專題限時(shí)集訓(xùn)(七)用樣本估計(jì)總體[建議A、B組各用時(shí)：45分鐘][A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2016·山西考前模擬)某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)整理成頻率分布直方圖后，并將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來得到頻率分布折線圖(如圖7-7所示)，據(jù)此估計(jì)此次考試成績(jī)的眾數(shù)是()圖7-7A．100 B．110C．115 D．120C[分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115，故選C.]2．(2016·濟(jì)南模擬)某校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別是400,320,280.采用分層抽樣的方法抽取50人，參加學(xué)校舉行的社會(huì)主義核心價(jià)值觀知識(shí)競(jìng)賽，則樣本中高三年級(jí)的人數(shù)是()A．20 B．16C．15 D．14D[樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為eq\f(280,400＋320＋280)×50＝14.]3．(2016·青島模擬)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x50,500(單位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50個(gè)學(xué)生的體重，設(shè)這50個(gè)學(xué)生體重的平均數(shù)為x,中位數(shù)為y，則x1，x2，x3，…，x50,500這51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)分別與x，y比較，下列說法正確的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722030】A．平均數(shù)一定變大，中位數(shù)一定變大B．平均數(shù)一定變大，中位數(shù)可能不變C．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變D．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能變小B[顯然500大于這50個(gè)學(xué)生的平均體重，則這51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定增大，中位數(shù)可能增大也可能不變，故選B.]4．(2016·沈陽(yáng)模擬)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，現(xiàn)已將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖7-8)．若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為()圖7-8A．2 B．3C．4 D．5B[依題意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3∶2∶1，所以從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3.]5．(2016·鄭州模擬)某車間共有6名工人，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖7-9所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．從該車間6名工人中，任取2人，則至少有1名優(yōu)秀工人的概率為()圖7-9A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,9)C[依題意，平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(20＋60＋30＋7＋9＋1＋5,6)＝22，故優(yōu)秀工人只有2人，從中任取2人共有Ceq\o\al(2,6)＝15種情況，其中至少有1名優(yōu)秀工人的情況有Ceq\o\al(2,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9種，故至少有1名優(yōu)秀工人的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故選C.]二、填空題6．某中學(xué)共有女生2000人，為了了解學(xué)生體質(zhì)健康狀況，隨機(jī)抽取100名女生進(jìn)行體質(zhì)監(jiān)測(cè)，將她們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖7-10所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值為________；試估計(jì)該校體重在[55,70)的女生有________人．圖7-100．0241000[由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在樣本中，體重在[55,70)的女生的頻率為5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以該校體重在[55,70)的女生估計(jì)有2000×0.5＝1000人．]7.某校開展“愛我海西、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖7-11所示．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________．圖7-111[當(dāng)x≥4時(shí)，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91，∴x<4，∴eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋90,7)＝91，∴x＝1.]8．(2016·淄博模擬)從甲、乙兩種樹苗中各抽測(cè)了10株樹苗的高度，其莖葉圖如圖7-12.根據(jù)莖葉圖，樹苗的平均高度較高的是__________種樹苗，樹苗長(zhǎng)得整齊的是__________種樹苗．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722031】圖7-12乙甲[根據(jù)莖葉圖可知，甲種樹苗中的高度比較集中，則甲種樹苗比乙種樹苗長(zhǎng)得整齊；而通過計(jì)算可得，eq\x\to(x)甲＝27，eq\x\to(x)乙＝30，即乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度．]三、解答題9．(2016·泰安二模)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成如下六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如圖7-13所示的頻率分布直方圖．圖7-13(1)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生640名，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；(2)在抽取的40名學(xué)生中，若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．[解](1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，得a＝0.03.2分根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估計(jì)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為640×0.85＝544(人).6分(2)成績(jī)?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，成績(jī)?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，則記在[40,50)分?jǐn)?shù)段的兩名同學(xué)為A1，A2，在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的同學(xué)為B1，B2，B3，B4.若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則總的取法共有15種.8分如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10，則所取2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7種取法，所以所求概率為P＝eq\f(7,15).12分10．(2016·鄭州一模)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰．為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)闖紅燈，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：處罰金額x(單位：元)5101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)y50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率．(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少？(2)將先取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時(shí)就會(huì)改正行為；B類是其他市民．現(xiàn)對(duì)A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為B類市民的概率是多少．[解](1)設(shè)“當(dāng)罰金定為10元時(shí)，闖紅燈的市民改正行為”為事件A，2分則P(A)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5).4分所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，比不制定處罰，行人闖紅燈的概率會(huì)降低eq\f(1,5).6分(2)由題可知A類市民和B類市民各有40人，故分別從A類市民和B類市民中各抽出2人，設(shè)從A類市民中抽出的2人分別為A1，A2，從B類市民中抽出的2人分別為B1，B2.設(shè)“A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷”為事件M，8分則事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6種．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種．故事件M共有24種.10分設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類市民”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)．∴P(N)＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).12分[B組名校沖刺]一、選擇題1．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7-14所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m，n的比值eq\f(m,n)＝()圖7-14A．1 B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)C[由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是eq\f(32＋34,2)＝33，根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，可得m＝3，所以甲的平均數(shù)為eq\f(27＋33＋39,3)＝33，又由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，可得eq\f(20＋n＋32＋34＋38,4)＝33，解得n＝8，所以eq\f(m,n)＝eq\f(3,8)，故選C.]2．(2016·煙臺(tái)模擬)如圖7-15莖葉圖記錄了甲、乙兩位射箭運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)(單位：環(huán))，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為()圖7-15A．4 B．3C．2 D．1C[根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋90＋x)，解得x＝2，所以平均數(shù)為eq\x\to(x)＝90.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知乙的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，且乙成績(jī)的方差為s2＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.]3．為了了解某城市今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖7-16)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為120，則抽取的學(xué)生人數(shù)是()圖7-16A．240 B．280C．320 D．480D[由頻率分布直方圖知：學(xué)生的體重在65～75kg的頻率為(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，則學(xué)生的體重在50～65kg的頻率為1－0.25＝0.75.從左到右第2個(gè)小組的頻率為0.75×eq\f(2,6)＝0.25.所以抽取的學(xué)生人數(shù)是120÷0.25＝480,故選D.]4．3個(gè)老師對(duì)某學(xué)校高三三個(gè)班級(jí)各85人的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，已知甲班平均分為116.3分，乙班平均分為114.8分，丙班平均分為115.5分，成績(jī)分布直方圖如圖7-17，據(jù)此推斷高考中考生發(fā)揮差異較小的班級(jí)是()圖7-17A．甲 B．乙C．丙 D．無法判斷C[由于平均分相差不大，由直方圖知丙班中，學(xué)生成績(jī)主要集中在110～120區(qū)間上且平均分較高，其次是乙，分?jǐn)?shù)相對(duì)甲來說比較集中，相對(duì)丙而言相對(duì)分散．?dāng)?shù)據(jù)最分散的是甲班，雖然平均分較高，但學(xué)生兩極分化，彼此差距較大，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式和性質(zhì)知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的學(xué)生發(fā)揮差異較小．故選C.]二、填空題5．已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機(jī)按1～40編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個(gè)號(hào)碼．(1)若第1組抽出的號(hào)碼為2，則所有被抽出職工的號(hào)碼為________；(2)分別統(tǒng)計(jì)這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖7-18所示，則該樣本的方差為________．圖7-18(1)2,10,18,26,34(2)62[(1)分段間隔為eq\f(40,5)＝8，則所有被抽出職工的號(hào)碼為2,10,18,26,34.(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s2＝eq\f(1,5)[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如圖7-19是某個(gè)樣本的頻率分布直方圖，分組為[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，已知a，b，c成等差數(shù)列，且區(qū)間[130,140)與[140,150)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相差10，則區(qū)間[110,120)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為__________．圖7-1920[由頻率分布直方圖得[130,140)上的頻率為0.025×10＝0.25，[140,150)上的頻率為0.015×10＝0.15.設(shè)樣本容量為x，則由題意知0.25x－0.15x＝0.1x＝10，解得x＝100.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c.又10a＋10b＋10c＝1－0.25－0.15＝0.6?a＋b＋c＝0.06?3b＝0.06，解得b＝0.02.故區(qū)間[110,120)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10×0.020×100＝20.]三、解答題7．在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為5月1日至30日，評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按照5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖(如圖7-20所示)．已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數(shù)為12，請(qǐng)解答下列各題．圖7-20(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比？(2)哪組上交的作品數(shù)量最多？有多少件？(3)經(jīng)過評(píng)比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng)，問這兩組哪一組獲獎(jiǎng)率較高？[解](1)依題意可算出第三組的頻率為eq\f(4,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝eq\f(1,5)，設(shè)共