5.3立體幾何中的向量方法專題五內(nèi)容索引0102考情分析?備考定向高頻考點?探究突破03預測演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統(tǒng)計題型命題規(guī)律復習策略(2018全國Ⅰ,理18)

(2018全國Ⅱ,理20)(2018全國Ⅲ,理19) (2019全國Ⅰ,理18)(2019全國Ⅱ,理17) (2019全國Ⅲ,理19)(2020全國Ⅰ,理18) (2020全國Ⅱ,理20)(2020全國Ⅲ,理19) (2021全國乙,理18)(2021全國甲,理19) (2022全國乙,理18)(2022全國甲,理18)解答題求解立體幾何問題是高考的必考內(nèi)容,每套試卷必有立體幾何解答題,一般設2至3問,2問的較多,前一問較簡單,最后一問難度較大,而選用向量法可以降低解題難度,但增加了計算量.抓住考查的主要題目類型進行訓練,重點是利用向量知識證明空間的平行與垂直;利用向量知識求線線角、線面角、二面角的大小;利用向量知識求空間中的距離以及利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題.高頻考點?探究突破命題熱點一用空間向量證明空間的平行與垂直【思考】

如何用空間向量證明空間的平行與垂直?例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E為棱PC的中點.證明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.證明:

因為PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,所以以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),由E為PC的中點,得E(1,1,1).所以BE⊥DC.(2)因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA.因為AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,所以向量

=(1,0,0)為平面PAD的一個法向量,又因為BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.所以平面PCD⊥平面PAD.題后反思1.用空間向量證明空間中的平行關系:(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)設直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x,y,使v=xv1+yv2.(3)設直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.(4)設平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β

?u1∥u2.2.用空間向量證明空間中的垂直關系:(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0.(2)設直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β

?u1⊥u2?u1·u2=0.對點訓練1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在線段BB1上,且EB1=1,D,F,G分別為CC1,C1B1,C1A1的中點.求證:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.證明:

(1)以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.則點B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),設BA=a,則點A(a,0,0),即B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD.即B1D⊥EG,B1D⊥EF,又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.命題熱點二利用空間向量求空間角【思考】

如何用空間向量求空間角?例2已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?解:

∵四邊形AA1B1B為正方形,∴A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,∴A1B1⊥平面BB1C1C.又AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.又BB1⊥平面ABC,∴AB,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.取x=3,則y=1+λ,z=2-λ.∴m=(3,1+λ,2-λ)為平面DFE的一個法向量.題后反思用空間向量求空間角的方法:設直線l1,l2的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為n,m.對點訓練2(2022全國甲,理18)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.(1)求證:BD⊥PA;(2)求直線PD與平面PAB所成的角的正弦值.(1)證明:

∵PD⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PD⊥BD.如圖,取AB的中點E,連接DE.∴四邊形CDEB為平行四邊形,∴DE=CB=1.∴BD⊥AD.∵PD?平面PAD,AD?平面PAD,且PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD.又PA?平面PAD,∴BD⊥PA.(2)解:

由(1)知,PD,AD,BD兩兩垂直,以D為坐標原點,DA,DB,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設直線PD與平面PAB所成的角為θ,對點訓練3(2022廣西桂林、梧州一模)如圖,AB為圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C為圓周上一點,D為PC的中點,∠CBA=30°,AB=2PA.(1)求證:平面ABD⊥平面PBC;(2)若G為AD的中點,求二面角P-BC-G的余弦值.(1)證明:

因為AB為圓O的直徑,C為圓周上一點,所以AC⊥BC.因為PA垂直于圓O所在的平面,即PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又AD?平面PAC,所以BC⊥AD.因為AC⊥BC,∠CBA=30°,所以AB=2AC.又AB=2PA,所以PA=AC.又D為PC的中點,所以AD⊥PC.又PC∩BC=C,所以AD⊥平面PBC.又AD?平面ABD,所以平面ABD⊥平面PBC.(2)解:

如圖,以C為原點,CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系.令x=1,則y=0,z=-3,所以m=(1,0,-3)為平面GBC的一個法向量.命題熱點三用空間向量求空間中的距離【思考】

如何用空間向量求空間中的距離?例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方形,側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形,且側(cè)面PDC⊥底面ABCD,E為PC的中點.(1)求異面直線PA與DE所成角的余弦值;(2)求點D到平面PAB的距離.解:

如圖,取DC的中點O,連接PO,∵△PDC為正三角形,∴PO⊥DC.又側(cè)面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.如圖,建立空間直角坐標系.題后反思求空間中的距離的方法:(1)直線到平面的距離、兩平行平面間的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.(2)點P到平面α的距離d=

(其中n為平面α的法向量,M為平面α內(nèi)任一點).(3)設直線n的方向向量為n,直線n與異面直線a,b都垂直,A是直線a上任一點,B是直線b上任一點,則異面直線a,b的距離d=.對點訓練4(2022北京東城一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M為線段A1C1上一點.(1)求證:BM⊥AB1;(2)若直線AB1與平面BCM所成的角為,求點A1到平面BCM的距離.解:

(1)因為AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.又AB⊥AC,所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直.如圖,以A為原點,AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則點A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,1),設點M(0,a,1),a∈[0,1].預測演練?鞏固提升1.(2022廣西南寧一模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為面AA1B1B的中心,O1為面A1B1C1D1的中心,E為CD的中點,則異面直線AE與OO1所成角的余弦值為(

)B解析:

設正方體的棱長為2,如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,2.在棱長為1的正方體ABCD

-A1B1C1D1中,M,N分別為AA1,CC1的中點,O為底面ABCD的中心,點P在正方體的表面上運動,且滿足NP⊥MO,則下列說法正確的是(

)A.點P可以是棱BB1的中點B解析:

在正方體ABCD

-A1B1C1D1中,以點D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.由題意知,該正方體的棱長為1,M,N分別為AA1,CC1的中點,所以EF⊥OM,EN⊥OM,又EF∩EN=E,且EF?平面EFN,EN?平面EFN,所以OM⊥平面EFN,所以,為使NP⊥OM,必有點P∈平面EFN,又點P在正方體的表面上運動,所以點P的軌跡為正三角形EFN,除去點N,故C錯誤;因此點P不可能是棱BB1的中點,故A錯誤;3.在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=PC=1,PB=PD=,點E為線段PD上一點,且PE=2ED,則點P到平面ACE的距離為

.

解析:

如圖,連接BD,交AC于點O,連接OP,以OB,OC,OP所在直線分別為x4.

如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑