第41講橫空出世解析法，劍指兩界誰爭(zhēng)鋒

一、知識(shí)聚焦

數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象和反映,是數(shù)學(xué)的兩大基石,數(shù)形結(jié)合的思想方法，

即通過數(shù)形間的對(duì)應(yīng)與互助來研究問題并解決問題的思想方法，笛卡爾通過建立點(diǎn)與有序數(shù)

組的對(duì)稱實(shí)現(xiàn)了“位置的量化”，這是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)根本點(diǎn)，解析幾何的建立是數(shù)與形的

“戰(zhàn)略性”結(jié)合的標(biāo)志，其實(shí)質(zhì)就是用代數(shù)的方法研究幾何問題，以數(shù)輔形，以形助數(shù)表現(xiàn)

得相當(dāng)完美，數(shù)形結(jié)合不但使幾何學(xué)由于代數(shù)化而獲得了新的面貌和新的發(fā)展，而且給代數(shù)

提供了幾何模型，并借助于幾何的成果得到進(jìn)一步的發(fā)展.這便是“橫空出世解析法（坐標(biāo)法）,

劍指兩界（代數(shù)、幾何）誰爭(zhēng)鋒”.

解析法證題或解題的核心步驟是選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，采用便于推導(dǎo)的圖形（直線或圓錐

曲線）方程式，并密切注意幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1

在正方形力8?！ㄖ校^一個(gè)頂點(diǎn)。作對(duì)角線口的平行線?！耆羧?|明，且GF交邊

力。于點(diǎn)F,則|44與|/18有可能相等嗎?為什么？

解題策略本例的證明方法是解析法，其關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，坐標(biāo)系不同，證明

的過程當(dāng)然也不盡相同，最大的差別是計(jì)算或推導(dǎo)有難易之分，下面介紹兩種解法.

解法一以力為原點(diǎn)，對(duì)角線，。所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖41-1所

示，設(shè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)￡的坐標(biāo)分別為40,0）,a8-句，Q2a,0）,a）,

RXE,a).

".'\CE\-\AC\,(xE-2aJ=(2。)？，解得/=(2-

:x-2a_y

又CE=(-\[3a,a\,故直線8的方程為即x+Gy-2〃=0.

-百。a

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(號(hào),力)，AD=AAF,

??.(。,<7)=>1(號(hào),%)

于是有號(hào)=力，又點(diǎn)尸在亙線CF上，

故—2a-0,xF—(A/3-l)a,

即F((6-l)a,(6-l)a),

:.\AE'c=[(2-+cr=(8-4拘〃，

|”/=[(73-l)a]2+[(73_1)1=(8一4百)〃.

.■.IAEHAFI.IAE|和|AF|有可能相等.

解法二以。為原點(diǎn)，。。所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖41-2所示，設(shè)正方形的4個(gè)項(xiàng)點(diǎn)和點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為

D(O,O),C(a0),B(a,d),A(0,a),E(x￡,—x￡)

由|CEIHAC|得(左一a?+)=(缶彳.

x-ay

故直線的方土自為=

1+6-6-1

a

即(G—l)x+(若+l)y—(6—1)4=0,令x=0,WJ(V3+l)yF=(V3-l>.

.?.|AE|=|AF|,|AE|和|AF|有可能相等.

變式訓(xùn)練

給定任一銳角及高力”在/〃上任取一點(diǎn)2連接8。并延長(zhǎng)交力。于點(diǎn)￡連

接。。并延長(zhǎng)交46于點(diǎn)石證明:乙

核心例題2

如圖41-3所示，已知等腰梯形力8。。中，AB//CD,|/5|=\/

2|。4，點(diǎn)E分有向線段元所成的比為九雙曲線過CD,E

三點(diǎn)，且以48為焦點(diǎn).當(dāng)g狗比;時(shí)，求e的取值范闈=J\

圖41一3

解題策略解析法又稱坐標(biāo)法，其本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，

首先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后用代數(shù)方法求得結(jié)果，最后把代數(shù)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何

的結(jié)論，從而使問題得到解決.

運(yùn)用解析法的具體解題步驟總結(jié)如下：

⑴選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（是使問題解決簡(jiǎn)單化的關(guān)鍵）；

⑵設(shè)有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程；

（3）通過代數(shù)運(yùn)算求得結(jié)果，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

解:如圖41—4所示，以直線48為x軸，線段力8的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系，則軸.

雙曲線經(jīng)過GD,且以48為焦點(diǎn)，

??.C,。兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)4C,￡的坐標(biāo)分別為（—c,O）,（］,/z）（Xo，%）,其中

c=g|AB|為雙曲線的半焦距，6是梯形的高.

由線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得用=

設(shè)雙曲線方程為‘表■=1

3T扇

點(diǎn)C￡在雙曲線上，???3—T=I，

a~7b

川2

整理得上=邑e一1，①

C2(A-2)2Vh2

4(4+1)2(4+1)2

1.②

將①代入②，整理后得彳(4-44=1+2人

.-.2=1—^—,由題設(shè)2教以3,得2效1一1_3,解得J7效必M.

e2+2343e2+24

雙曲線離心率e的取值范圍為[近,J16].

變式訓(xùn)練在八43。中，如果a=10,c—Z>=6,證明:tanOcot^=’.

224

核心例題3

已知sina+sin〃=—,cosa+cos/?=-,求tan(a+￡)的值.

43

解題策略本題是三角函數(shù)求值，常規(guī)解法當(dāng)然可以通過對(duì)條件的三角恒等變形來實(shí)現(xiàn).

a+/7_3

24

如果把三角函數(shù)的求值問題置于平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用坐標(biāo)法并結(jié)合解析幾何知識(shí)來

處理，則別具一格，也充分說明解析法解題的廣泛性.

解:如圖41-5所示，不妨設(shè)0WaW￡W2〃，且點(diǎn)48的坐標(biāo)

分別是/(cosa,sina),

acos￡,sin⑶，則點(diǎn)46在f+4=l的圓上，連接力民若。

是的中點(diǎn)，由題設(shè)知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(」」).連接OC,于是OC

68

1AB,再連接。4,OB,則有4004=。，

圖41-5

乙。乙。。C=g(a+〃)-乃，

從而tan，土夕=tan/.DOC=—.

24

2tan…

24

故tan(a+0=；房［

T

1-tan.......-

2

變式訓(xùn)練1

已知sin