專題13利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題考點(diǎn)一利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間問(wèn)題（利用分類討論思想）考點(diǎn)二利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)問(wèn)題（利用分類討論思想）考點(diǎn)三利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何及函數(shù)綜合問(wèn)題考點(diǎn)一利用相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問(wèn)題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線從開(kāi)始以每秒的速度向上平行移動(dòng)，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為_(kāi)_________時(shí)，與相似．【答案】6或【分析】分別用t表示OP與OE的長(zhǎng)度，根據(jù)與都是直角，當(dāng)與相似時(shí)，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵動(dòng)直線從開(kāi)始以每秒的速度向上平行移動(dòng)，∴OE=tcm，根據(jù)與都是直角，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，綜上所述：當(dāng)t=6或時(shí)，與相似，故答案時(shí)：6或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)______秒時(shí)與相似．【答案】或##或【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，與相似，則,,,利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論：時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，與相似，則,,,∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；綜上所述：經(jīng)過(guò)或秒時(shí)，與相似，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，過(guò)點(diǎn)B作射線．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作交射線于F，G是中點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)與相似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，t的值為_(kāi)____________．【答案】3或##或3【分析】若與相似，分情況討論，則或，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如下圖：，是的中點(diǎn)，．點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，即，，解得：，，若與相似，則或，或，或故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想解決問(wèn)題．3．（2021·福建·古田縣玉田中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接BP，作點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），在動(dòng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，則使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值為_(kāi)____．【答案】或10【分析】①當(dāng)點(diǎn)在的上方，點(diǎn)到的距離為3，作于，延長(zhǎng)交于，連接、，則，，，四邊形是矩形，，證出，得出，求出，即可得出結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)在的下方，點(diǎn)到的距離為3，作的延長(zhǎng)線于，則，，，，證得，得出即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在的上方，點(diǎn)到的距離為3，作于，延長(zhǎng)交于，連接、，如圖1所示：則，，，四邊形是矩形，在中，，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，即，，；②當(dāng)點(diǎn)在的下方，點(diǎn)到的距離為3，作的延長(zhǎng)線于，如圖2所示：則，，，在中，，，，，，，，即，解得：，綜上所述，或10．故答案為：或10．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，通過(guò)作輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似．【答案】當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似【分析】由題意可知，當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似，根據(jù)相似的性質(zhì)，進(jìn)行分情況討論進(jìn)行計(jì)算求t值，注意t的取值范圍．【詳解】解：若以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似，則在中，或，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6），∴OA=8，OB=6，AB=10，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴AP=BQ=t，則AQ=10-t，①當(dāng)時(shí)，，則，∴，解得：（符合題意）；②當(dāng)，，則，∴，解得：（符合題意），綜上所述，當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似與一次函數(shù)的綜合，利用相似的性質(zhì)求值是本題解題的重點(diǎn)，同時(shí)需注意分情況討論．5．（2022·陜西·無(wú)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿著邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿著邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，的面積為？(2)當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】(1)3秒(2)3秒或秒【分析】（1）求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)PB、BQ的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△BPQ的面積為9cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．（1）解：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0≤t≤6），PB＝6?t，BQ＝2t，由題意得：＝PB·BQ＝（6?t）·2t＝＝9，解得：，答：當(dāng)移動(dòng)3秒時(shí)，△BPQ的面積為9cm2；（2）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，則，即，解得：，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，則，即，解得：，綜上，當(dāng)移動(dòng)3秒或秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，正確理解題意，列出方程或比例式是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧·燈塔市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠PAQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t；②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當(dāng)t為或時(shí)，△AQP與△AOB相似．（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AO于點(diǎn)E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當(dāng)t=2或3時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于難題．7．（2021·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點(diǎn)M，當(dāng)DM=2CM時(shí)，求此時(shí)t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，求出所有符合條件的t的值．【答案】(1)t=1或t=3(2)t=1或t=3或t=9或t=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）分四種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明全等或相似，求得BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解．（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵DM=2CM，∴DM=2，CM=1，∵四邊形AEFG是正方形，四邊形ABCD是矩形，∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，∴∠BAE=∠CEM，∴△ABE∽△ECM，∴，∴=，∴t=1或t=3；（2）分四種情況，1°當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，如圖，∵矩形ABCD，∴∠ABE=∠ECF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF=90°，AE=EF，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB=EC=3，∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=1；2°當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，如圖，∵AF時(shí)正方形AEFG的對(duì)角線，∴∠EAF=45°，∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE=45°=∠AEB，∴BE=AB=3，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=3；3°當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)FM=BE=x，則MC=4﹣3﹣x=1﹣x，∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，∴△FMC∽△ABC，∴，∴，解得：x=，即FM=BE=，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=；4°當(dāng)點(diǎn)F落在BD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)CE=a，則FM=BE=4+a，BM=7+a，∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，∴△FBM∽△DBC，∴，∴，解得a=5，∴BE=4+a=9，∵動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，∴t=9；故所有符合條件的t的值為t=1或t=3或t=9或t=．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，以動(dòng)點(diǎn)為背景考查了正方形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形，矩形的性質(zhì)，利用全等或相似求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而求解．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對(duì)一道習(xí)題的交流，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列對(duì)話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問(wèn)題：(1)寫(xiě)出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個(gè)錯(cuò)誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)＝，解答見(jiàn)解析(2)沒(méi)有進(jìn)行分類討論，見(jiàn)解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個(gè)錯(cuò)誤是沒(méi)有進(jìn)行分類討論，進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進(jìn)行計(jì)算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個(gè)錯(cuò)誤是沒(méi)有進(jìn)行分類討論，如圖，過(guò)點(diǎn)D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當(dāng)時(shí)，設(shè)AM=t，則AN=6-2t，則由得，解得：t=；第二種：當(dāng)時(shí)，則由，，解得：t=，綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時(shí)以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類討論．考點(diǎn)二利用相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)問(wèn)題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D、E為AC、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時(shí)CD的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依據(jù)△ADC′恰好為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，分別依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解，即可得到CD的長(zhǎng)．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，∠ADC'＝∠C，∴DC'CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：x是所列方程的解，∴CD；②如圖，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，∠＝90°，由折疊可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B與CE重合，∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝＝5，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴CD；綜上所述，CD的長(zhǎng)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)P在上，且，點(diǎn)Q是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與相似．【答案】2或8##8或2【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，，所以，解得；?dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，，所以，解得；故答案為?或8．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確進(jìn)行分類計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長(zhǎng)．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)∠CED=90°時(shí)，如圖1，過(guò)E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，如圖2，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，要分情況進(jìn)行討論；正確畫(huà)圖是關(guān)鍵，注意不要丟解．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時(shí)，CM=______．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，進(jìn)而證明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．4．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)與相似時(shí)，的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．【答案】1或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)，時(shí)，，此時(shí)；如圖2中，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，；分別求解即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)；如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題．5．（2021·河南·漯河市第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（1，0），點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q．若以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，則相應(yīng)的點(diǎn)P共有_____個(gè)．【答案】4【分析】設(shè)P（t，），由于∠PQO＝∠AOB，則根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△BAO，當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△ABO，然后分別解方程求出t，從而可判斷點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，設(shè)P（t，），∵PQ⊥x軸，∴∠PQO＝90°，∵∠PQO＝∠AOB，∴當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△BAO，即，則2t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）；當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△ABO，即，則t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，），∴以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，相應(yīng)的點(diǎn)P共有4個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了反比例函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=__________．【答案】2或8或5【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：DP＝5．綜上所述，DP的長(zhǎng)度是2或8或5．故答案為：2或8或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題例題：（2021·湖南永州·一模）如圖已知中，，，，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】在BC上取一點(diǎn)P，使CP=AP過(guò)B作BD⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．則△BDP∽△ACP，推出DP=BP，所以PA+PB=PA+DP=AD，設(shè)CP=a，則AP=3a，a2+42=（3a）2，即得a=，因此AP=3，BP=3-，DP=1-，求出PA+PB=3+1-=．【詳解】解：在BC上取一點(diǎn)P，使CP=AP，過(guò)B作BD⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D=∠C=90°∴△BDP∽△ACP，∴，即DP=BP，∴PA+PB=PA+DP=AD，設(shè)CP=a，則AP=3a，∴a2+42=（3a）2，∴a=，∴AP=3，∴BP=3-，DP=1-，∴PA+PB=3+1-=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，正確構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點(diǎn)P′在CD上，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，交CE于點(diǎn)G，∵M(jìn)N+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，

連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵M(jìn)F⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，

∵∠MOG=90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱在解決線段和最小的問(wèn)題，熟悉對(duì)稱點(diǎn)的運(yùn)用和畫(huà)法，知道何時(shí)線段和最小，會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇宿遷·三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為_(kāi)_________________．【答案】【分析】以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB交于點(diǎn)G，連接E1E延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)F，作BE2⊥E1F于點(diǎn)E2，由Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直線E1E上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BE2⊥E1F時(shí)，BE最短，即為BE2的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB交于點(diǎn)G，連接E1E延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)F，作BE2⊥E1F于點(diǎn)E2，連接CF，∵Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，∵D為AB上的動(dòng)點(diǎn)，∴E在直線E1E上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BE2⊥E1F時(shí)，BE最短，即為BE2的長(zhǎng)．在△AGC與△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F，點(diǎn)E1四點(diǎn)共圓，∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°角和45°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·西安濱河學(xué)校三模）如圖半徑為，為直徑，弦，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：半徑為，為直徑，，，，，，．，，，，．當(dāng)最大即為直徑時(shí)，最大，此時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是證明．4．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)構(gòu)造直角三角形（點(diǎn)A，B，C按順時(shí)針排列），使，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)是，連接DB，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】如圖，過(guò)作軸的垂線，過(guò)分別作且垂直于過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點(diǎn)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得在直線上運(yùn)動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作軸的垂線，過(guò)分別作且垂直于過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，垂足分別為，交軸于，與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)則而，∴，解得：，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小，∴∴的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)證明在直線上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E，已知AD＝3，AC＝5．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．(1)AB＝_______；當(dāng)x＝1時(shí)，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)連接BE，設(shè)△PBE的面積為S，求S的最小值．【答案】(1)4，(2)是定值，(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，證明，利用相似比求出；（2）利用，求出相似比是個(gè)定值即可；（3）將△PBE的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可．（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴．∵∴∴∴，，∴，∵M(jìn)N＝AD＝3，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為4，；（2）結(jié)論：的值為定值．理由如下：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖1所示：由PA＝x，可得．∴，，，∵△BMP∽△PNE，∴．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖2所示：同理得出．綜上所述：的值為定值．（3）在Rt△PBM中，，∵．∴，∴，∵0＜x＜5，∴時(shí)，S有最小值＝．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是：熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造三角形相似．本題還考查了二次函數(shù)求最值的問(wèn)題．考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何及函數(shù)綜合問(wèn)題例題：（2022·上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實(shí)驗(yàn)學(xué)校花園分校九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(3)當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)y＝﹣+x，定義域是0＜x＜(3)或【分析】（1）先由已知條件判斷出，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出＝，再由，可知，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出答案；（2）由，得＝＝，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作，垂足為點(diǎn)H，由可得出＝＝，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；另解：由x，根據(jù)＝，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（3）由，得＝，當(dāng)與相似時(shí)，只有兩種情形：或，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．（1）解：∴＝，∴＝＝．（2）解：由得＝，作，垂足為點(diǎn)H，∴＝＝．∴HE＝x．又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣+x．∵點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，∴∴，定義域是．另解：由得＝＝，∴×x＝x，∴×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣+x．定義域是．（3）解：由，得＝，∴PE＝x?＝x．當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：或（i）當(dāng)時(shí)，＝，∴＝．解得x＝．∴﹣x××5+×＝．（ii）當(dāng)時(shí)，同理可得x＝，y＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，找出圖形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵，在解（3）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連結(jié)DE、CD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）．(1)當(dāng)為何值時(shí)，△BDE與△ABC相似?(2)設(shè)△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)為秒或秒時(shí)，與相似(2)，(3)存在，當(dāng)t=，有CD⊥DE【分析】（1）設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，兩種情況分別證明Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，最后后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值即可；（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，先證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）先計(jì)算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t即可．（1）∵，，∴BC=5cm，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，，，①當(dāng)，即時(shí)，，，即，∴，②當(dāng)即時(shí)，，∴，即，∴，即當(dāng)為秒或秒時(shí)，與相似；（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，如圖，根據(jù)題意