第四章平差數學模型與最小二乘原理本章介紹觀測模型及其定解條件等相關概念，各種觀測模型的函數模型、隨機模型，函數模型的線性形式，定解模型的最小二乘準則和最小二乘估計。本章學習要點：1、測量平差概述2、函數模型3、函數模型的線性化4、測量平差的數學模型5、參數估計與最小二乘原理一、觀測模型測量工程因解決不同工程問題的需要，通常需構建相應的觀測模型。1、幾何模型：觀測系統(tǒng)僅由幾何量（如，長度、角度、高程、坐標等）構成的模型。2、物理模型：觀測系統(tǒng)僅由與時間概念有關的物理量（如，速度、加速度、應變等）構成的模型。3、綜合模型：觀測系統(tǒng)既包涵幾何量又包涵物理量構成的模型。4.1測量平差概述高程控制網(水準網或三角高程網)三角網(測角網、測邊網、邊角網)導線

(附合、閉合、導線網)二、觀測模型（幾何模型）的基本性質為了確定一個幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素（幾何量）的量值，只需知道其中部分元素的量值，其它元素可以通過它們的函數關系來確定。能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，簡稱必要元素；必要元素的個數用t來表示。必要元素為函數獨立量，簡稱獨立量。必要元素的個數t，只與幾何模型有關，與實際觀測量無關，一旦給定幾何模型，則其必要元素的個數t是唯一的，其類型不唯一。對任一幾何模型，必要元素t個量必須為函數獨立量，即t個必要元素之間必須不存在函數關系，亦即其中任一元素不能表達成其余（t-1）個元素的函數。必要元素如圖所示水準網：為確定待定點P1、P2、P3的高程，至少需確定3段高差元素。…

…

…必要元素數

t=3如：如圖所示三角網：為確定四邊形的形狀和大小，至少需確定5個幾何元素。1邊4角，如：4邊1角，如：3邊2角，如：必要元素數

t=52邊3角，如：5邊0角，如：必要元素不僅要考慮其個數，而且要考慮以它的類型。如圖所示閉合導線：為確定待定點P1、…、P5等5個點的坐標值，至少需確定10個幾何元素。必要元素數

t=10如：必要元素不僅要考慮其個數，而且要考慮以它的類型。如圖所示水準網中：選擇或，則函數獨立。若選擇或，則存在函數關系式及因此，以上兩組元素均不是函數獨立量。如圖所示三角網：必要元素數

t=5若選擇5個角元素，如：則存在以下關系式：因此，此5元素不是函數獨立量三、觀測模型（幾何模型）的必要起算數據確定幾何模型所必須具有的已知數據。1、水準網必要起算數據：一個已知點高程2、測角網必要起算數據

一個已知點坐標，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標。3、測邊網或邊角網必要起算數據一個已知點坐標，一個相鄰已知方位角。四、多余起算數據必要起算數據之外的起算數據多余起算數據數：2多余起算數據數：1

確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其數目用符號t表示。

（1）水準網必要觀測數據t=p-q-1必要觀測數總點數多余起算數據數

必要起算數據數

必要起算數據之外的起算數據

五、必要觀測及其數目的確定t=2p-q-4必要觀測數總點數多余起算數據數

必要起算數據數t=8-0-4＝4

（2）測角網必要觀測數據t=2p-q-3t=10-0-3＝7t=12-4-3＝7（3）測邊網或邊角網必要觀測數據五、多余觀測數及其數目的確定在測量工程中，為使一個幾何模型有定解，就必須進行觀測，以獲取部分幾何元素的量值。設在給定的幾何模型中，總共觀測了n個元素的量值，若觀測個數少于必要元素的個數，即n<t，顯然無法定解該模型，即出現了數據不足的情況。若僅觀測了t個獨立量，n=t，則可唯一地確定該模型。但由于它們都是獨立量，故不存在任何條件方程，在這種情況下，如果觀測結果中含有粗差甚至錯誤，都將無法發(fā)現。為了能及時發(fā)現粗差和錯誤，并提高測量成果的精度，就必須使n>t，則r=n-t稱為多余觀測數。多余觀測數在測量中又稱為幾何模型的“自由度”。必要觀測之外的觀測稱多余觀測，其數目用符號r表示,多余觀測數＝觀測總數－必要觀測數(r=n-t

)若僅觀測了，則無法求得P3點的高程。若僅觀測了，則無法求得P2點的高程。如圖所示水準網中：必要觀測不夠n<t必要元素數

t=3如圖所示三角網：若僅觀測了

：則無法求解：更無法求解：必要元素數

t=5必要觀測不夠n<t

例：下圖控制網分別按測角網、測邊網和邊角網觀測時，各自的必要觀測數與多余觀測數分別為多少？

解：按測角網觀測時

t=16－0－4＝12

r=25-12=13

按測邊網觀測時

t=16－0－3＝13

r=15-13=2

按邊角網觀測時

t=16－0－3＝13

r=39-13=26

七、測量平差的基本概念1、條件方程在一個幾何模型中，除了t個獨立量以外，若再增加一個量，則必然產生一個相應的函數關系式。測量中稱為條件方程式。一個幾何模型如果有r個多余觀測，就產生r個條件方程式。由于觀測值不可避免地存在觀測誤差，當n>t時，幾何模型中應該滿足的r=n-t個條件方程，因實際存在閉合差而并不滿足。如圖所示水準網中，若觀測：必要元素數

t=3可列出以下條件方程：若再增加觀測則增加條件方程于是：僅用觀測值組成條件方程，則有：

如圖所示三角形，要確定其形狀和大小，則t=3若觀測元素：若再增加觀測元素：則存在以下關系式：則增加條件方程：于是：僅用觀測值組成條件方程，則有：由于觀測不可避免地存在偶然誤差，如何調整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數，使其達到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數學模型，然后運用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優(yōu)的，最后計算和分析成果的精度。例如：

如何計算出的最優(yōu)估值，使得：便是平差計算的主要任務。描述觀測模型中元素的一組數學關系式稱為數學模型。由于觀測量是一種隨機變量，所以平差的數學模型同時包含函數模型和隨機模型兩種，在研究任何平差方法時須同時予以考慮。

4.2測量平差的數學模型

函數模型函數模型是描述觀測量與待求量間的數學函數關系的模型，是確定觀測模型中元素量值關系的模型。測量平差的目的就是為了最優(yōu)估計函數模型的未知量。對于給定的幾何觀測模型，可以有多種選取未知量的方式，建立不同形態(tài)的函數模型，由此產生了不同的平差方法。函數模型分為線性函數模型和非線性函數模型兩類。當函數模型為非線性形式時，總是將其用泰勒公式展開，并取其一次項化為線性形式。1、條件平差法對于給定的幾何觀測模型，設：于是，可以列出的獨立的條件方程式：觀測量總數為n必須觀測數為t多余觀測數為r=n-t

函數模型如圖所示水準網中，BM為已知高程點，P1、P2、P3為待求高程點，若觀測了水準網中6段高差，設其高差的真值分別為：?？闪谐鲆韵聴l件方程：多余觀測數為：

函數模型

函數模型將條件方程寫為矩陣的形式：觀測向量矩陣：觀測向量系數矩陣：常數向量矩陣：得條件方程：

函數模型對于條件方程，將真值以觀測值加改正數的形式代替，即令，得到條件方程的另一種形式,令，得。

（1）

（2）

（1）、（2）兩式均為條件平差的函數模型。

函數模型一般情況而言，有n個觀測值，t個必要觀測，則應列出r=n-t個條件方程。

函數模型條件方程必須線性無關。條件平差的自由度為r

如圖所示三角形，若觀測元素：則存在以下關系式：

函數模型多余觀測數為：

函數模型此時，觀測方程是非線性的形式，首先將非線性方程按臺勞公式張開，取至一次項，轉換成線性方程。按臺勞公式張開，取至一次項：

函數模型

函數模型

函數模型2、間接（參數）平差法一個幾何觀測模型，最多只能選出t個獨立量，模型中的所有量都一定可表達成所選t個獨立參數的函數。那么通過這t個獨立參數就能唯一地確定該幾何模型。選擇幾何模型中t個獨立量為平差參數，將每一個觀測量表達成所選參數的函數，即列出n個這種函數關系式，以此為平差的函數模型，稱為間接平差法，又稱為參數平差法。

函數模型如圖所示水準網中，選擇三點的高程作為參數。列出以下方程：

如圖所示三角形，，觀測量為：選取P點的坐標值

為參數，于是有：于是，可列出觀測量參數方程如下：

隨機模型平差計算的數學模型包括函數模型和隨機模型。

函數模型描述觀測量與待求量間的數學函數關系；

隨機模型描述觀測量及其相互間統(tǒng)計性質。對于以上幾種基本平差函數模型，最基本的數據都是觀測向量，進行平差計算時，除了建立其函數模型外，還要同時考慮到它的隨機模型，亦即觀測向量的協(xié)方差陣：式中D為L的協(xié)方差陣，Q為L的協(xié)因數陣，P為L的權陣，Q與P互為逆陣，為單位權方差。

隨機模型一般情況下，觀測向量的協(xié)方差陣D在平差前都是未知的，若按第二章中介紹的方法估計確定，則稱為先驗協(xié)方差。可通過平差計算求出其估值，然后求得D的估值：

隨機模型

4.3

參數故計與最小二乘原理平差問題是由于測量中進行了多余觀測而產生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對參數和觀測量（或Δ）作出某種估計，并評定其精度。所謂評定精度，就是對待估量的方差與協(xié)方差作出估計。所以，可統(tǒng)稱為對平差模型的參數進行估計。引言由多余觀測而產生的平差數學模型，都不可能直接獲得唯一解。一、參數估計及其最優(yōu)性質條件平差的函數模型

條件方程個數為r，而待估未知量Δ有n個，n>r，Δ不能唯一確定。

4.3

參數故計與最小二乘原理間接平差的函數模型

方程個數為n，待求參數和Δ共有t+n個，同樣，和Δ不能唯一確定。

4.3

參數故計與最小二乘原理測量平差中的參數估計，是要在眾多的解中，找出一個最為合理的解，作為平差參數的最終估計。為此，對最終估計值應該提出某種要求?？紤]平差所處理的是隨機觀測值，自然要求參數估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質。從而可對平差數學模型附加某種約束，實現滿足最優(yōu)性質的參數唯一解。這種約束是用某種準則實現的，其中最廣泛采用的準則是最小二乘原理。一、參數估計