2022年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1.已知集合4=&|?-4xW0},8={x僅=2"-1,〃CN},則Ang=()

A.{3}B.{1,3}C.{1,3,4}D.{1,2,3,4}

2.設(shè)復(fù)數(shù)I-則L在復(fù)平面內(nèi)z的共枕復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=/+*，則/X-1)=()

A.-2B.0C.1D.2

XV

4.已知雙曲線的方程為一-工■=1,雙曲線的右頂點(diǎn)A到漸近線的距離為（）

412

A.1B.A/2C.V3D.2V3

5.“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺(tái)的直播間經(jīng)營化妝品和服裝

兩大類商品，2020年前三個(gè)季度，該直播間每個(gè)季度的收入都比上一季度的收入翻了一

番，其前三季度的收入情況如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍

第1頁共24頁

B.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

C.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

D.該直播間第三季度服裝收入高于前兩個(gè)季度的服裝收入之和

6.當(dāng)OVxV方時(shí)，函數(shù)f（x）=s；蕓x的最小值為（）

A.2B.2>/3C.4D.4舊

7.正方體A8CQ-4B1GO1中，P,Q,R分別是45,C\D\,A4i的中點(diǎn).那么過P,Q,

R三點(diǎn)的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

8.已知非零向量b,若向=戈聞，且之_1.@一28）,貝！與b的夾角為（）

7171n371

A?-B?-C?一D.—

6434

9.由直線x+2y-7=0上一點(diǎn)P引圓f+V-Zx+dy+ZuO的一條切線，切點(diǎn)為A,則|力|的

最小值為（）

A.2\/3B.V17C.2V5D.277

10.若4=歷3,b=lg5,c=logi26,則（）

A.a>b>cB.h>c>aC.c>h>aD.a>c>h

11.己知三棱柱ABC-481cl的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，4B=AC=A4i=2,ABAC

=120°,則球。的表面積是（）

16

A.4nB.-7TC.16TTD.20n

3

12.過拋物線E：^=2py（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線

111

上的一動(dòng)點(diǎn)，Q（1,2）.若7777+K=7則IPH+IPQI的最小值是（）

\AB\\CD\4

A.1B.2C.3D,4

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答,

第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

x-y>0

13.若x,y滿足約束條件x+y-2W0,則z=3x-4y的最小值為.

,y>0

14.曲線y=，在點(diǎn)（2,1）處的切線與直線y=ax+l垂直，則實(shí)數(shù)a=.

15.將函數(shù)/（x）=2sin（2x+芻的圖像向右平移<p個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

第2頁共24頁

則正數(shù)1p的最小值為.

16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且-。2）?（加。$8+反（64）

=abc,若a+b=2,則c的取值范圍為.

三、解答題（共5小題，滿分60分）

17.（12分）設(shè)｛斯｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛尻｝滿足勾=等，已知9ai，3a2,。3成

等差數(shù)列.

（1）求｛a”｝和｛尻｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和

第3頁共24頁

18.（12分）為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的

學(xué)生，教育部開展了招生改革工作一一強(qiáng)基計(jì)劃.現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對(duì)某高中學(xué)校學(xué)生對(duì)強(qiáng)基課

程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計(jì)劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，某機(jī)構(gòu)為研

究考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，從一次考試中隨機(jī)抽取11名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)

如表：

數(shù)學(xué)4665798999109116120123134140

成績(jī)X

物理505460636668700737680

成績(jī)y

（1）由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，

考生物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)這10組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x

的回歸直線方程，并估計(jì)缺考考生如果參加物理考試可能取得的成績(jī)；

（2）在這次物理強(qiáng)基課程的測(cè)試中，剔除缺考考生的物理成績(jī)后，剩余這10名學(xué)生物

理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.若采用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人，再

從這5人中抽取3人參加學(xué)校組織的關(guān)于強(qiáng)基計(jì)劃的訪談?wù){(diào)查，求抽出的學(xué)生中恰好有

一名女生的概率.

附：參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（xi,力），丫2），…，（X,”如）其回歸直線y=bx+a的

斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：仁巴簧罕?黃軍署，"歹一

bx.

參考數(shù)據(jù)：（剔除零分前）

2586

溫Xi溫xtyi-Xi

8326

1120660685861227260.31

上表中的用表示樣本中第i名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，》表示樣本中第i名考生的物理成績(jī).

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男生女生

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19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面ABCQ是矩形，B4_L平面A8CQ,AFLPB,

F為垂足.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上移動(dòng)時(shí)，判斷AAE尸是否為直角三角形，并說明理由；

（2）若辦=AB=2,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且PC_L3E時(shí)，求三棱錐尸-ADE的體積.

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20.（12分）已知橢圓E：務(wù)技=l（a>b〉O）的焦距為2c,左、右焦點(diǎn)分別是為，尸2，

V3

其禺心率為"y,圓&:（X+c）2+y2=1與圓尸2：（工一c）2+y2=9相交，兩圓交點(diǎn)在橢

圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過P（0,1）點(diǎn)且與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，若直線出與直線P8

的斜率之和為-2,證明：直線/過定點(diǎn).

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=/sinx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)(sinx-1)+/+/-。-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本題滿分10分）

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕:（a為參數(shù)）,

以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為&pcos（8-

J）=3.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（3,分直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，求||雨|-|P和的值.

第9頁共24頁

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=仇+旬+僅-臼.

(1)當(dāng)4=1,6=2時(shí)，求f(x)的最小值；

114

(2)若a,b均為正實(shí)數(shù)，且/(x)的最小值5,求證：-+

第10頁共24頁

2022年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知集合4=仄|?-4苫忘0},8={小=2〃-1,"CN},則AH8=()

A.{3}B.{1,3}C.{1,3,4}D.{1,2,3,4)

解：；4={x|0〈xW4},B={x\x=2n-nGN},

.,.AnB={l,3}.

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=[W，則在復(fù)平面內(nèi)z的共枕復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

I-L

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

冷忍-3+i(-3+i)(l+i)—4—2i

解：z=『=%T)&+J==-2o-

故2=-2+i,

故在復(fù)平面內(nèi)z的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，

故選:B.

3.已知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=/+3則/(-1)=()

A.-2B.0C.1D.2

解：???函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，公＞0時(shí)，/(%)=*+*

???/(-1)=-/⑴=-2,

故選：A.

X2V2

4.已知雙曲線的方程為一=1,雙曲線的右頂點(diǎn)A到漸近線的距離為()

412

A.1B.V2C.V3D.2V3

x2y2

解：雙曲線的方程為一--=1,雙曲線右頂點(diǎn)4(2,0),

412

雙曲線漸近線2封士2產(chǎn)0,

雙曲線右頂點(diǎn)A到雙曲線漸近線的距離為強(qiáng)匕=V3.

故選：C.

5.“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺(tái)的直播間經(jīng)營化妝品和服裝

兩大類商品，2020年前三個(gè)季度，該直播間每個(gè)季度的收入都比上一季度的收入翻了一

第11頁共24頁

B.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

C.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

D.該直播間第三季度服裝收入高于前兩個(gè)季度的服裝收入之和

解：對(duì)于4,?.?該直播間每個(gè)季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，

，第三季度的總收入是第一季度的2X2=4倍，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,設(shè)第一季度的總收入為〃，則第二季度的化妝品的收入為2aX20%=0.4",

第三季度的化妝品收入為4“X30%=1.2a,

二第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的絲="故B錯(cuò)誤；

1.2a3

對(duì)于C,第一季度的化妝品收入為aX10%=0.1a,

???第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的段=V，故c錯(cuò)誤；

1.2a12

對(duì)于。，第一、二季度服裝收入和為a+2a-0.1a-0.4a=2.5a,

第三季度服裝收入為4a-1.2a=2.8小故。正確.

故選：D.

6.當(dāng)OVxV獅，函數(shù)f（x）=2c*卷吟的最小值為（）

A.2B.2V3C.4D.473

解：當(dāng)OVxV齊寸，tan。。，

???函數(shù)不）==嚼g好=康+4.文康X4tanx=4,

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當(dāng)且僅當(dāng)taiu=4時(shí)，取等號(hào),

故了（X）的最小值為4,

故選：C.

1.正方體ABC。-AiBiCi。中，P,Q,R分別是45,C\D\,A4i的中點(diǎn).那么過P,Q,

R三點(diǎn)的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

解：如圖所示，過P,Q,R三點(diǎn)的截面圖形是六邊形PQMNSR,

故選：D.

8.已知非零向量a,b,若|a|=a|b|,且a1(；—2b),則a與b的夾角為()

7171Tl37r

A?一B,-C?一D.—

6434

解：Va1(a-2b),

—>—>T—>—>T

Aa-(a-2b)=a2—2a-b=0,

,-T2t-

Aa-b=今，且|a|=V2|b|,

t-a2

/.cos<a^b>=：[=~=<，且0W<a/b><n,

\a\\b\磔-

~~T~

——n

；.a與b的夾角為一.

4

故選：B.

9.由直線x+2y-7=0上一點(diǎn)產(chǎn)引圓/+），2-2x+4y+2=0的一條切線，切點(diǎn)為A,則附|的

最小值為（）

A.2V3B.717C.2V5D.2V7

解：根據(jù)題意，圓/+）2-〃+4>2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+2）2=3,

第13頁共24頁

則圓的圓心為(1,-2),半徑r=%,

設(shè)圓心為M,

貝I」|B4|2=|MP|2,?=|MPF-3,

則|MP|取得最小值時(shí)，I以|取得最小值，

且|MP|的最小值即M到直線x+2y-7=0的距離，|加尸幾小值=二=2y/s,

則1%|鼠小他=720^3=V17,

故選：B.

10.若〃=/"3,b=lg5,c=logi26,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

解：°；a=ln3>lne=1,h=lg5<lg[0=1,c=log]26Vlogi212=1,

^?a>b,a>c,

??-^5,log6log6

?^5=73^10=1+72^5)1|0§126=^122=1+72^6'

.,.構(gòu)造函數(shù)/(x)—]工=1-(x>0),

顯然函數(shù),f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XV0<log25<logi6，

/./(log25)<f(log26),即/g5Vlogi26,

.\a>c>b,

故選：D.

11.己知三棱柱45。-4田。的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，48=40=441=2,ZBAC

=120°,則球。的表面積是()

16

A.4nB.—nC.16iiD.20n

3

解：三棱柱ABC-48]。的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB=AC=AA\=2fZBAC=

120°,

如圖所示：

第14頁共24頁

A

設(shè)AASC為外接圓的圓心為D,

2R=麗心=4,所以R=2,

設(shè)外接球的球心為0,設(shè)球的半徑為r,

所以r=V/?24-0D2=V5,

故S球=4兀-（V5）2=207r.

故選：D.

12.過拋物線氏x1=2py（p>0）的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的弦A8,CD,設(shè)P為拋物線

上的一動(dòng)點(diǎn)，Q（1,2）.若二:+工=3則IPFI+IPQ的最小值是（）

\AB\\CD\4

A.1B.2C.3D.4

解：顯然直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線A3的斜率為公則直線A8的方程為了=

丘+芻，

聯(lián)立方程依+芻，消去），得：/-2p-p2=0,

lx2=2py

設(shè)A（xi，y\）,B（X2>y2）,

：?xi+x2=2pk,

+丫2=土（％1+%2）+P=2pk2+p,

由拋物線的性質(zhì)可知：\AB\^y\+yi+p=2plc+2p,

.,.直線CD的斜率為：—，

K

2

?I5I—C/1、2s2p「2P+2pk

??\CD\—2P（一~r）+2p=-2+2P=----2----，

Kkk

k2k2+l1

?_|1__1_____________1____+__________________

\CD\―2pk2+2p2p+2pk2~2p+2pk2~4，

第15頁共24頁

.?.2/H2pF=4+4必，

：.p=2,

二拋物線方程為：A2=4y,準(zhǔn)線方程為：y=-l,

設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線y=-1的距離為4,由拋物線的性質(zhì)可知：\PF]+\PQ\=d+\PQ\,

而當(dāng)QP垂直于x軸時(shí)，d+|PQ|的值最小，最小值為2+1=3,如圖所示：

.?.『P+IPQI的最小值為3,

故選：C.

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答,

第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

%-y>0

13.若x,y滿足約束條件x+y-2<0,則z=3x-4v的最小值為-1.

,y>0

解：由z=3x-4y,得丫=親一余作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域(陰影部分)，

平移直線尸全/由平移可知當(dāng)直線產(chǎn)看-泰

經(jīng)過點(diǎn)B(1,I)時(shí)，直線《的截距最大，此時(shí)z取得最小值，

將B的坐標(biāo)代入z=3x-4y=3-4=-1,

即目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最小值為-1.

故答案為：~1.

第16頁共24頁

14.曲線y=（在點(diǎn)（2,1）處的切線與直線y=or+l垂直，則實(shí)數(shù)。=2.

解:由y=看得速=―.,

所以曲線在點(diǎn)（2,1）處的切線斜率k=九=2=—發(fā)

因?yàn)榍芯€與直線y=or+l垂直，所以一±。=—1，

所以4=2.

故答案為：2.

15.將函數(shù)/（x）=2sin（2x+今的圖像向右平移叩個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

則正數(shù)＜p的最小值為—.

—12—

解：將函數(shù)/（x）=2s譏（2x+亨）的圖象向右平移＜p個(gè)單位，

得到y(tǒng)=2sin[2(x-<p)+jj=2sin(2x-2(p+j),

因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱,

所以-2(p+,='+&n，k&LtBp(p=--^2—k￡Z,

57r

當(dāng)％=-1時(shí)，正數(shù)cp取得最小值運(yùn).

5TT

故答案為：-

16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是mb,c,且（/+廿-C2）?（QCOSB+0COSA）

=abc,若a+b=2,則c的取值范圍為11,的

解：根據(jù)題意，八鉆。中,acosB+hcosA=ax一.——+/?x——=岑-=c

乙(XL乙L/C乙1

若(/+/-c2)e(^cosB4-/?cosA)=abc,則有a2+b2-2=ab,

則c°sC=5則C=E，

又由a+b=2.

第17頁共24頁

則c2=a2+Z>2-2ahcosC=a2+h2-ab=(a+h)2-3ah=4-3ab,

又由a+6=2,貝!!abW(------)2—1>

2

則c2^l,

則有c2L

又由c<a+b—2,

則c的取值范圍為U，2)；

故答案為：(1,2).

三、解答題(共5小題，滿分60分)

17.(12分)設(shè)｛斯｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛為｝滿足%=等，已知94”342,03成

等差數(shù)列.

(1)求｛〃〃｝和｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛慶｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

V9?i,3a2,“3成等差數(shù)列，

6a2=9ai+“3，

/.6q—9+q2,即q—3,故即=a-1q^1=3n-1,

，仇=號(hào)1=〃?3'L2(〃CN*)；

(2)由(1)知力=〃?3"?

.,.7^=lX3l+2X3°+3X31+*+(〃-l)>3"-3+w3n-2,

則3￡=lX30+2X3i+3X32+?+(n-1)-3n-2+?-3n-l,

兩式相減得一2〃=1x3-1+1x3°+1x32+1x33+-+1x3n~2-n-3n-1,

3"3")_展nl

：.-2Tn=3.-1=-1+(1-n)?3,

1n1.*

T=A+(---)-3n1(n￡N).

n1224

18.(12分)為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的

學(xué)生，教育部開展了招生改革工作一一強(qiáng)基計(jì)劃.現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對(duì)某高中學(xué)校學(xué)生對(duì)強(qiáng)基課

程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計(jì)劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，某機(jī)構(gòu)為研

究考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，從一次考試中隨機(jī)抽取11名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)

如表：

第18頁共24頁

數(shù)學(xué)4665798999109116120123134140

成績(jī)X

物理505460636668700737680

成績(jī)y

（1）由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，

考生物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)這10組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x

的回歸直線方程，并估計(jì)缺考考生如果參加物理考試可能取得的成績(jī)；

（2）在這次物理強(qiáng)基課程的測(cè)試中，剔除缺考考生的物理成績(jī)后，剩余這10名學(xué)生物

理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.若采用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人，再

從這5人中抽取3人參加學(xué)校組織的關(guān)于強(qiáng)基計(jì)劃的訪談?wù){(diào)查，求抽出的學(xué)生中恰好有

一名女生的概率.

附：參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）,（X2，"），（%n，y”）其回歸直線y=bx+a的

斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：b=X2‘「幻⑶，；力=-1，歹零,a=歹一

次=1區(qū)一元）x?-nx2

bx.

參考數(shù)據(jù)：（剔除零分前）

Xi=iXi哈%叫靖2586

8326

1120660685861227260.31

上表中的用表示樣本中第z名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，y表示樣本中第i名考生的物理成績(jī).

男生女生

解：（1）設(shè)根據(jù)剔除后數(shù)據(jù)建立的y關(guān)于無的回歸直線方程為y=bx+a,

220

剔除異常數(shù)據(jù)后的數(shù)學(xué)平均分為5=*型1Xi=騁-*12。=—^---=100,

第19頁共24頁

剔除異常數(shù)據(jù)后的物理平均分為歹=存著當(dāng)%=騁/匕=縹衛(wèi)=66,

又因?yàn)镋&iX?=溫xf-1202=122726-14400=108326,

68586—10x66x1002586

所以bX0.31,a=66-0.31X100=35,

108326-10X10028326

所以所求回歸直線方程為y=0.31%+35,

又物理缺考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?20,

所以估計(jì)其可能取得的物理成績(jī)?yōu)閥=0.31x120+35=72.2.

（2）由莖葉圖可知，男生有6人，女生有4人，采用分層抽樣的方法抽取5人，則男生

應(yīng)抽取3人，記這3名男生為“1,及，。3；女生應(yīng)抽取2人，記這2名女生為加，歷，

從這5人中隨機(jī)抽取3人一共有10種，分別為（“1，42，“3），（"1，?2>加），（ai,42,

。2），（4”43，4>1）>（"1，。3，歷），（。1，b\,62），（。2，。3，b\）,（?2>。3，人2），（。2，

b\,歷），（?3,6,仍），其中抽出的學(xué)生中恰好有一名女生包括6種情況，

所以所求事件的概率為二=0.6.

19.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面48c。是矩形，以_L平面4BCC,AF1.PB,

F為垂足.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段上移動(dòng)時(shí)，判斷△AEF是否為直角三角形，并說明理由；

（2）若出=AB=2,當(dāng)點(diǎn)E是3c的中點(diǎn)，且PC_L￡>E時(shí)，求三棱錐F-AQE的體積.

平面A8CQ,：.PA±BC,

第20頁共24頁

又；底面A8CD是矩形，：.ABVBC,ELPAC\AB=A,，BC_L平面抬B,

又AFu平面RW,J.BCLAF,

XVAF1PB,且尸8nBe=B,；.4F_L平面PBC,

又EFu平面PBC,J.AFA.EF,即N4PE=90°,

，當(dāng)點(diǎn)￡在線段BC上移動(dòng)時(shí)，△AEF是直角三角形.

（2）:%_L平面ABC。，OEu平面ABC。，

：.PALDE,XPC±DE,PAQPC=P,，。后,平面以。，

又ACu平面fi4C,：.DE±AC,：.ZEDC+ZDCA=90Q,又ABC。是矩形，

.?./A￡>C=NZ）CE=90°,AZEDC+ZD￡C=90°,:.NDCA=4DEC,

ADDC

△A￡>CsZ\￡）CE,—=—,

DCCE

又A8=OC=2,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，：.AD=BC=2V2,

又?..以，平面ABC￡>,取AB的中點(diǎn)何，連接尸M,

1

則有尸M=^PA=1,且FMUPA,

平面ABCQ,即用0為三棱錐F-AOE的高，

11

**.SA4DE=248xBC=2x2x2A/2=2/，

**?^F-ADE=WXS〉A(chǔ)DEXFM=Wx2^2x1=g.

2\[2

???三棱錐F-ADE的體積為三.

20.（12分）已知橢圓￡?冬+苴=l（Q〉b〉°）的焦距為2c，左、右焦點(diǎn)分別是為，尸2，

遮

其曷心率為三，圓尸1：（X+c）2+y2=1與圓尸2：（X-c）2+y2=9相交，兩圓交點(diǎn)在橢

圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過P（0,1）點(diǎn)且與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，若直線南與直線尸8

的斜率之和為-2,證明：直線/過定點(diǎn).

第21頁共24頁

解：（1）由題意，得。=：=苧，2Q=1+3,a2=b2+c2,

解得Q=2,b=1,c=V3,

x2

所以橢圓E的方程為7"+y2=1；

（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/：x=tf

由題可知/WO,且|r|V2,設(shè)4（如乒B(t,

V4-t2]J4-t2]

因?yàn)橹本€%,PB的斜率之和為-2,所以六一十—尸~=一2,

化簡(jiǎn)得，=1,所以直線/的方程為x=l.

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),

設(shè)A8方程為(相#1),A(xi，y\),B(%2，)2)，

N2_1

聯(lián)立|彳+'=1,消去y,化簡(jiǎn)得(4正+1)/+8切U+4〃/-4=O.

y=kx-\-m

8/cm4m2-4

所以％]+不=一工1%2

4必+14必+1

由題意，可得A=16（4必-川+1）>0,

因?yàn)橹本€山,P2的斜率之和為-2,

所以上1+上=_2即以i+zn-1+kx2+rn-l

%2%1x2

「廠山2匕10+0-1）（%1+%2）

所以----------------------=-2,所以(2A+2)xi%2+(6-1)(X1+X2)=0,

4m2—4-8km

所以(2k+2)?+(m-1)?=0(mW1),

4/C2+14必+1

化簡(jiǎn)整理得k=-tn-1,當(dāng)且僅當(dāng)△=1614(/w+l)2-W2+1]=16(3^2+8/n+5)>0時(shí),

所以直線AB的方程y=(--1)x-^-m,即y+\=(--1)(x-1).

故直線/過定點(diǎn)(1,-1).

綜上①②可得直線/過定點(diǎn)（1,-1）.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=/sinx.

(1)求函數(shù)fG)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)(sirix-1)+/+/-。-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)f(x)="(sinx+cosx)=VZe^sin(x+'),

令/(x)20,可得sin(x+J)20,

第22頁共24頁

所以2內(nèi)r4％+JW2/CTT+yr,keZ,

q

所以2/CTT—今W%工2/CTT+^攵EZ,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2也-12E+等，蛇Z；

(2)因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)>，(siar-