG=∠HDFBH=DH∴△BGH≌△DFH∴BG=DF，在△BDE和△GDE中，∠BDE=∠GDEDE=DE∴△BDE≌△GDE∴BE=EG，∴BE=1【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．64．（1）如圖①，四邊形ABCD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，BC=CD，點(diǎn)E、F在線段AB、AD上且BE+DF=EF，若∠A=n°，求：∠ECF的度數(shù)；（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段AB、AD的延長線上，其余條件均不變，求：∠ECF的度數(shù)．

【答案】（