大招6向量中的數(shù)形結(jié)合

大招總結(jié)

當(dāng)向量題中出現(xiàn)了多個向量的角度、模長等幾何量時，大部分題目可以根據(jù)幾

何

圖形找到對應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解問題可以起到事半功倍的效果，下面以

幾個例題來研究一下這種方法的便捷性.

典型例題

rr

例1.(2021-新高考II)已知向量1+b+】=0,向=1,憐卜同=2,則

r}}rrr

ab-c+ca=___

解方法1:由a+c=0得a-i-h=-c或a+c=-h或h+c=-a,

r1r

a+/7+c=0

：.(a+b)2=(-1)2或(1+1)2=(_人)2或(6+1)2=(工)2,

又Q向=1,葉忖=2,.,.5+25/=4,5+2抬=4,8+?1=1,

rf1rr1fr7ifrrfr9

:.a?b=——,a-c=——,b?c=——,:.ab+a?c+b?c=——.

2222

故答案為：一工

方法2:數(shù)形結(jié)合

根據(jù)題意畫出示意圖，OB=OC作平行四邊形，反向延長得到0A.

0B=0C=2,0A=l,0D=^

Prpprpii9

a-b+ca+b-c=——xl——x1+0D~-CD~=——

222

例2.設(shè)同=例=卜+方上0,那么a-b與b的夾角為()

A.30°

B.60°

C.120°

D.150"

解方法1:設(shè)a-b與b的夾角為0,

Q|a|=|^|=|a+Z>|^0,

.1.a2=b，=a2+b~+2ab

\a-b\=yj(a-b)2=y/3\b\,

3.2

(a-b)bab-b2-2V3

COS01

|a-b||b||a-b||b「言V

0啜的180°,.?.6=150°,故選D.

方法2:直接畫圖，有一個內(nèi)角120°的菱形，即可得出答案.

o

例3.已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量C滿足

(a-c)(b-c)=O,則|c|的最大值是()

A.1

B.2

C.V2

也

解：V(a-c)-(b-c)=0,/.(a-c)_L(b-c),

二如圖設(shè)OA=a,OB=b,連接AB,作以AB為直徑的圓，在圓上取C點,

連接OC,貝！IOC=c,.\OC\的最大值為該圓的直徑，則根據(jù)圖形及已知條件，此

時|。。|=正，即|c|的最大值為VL故選C.

例4.已知向量4b為單位向量，a.b1,向量c滿足a-c與b-c的夾角為

則|a-c|的最大值為()

2

4

5

D.2

解：ab=,向量a,b為單位向量，，lxlxcos〈a,b〉=g,.\〈a,b〉=(.設(shè)

rrrr

OA=a,OB=b,OC=c.向量c滿足a-c與b—c的夾角為一,，NACB=-.

66

由等邊三角形OAB,點。在AB外且ZACB為定值，可得C的軌跡是兩

段圓弧，ZACB是AB所對的圓周角.可知：當(dāng)AC是弧AB所在圓(上述

圓弧)的直徑時，|a-c|取得最大值\AC\,在中，由正弦定理可得：

AC=O~=2.;.|a-c|取得的最大值是2.故選D.

.71

自我檢測

1.若a,b,c均為單位向量，且ab=O,(a-c)-(b-c)?0,則|a+b-c|的最大

值為()

A.V2-1

B.1

C.V2

D.2

答案：

方法1:Va,b,c均為單位向量，JSLa-b=0,(a-c)-(b-c)?0,則ab-aebc+c?,,0,

c,(a+b)..1.[fuIa+b—c「=a~+b~+c~+2a，b-2a，c—2b,c=3—2c?(a+b)?3—2=1,

|a+b-c|的最大值為1,故選B.

方法2:直接畫圖，找出C點軌跡即可.軌跡是一段圓弧,最大值在端點1/和C處取得,

最小值在/處取得.

2.設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)±c,a±b,若|a|=l,則

|a|2+|b|2+|c|2的值是()

A.2

B.4

C.8

D.16

答案：

方法1::(a-b)_Lc,a_Lb,a+b+c=O,

(a-b)-c=a-c-bc=O,a-c=bc,

ab=0,/.<a-b=0,=>|c|2=(—a—b)2=2,

(a-b)?(a+b)=0,Ja|=|b|=1,

所以|a『+|b『+|c|2=4,故選B.

方法2:直接畫圖即可.|a|,|b|,|c|分別是

3.已知a,b是非零向量，且〈a,b〉=工，則向量p=—+—的模為（）

3|a||b|

A.V2

B.V3

C.2

D.3

答案：

方法1:令i=」-,j=q~，則我們易得i表示與向量a同向的單位向量，j表示與向量

|a||b|

b同向的單位向量，則|i|=|j|=l,〈i,j〉=g,則

P=|^j+|^=i+j,.1pl=|i+jl=J+l+2cos。=6故選B.

方法2:直接畫圖即可.兩個單位向量模長是1,夾角是60。，轉(zhuǎn)化為一個菱形,對角線

長度6.

4.已知向量a-(a+2b)=0,|a|=|b|=l,且|c-a-2b|=l,則|c|的最大值為()

A.G+1

B.4

C.V5+1

D.2

答案：

,?a(a+2b)=0,.\a2+2ab=0,即l+2ab=O,r.ab=-』.

2

cos<a,b)=上士-=a,b的夾角為120°.作向量OA=a,08=b,延長OB到D,

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