章末梳理(1)集合中元素的三個(gè)特性：_確定性_、_無(wú)序性_、_互異性_.(2)集合的三種表示方法：_列舉法_、_描述法_、_圖示法_.(3)自然數(shù)集記作N_；正整數(shù)集記作N*或N＋_；整數(shù)集記作Z_；有理數(shù)集記作Q_；實(shí)數(shù)集記作R_.(4)A是B的子集記作_A?B(或B?A)_，A是B的真子集記作AB(或BA)．(5)由集合之間的基本關(guān)系推出的結(jié)論即A?A，若A?B，且B?C，則A?C．(6)并集A∪B＝{x|_x∈A，或x∈B_}；交集A∩B＝{x|_x∈A，且x∈B_}；補(bǔ)集?UA＝{x|_x∈U，且x?A_}．(7)如果p?q，那么p是q的_充分_條件，q是p的_必要_條件．如果p?q，那么p與q互為_(kāi)充要條件_.(8)全稱(chēng)量詞命題?x∈M，p(x)的否定：_?x∈M，?p(x)_；存在量詞命題?x∈M，p(x)的否定：_?x∈M，?p(x)_.核心素養(yǎng)一數(shù)學(xué)抽象考查方向集合的基本概念典例1(1)集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值是0或－eq\f(9,8)_.(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為－eq\f(3,2)_.[解析](1)由題意可知若集合M中只有一個(gè)元素，則方程ax2－3x－2＝0只有一個(gè)根．當(dāng)a＝0時(shí)，方程為－3x－2＝0，只有一個(gè)根x＝－eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－4×a×(－2)＝0，得a＝－eq\f(9,8).綜上所述，a的值是0或－eq\f(9,8).(2)因?yàn)?∈A，則m＋2＝3或2m2＋m＝3.當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時(shí)，m＋2＝2m2＋m，不符合題意，故舍去；當(dāng)2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－eq\f(3,2)，m＝1不合題意，若m＝－eq\f(3,2)，m＋2≠2m2＋m，滿(mǎn)足題意，故m＝－eq\f(3,2).[歸納提升]解決集合的概念問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件．當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清元素表示的意義是什么．(2)對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿(mǎn)足互異性．核心素養(yǎng)二數(shù)學(xué)運(yùn)算考查方向集合基本運(yùn)算典例2(1)設(shè)全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于(D)A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}(2)設(shè)集合A＝{－1,2,7}，B＝{x|x2－7x＋m＝0}，若A∩B＝{2}，則B＝(C)A．{2,－10} B．{2,0}C．{2,5} D．{2,10}[解析](1)因?yàn)閁＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}．(2)由題意知2是方程x2－7x＋m＝0的解，把x＝2代入方程得m＝10，因?yàn)閤2－7x＋10＝0的解為x＝2或x＝5，所以B＝{2,5}．故選C．[歸納提升]集合基本運(yùn)算的方法一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．考查方向利用集合運(yùn)算求參數(shù)典例3(1)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于(B)A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3(2)設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}C．{a|a≥0} D．{a|a≤0}[解析](1)由A∪B＝A知B?A，所以m＝3或m＝eq\r(m).當(dāng)m＝3時(shí)，A＝{1,3，eq\r(3)}，B＝{1,3}，滿(mǎn)足A∪B＝A；若m＝eq\r(m)，即m＝1或0，當(dāng)m＝1時(shí)，eq\r(m)＝1，不合題意，舍去，當(dāng)m＝0時(shí)，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，滿(mǎn)足A∪B＝A．(2)因?yàn)锳∩B＝?，所以0?B，且1?B，所以a≥1.[歸納提升]利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的范圍的注意點(diǎn)(1)要弄清楚集合運(yùn)算的結(jié)果或可能的結(jié)果，再根據(jù)其中的結(jié)果判定參數(shù)的值或范圍．(2)當(dāng)集合的運(yùn)算較為復(fù)雜時(shí)，要借助于數(shù)軸或Venn圖解決問(wèn)題．(3)注意參數(shù)的值或范圍應(yīng)該滿(mǎn)足集合中元素的互異性．核心素養(yǎng)三直觀想象考查方向集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用典例4已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范圍；(2)是否存在a，使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？[解析](1)因?yàn)锳＝{x|0≤x≤2}，所以?RA＝{x|x<0或x>2}．因?yàn)??RA)∪B＝R.(如圖)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2，))所以－1≤a≤0.即a的取值范圍是{a|－1≤a≤0}．(2)由(1)知當(dāng)(?RA)∪B＝R時(shí)，－1≤a≤0，則2≤a＋3≤3，所以A?B，這與A∩B＝?矛盾．即這樣的a不存在．[歸納提升]集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用的注意點(diǎn)(1)進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要看集合的組成，并且要對(duì)有的集合進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)涉及含字母的集合時(shí)，要注意該集合是否可能為空集．考查方向充分必要條件的判斷典例5設(shè)集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，則“a＝1”是“S?T”的_充分不必要_條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1時(shí)，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，則S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要條件．[歸納提升]充分(必要)條件是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)．要解決這個(gè)難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái)，看得見(jiàn)、想得通，才是最好的方法．本章使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋?zhuān)瑢?shí)踐證明效果較好．集合模型解釋如下：(1)A是B的充分條件，即A?B.(2)A是B的必要條件，即B?A．(3)A是B的充要條件，即A＝B.(4)A是B的既不充分也不必要條件，即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．核心素養(yǎng)四邏輯推理考查方向充分必要條件的判斷典例6設(shè)集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的_必要不充分_條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]條件p：x∈M或x∈P；結(jié)論q：x∈(P∩M)．若x∈M，則x不一定屬于P，即x不一定屬于P∩M，所以pq；若x∈(P∩M)，則x∈M且x∈P，所以q?p.綜上知，“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的必要不充分條件．[歸納提升]利用定義判斷充分必要條件的方法如果p?q，那么稱(chēng)p是q的充分條件，同時(shí)稱(chēng)q是p的必要條件．判斷時(shí)的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論．考查方向利用充分必要條件求參數(shù)的取值范圍典例7已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1，或x≥4}．(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，且A≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析](1)當(dāng)a＝3時(shí)，A＝{x|－1≤x≤5}，又B＝{x|x≤1，或x≥4}，A∩B＝{x|－1≤x≤1，或4≤x≤5}．(2)B＝{x|x≤1，或x≥4}，?RB＝{x|1＜x＜4}．由“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，得A?RB，又A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，A≠?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a≤2＋a，,2－a＞1，,2＋a＜4，))所以0≤a＜1，