江西省南昌市第十五中學2023年數學高一上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，，且，，則函數與函數在同一坐標系中的圖像可能是（）A. B.C. D.2．函數的零點一定位于下列哪個區(qū)間（）.A. B.C. D.3．已知函數的零點在區(qū)間內，則（）A.4 B.3C.2 D.14．若函數是偶函數，則的單調遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.5．冪函數在區(qū)間上單調遞增，且，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷6．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是A.①和② B.②和③C.③和④ D.②和④7．設集合，，則集合A. B.C. D.8．若，，，則（）A. B.C. D.9．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．在中，已知是延長線上一點，若，點為線段的中點，，則_________12．隨機抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進行問卷調查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數為______.13．若函數在區(qū)間內有最值，則的取值范圍為_______14．對于定義在區(qū)間上的兩個函數和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現在有兩個函數與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數與與在區(qū)間上是否“友好”15．某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價格就降低，則現在價格為8100元的筆記本電腦，12年后的價格將降為__________元三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知冪函數的圖象經過點（1）求的解析式；（2）設，（i）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增（ii）若在上恒成立，求t的取值范圍17．某淘寶商城在2017年前7個月的銷售額（單位：萬元）的數據如下表，已知與具有較好的線性關系.月份銷售額（1）求關于的線性回歸方程；（2）分析該淘寶商城2017年前7個月的銷售額的變化情況，并預測該商城8月份的銷售額.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.18．已知平面向量，，，且，.（1）求和：（2）若，，求向量與向量夾角的大小.19．設圓的圓心在軸上，并且過兩點.(1)求圓的方程；(2)設直線與圓交于兩點，那么以為直徑的圓能否經過原點，若能，請求出直線的方程；若不能，請說明理由.20．已知函數在區(qū)間上單調，當時，取得最大值5，當時，取得最小值-1.（1）求的解析式（2）當時，函數有8個零點，求實數的取值范圍21．已知圓與直線相切，圓心在直線上，且直線被圓截得的弦長為.（1）求圓的方程，并判斷圓與圓的位置關系；（2）若橫截距為-1且不與坐標軸垂直的直線與圓交于兩點，在軸上是否存在定點，使得，若存在，求出點坐標，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】結合指數函數、對數函數的圖象按和分類討論【詳解】對數函數定義域是，A錯；C中指數函數圖象，則，為減函數，C錯；BD中都有，則，因此為增函數，只有B符合故選：B2、C【解析】根據零點存在性定理可得結果.【詳解】因為函數的圖象連續(xù)不斷，且，，，，根據零點存在性定理可知函數的零點一定位于區(qū)間內.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握零點存在性定理是解題關鍵.3、B【解析】根據零點存在性定理即可判斷出零點所在的區(qū)間.【詳解】因為，，所以函數在區(qū)間內有零點，所以.故選：B.4、B【解析】利用函數是偶函數，可得，解出．再利用二次函數的單調性即可得出單調區(qū)間【詳解】解：函數是偶函數，，，化為，對于任意實數恒成立，，解得；，利用二次函數的單調性，可得其單調遞增區(qū)間為故選：B【點睛】本題考查函數的奇偶性和對稱性的應用，熟練掌握函數的奇偶性和二次函數的單調性是解題的關鍵.5、A【解析】由已知條件求出的值，則可得冪函數的解析式，再利用冪函數的性質判斷即可【詳解】由函數是冪函數，可得，解得或當時，；當時，因為函數在上是單調遞增函數，故又，所以，所以，則故選：A6、D【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題7、D【解析】并集由兩個集合所有元素組成，排除重復的元素，故選.8、A【解析】先變形，然后利用指數函數的性質比較大小即可【詳解】，因為在上為減函數，且，所以，所以，故選：A9、B【解析】根據指數函數的性質求的解集，由充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系即可.【詳解】由，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B10、A【解析】先考慮函數在上是增函數，再利用復合函數的單調性得出求解即可.【詳解】設函數在上是增函數，解得故選：A【點睛】本題主要考查了由復合函數的單調性求參數范圍，屬于中檔題.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】通過利用向量的三角形法則，以及向量共線，代入化簡即可得出【詳解】解：∵（）（），∴λ，∴故答案為【點睛】本題考查了向量共線定理、向量的三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12、3【解析】根據頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案【詳解】根據頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，在[50，60）年齡段抽取人數為【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質，以及頻率分布直方圖中概率的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題13、【解析】當函數取得最值時有，由此求得的值，根據列不等式組，解不等式組求得的取值范圍（含有），對賦值求得的具體范圍.【詳解】由于函數取最值時，，，即，又因為在區(qū)間內有最值.所以時，有解，所以，即，由得，當時，，當時，又，，所以的范圍為.【點睛】本小題主要考查三角函數最值的求法，考查不等式的解法，考查賦值法，屬于中檔題.14、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設存在實數，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側，又復合函數的單調性可得在區(qū)間上為減函數，從而，，所以，解得，所以當時，與與在區(qū)間上是“友好”的；當時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點睛】本題考查函數的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉化與化歸的思想、數學運算求解能力，是一道有一定難度的題.15、2400【解析】由題意直接利用指數冪的運算得到結果【詳解】12年后的價格可降為81002400元故答案為2400【點睛】本題考查了指數函數模型的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】（1）設，然后代點求解即可；（2）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范圍【小問1詳解】設，則，得，所以【小問2詳解】（i）由（1）得任取，，且，則因為，所以，，所以，即所以函數在上單調遞增（ii）由（i）知在單調遞增，所以在上，因為在上恒成立，所以，解得17、（1）；（2）預測該商城8月份的銷售額為126萬元.【解析】（1）根據表格中所給數據及平均數公式可求出與的值從而可得樣本中心點的坐標，求可得公式中所需數據，求出，再結合樣本中心點的性質可得，進而可得關于的回歸方程；（2）由（1）知，，故前個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加萬，將，代入（1）中的回歸方程，可預測該商城月份的銷售額..試題解析：（1）由所給數據計算得，，，，，.所求回歸方程為.（2）由（1）知，，故前7個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加10萬.將，代入（1）中的回歸方程，得.故預測該商城8月份的銷售額為126萬元.【方法點晴】本題主要考查線性回歸方程求法與實際應用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.18、（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據、得出，然后通過計算即可得出結果；（2）本題首先可根據題意得出以及，然后求出、以及的值，最后根據向量的數量積公式即可得出結果.【詳解】（1）因為，，，且，，所以，解得，故，.（2）因為，，所以，因為，，所以，，，，設與的夾角為，則，因為，所以，向量與向量的夾角為.【點睛】本題考查向量平行、向量垂直以及向量的數量積的相關性質，若、且，則，考查通過向量的數量積公式求向量的夾角，考查計算能力，是中檔題.19、(1)(2)或.【解析】（1）圓的圓心在的垂直平分線上，又的中點為，，∴的中垂線為.∵圓的圓心在軸上，∴圓的圓心為，因此，圓的半徑，（2）設M,N的中點為H，假如以為直徑的圓能過原點，則.，設是直線與圓的交點，將代入圓的方程得：.∴.∴的中點為.代入即可求得，解得.再檢驗即可試題解析：(1)∵圓的圓心在的垂直平分線上，又的中點為，，∴的中垂線為.∵圓的圓心在軸上，∴圓的圓心為，因此，圓的半徑，∴圓的方程為.(2)設是直線與圓的交點，將代入圓的方程得：.∴.∴的中點為.假如以為直徑的圓能過原點，則.∵圓心到直線的距離為，∴.∴，解得.經檢驗時，直線與圓均相交，∴的方程為或.點睛：直線和圓的方程的應用，直線和圓的位置關系，務必牢記d與r的大小關系對應的位置關系結論的理解.20、（1）；（2）.【解析】(1)由函數的最大值和最小值求出,由周期求出ω,由特殊點的坐標出φ的值,可得函數的解析式(2)等價于時,方程有個不同的解.即與有個不同交點,畫圖數形結合即可解得【詳解】(1)由題知,..又,即,的解析式為.(2)當時,函數有個零點,等價于時,方程有個不同的解.即與有個不同交點.由圖知必有,即.