霍金斯-西蒙條件與索洛條件的經(jīng)濟解釋

在投入產(chǎn)出分析中，投入產(chǎn)出表的基本平衡關(guān)系的數(shù)學(xué)公式如下所示。AX+Y=XAX+Y=X式中,A為n階投入系數(shù)矩陣,元素aij是非負(為簡化說明,本文設(shè)aij>0)的投入系數(shù),其含義是j產(chǎn)品部門(以下簡稱部門)生產(chǎn)1個單位的總產(chǎn)出所投入(消耗)的i部門產(chǎn)出量;X為總產(chǎn)出向量;AX為中間產(chǎn)出向量;Y為最終需求向量。對于非負(元素不全為0,以下同)的最終需求Y,需要什么條件才具有正的均衡總產(chǎn)出X,即滿足上面平衡關(guān)系式的正值總產(chǎn)出,投入產(chǎn)出分析給出了兩個數(shù)學(xué)條件:霍金斯—西蒙(Hawkins-Simon)條件(以下簡稱H-S條件)和索洛(Solow)條件。本文擬對這兩個數(shù)學(xué)條件的經(jīng)濟內(nèi)涵作較深入的探討。一完全純產(chǎn)出的概念H-S條件指出,在投入產(chǎn)出體系中,對于非負的最終需求Y,具有正的均衡總產(chǎn)出X的充分必要條件是n階行列式|I-A|的各階主子式都大于0,即1-aij＞0?|1-aii-aij-aji1-ajj|,?。1?aij＞0?∣∣∣1?aii?aji?aij1?ajj∣∣∣,?。對這樣一個純數(shù)學(xué)的H-S條件,應(yīng)該作出怎樣的經(jīng)濟解釋呢?所謂經(jīng)濟解釋,就是說明該數(shù)學(xué)表達式的經(jīng)濟內(nèi)涵,揭示經(jīng)濟活動的作用機理。大多數(shù)投入產(chǎn)出分析的論著對|I-A|的1階主子式1-aii>0都有明確的經(jīng)濟解釋:任何部門生產(chǎn)1個單位的總產(chǎn)出所消耗的本部門產(chǎn)品必須小于1個單位(aii<1),否則該部門的生產(chǎn)沒有任何意義。稱1-aii為純產(chǎn)出系數(shù),它是i部門生產(chǎn)1個單位的總產(chǎn)出能夠提供給中間需求部門和最終需求部門使用的產(chǎn)出量。投入產(chǎn)出分析作為研究多部門經(jīng)濟聯(lián)系的理論與方法,一般將國民經(jīng)濟至少分為2個以上的部門,對純產(chǎn)出系數(shù)的經(jīng)濟解釋只是部分地說明了H-S條件的經(jīng)濟內(nèi)涵。一個國民經(jīng)濟系統(tǒng)對于非負的最終需求,如何才具有正的均衡總產(chǎn)出呢?循著純產(chǎn)出系數(shù)大于0的思路,可以這樣設(shè)想:如果國民經(jīng)濟每一個部門生產(chǎn)的任意數(shù)量(大于0)的總產(chǎn)出不僅大于由此帶來的對該部門產(chǎn)品的直接消耗,而且恒大于由此帶來的對該部門產(chǎn)品的直接和間接的消耗之和,國民經(jīng)濟各部門就可以生產(chǎn)出適量的總產(chǎn)出(均衡解)來滿足非負的最終需求(不要求考慮基本生產(chǎn)要素投入的制約,以下同);反之,如果有的部門總產(chǎn)出小于由此帶來的對該部門產(chǎn)品的直接和間接的消耗之和,則該部門無論生產(chǎn)多少也無法提供最終產(chǎn)品。為進一步說明這個作用機理,我們定義幾個概念:稱任意數(shù)量的總產(chǎn)出帶來的直接和間接的消耗之和為對應(yīng)(該部門某總產(chǎn)出量)的最低需求量,稱總產(chǎn)出量與對應(yīng)的最低需求量之差為對應(yīng)(該部門某總產(chǎn)出量)的完全純產(chǎn)出,稱由此誘發(fā)的其他各部門的總產(chǎn)出(只滿足中間需求,最終產(chǎn)品為0)為對應(yīng)(該部門某總產(chǎn)出量)的最低產(chǎn)出量;由于投入產(chǎn)出體系是線性體系,稱對應(yīng)該部門1個單位總產(chǎn)出量的最低需求量為基準(zhǔn)最低需求量,稱對應(yīng)該部門1個單位總產(chǎn)出量的完全純產(chǎn)出為完全純產(chǎn)出系數(shù),稱對應(yīng)該部門1個單位總產(chǎn)出量的最低產(chǎn)出量為基準(zhǔn)最低產(chǎn)出量。根據(jù)投入產(chǎn)出分析的原理和上述定義,第i部門生產(chǎn)1個單位總產(chǎn)出對本部門產(chǎn)品的直接消耗是aii,對本部門產(chǎn)品的間接消耗是由此誘發(fā)的其他部門生產(chǎn)基準(zhǔn)最低產(chǎn)出量(X′j)的過程中消耗的第i部門產(chǎn)品,其數(shù)量為nΣj≠iaijX′jΣj≠inaijX′j,直接消耗加上間接消耗(aii+nΣj≠iaijX′j)(aii+Σj≠inaijX′j)是第i部門的基準(zhǔn)最低需求量,1個單位總產(chǎn)出減去基準(zhǔn)最低需求量[1-(aii+nΣj≠iaijX′j)=y′i]是第i部門的完全純產(chǎn)出系數(shù)。相對純產(chǎn)出系數(shù)(1-aii)只是站在部門的角度來反映該部門由生產(chǎn)技術(shù)決定的實物供給能力,完全純產(chǎn)出系數(shù)y′i則是站在整個國民經(jīng)濟角度來全面衡量該部門由生產(chǎn)技術(shù)決定的實物供給能力,因而能說明更深層次的問題。運用完全純產(chǎn)出的概念,可以將前面所述的國民經(jīng)濟運行的基本條件簡明地概括為:國民經(jīng)濟每一部門對應(yīng)(該部門)任意正的總產(chǎn)出的完全純產(chǎn)出大于0,即國民經(jīng)濟所有部門的完全純產(chǎn)出恒大于0。為證明國民經(jīng)濟各部門的完全純產(chǎn)出恒大于0是H-S條件的經(jīng)濟內(nèi)涵,我們設(shè)計一個特殊的投入產(chǎn)出體系。不失一般性,設(shè)第1部門任意正的總產(chǎn)出量X·1,其他各部門的總產(chǎn)出只滿足中間需求,不提供最終產(chǎn)品,相應(yīng)的投入產(chǎn)出表如表1:表的平衡關(guān)系如下:a11X?1+nΣj=2a1jXj+y1=X?1(X?1＞0)(1)ai1X?1+nΣj=2aijXj=Xi(i=2,3,?,n)(2)通過這個投入產(chǎn)出體系,我們來證明H-S條件是國民經(jīng)濟各部門的完全純產(chǎn)出恒大于0的充分必要條件。必要性證明。如果這個體系的所有部門的完全純產(chǎn)出恒大于0,則a11X?1+nΣj=2a1jXj為第1部門對應(yīng)總產(chǎn)出量X·1的最低需求量,y1為第1部門的完全純產(chǎn)出且恒大于0,即X·1在正值空間取任何值,都有y1＞0X2,…,Xn為其他各部門對應(yīng)第1部門總產(chǎn)出量X·1的最低產(chǎn)出量,且Xi＞0(i=2,3,?,n)這就是H-S條件里由非負的最終需求和正的總產(chǎn)出組成的體系。由于能夠通過行和列的相同變換將任一部門調(diào)為第1部門,上述體系具有一般性,這就證明了所有部門的完全純產(chǎn)出恒大于0必然滿足H-S條件。充分性證明。如果這個體系滿足H-S條件,式(2)可以視為是n-1階的投入產(chǎn)出體系,對于非負的ai1X·1,有Xi＞0(i=2,3,?,n)則y1為第1部門的純產(chǎn)出。將式(2)改寫成(1-a22)X2-a23X3?-a2nXn=a21X?1-a32X2+(1-a33)X3-?-a3nXn=a31X?1????-an2X2-an3X3?+(1-ann)Xn=an1X?1根據(jù)克萊姆法則有Xj=Dj/D(j=2,3,?,n)(3)其中行列式D=|1-a22-a23?-a2n-a321-a33?-a3n????-an2-an3?1-ann|D2=|a21X?1-a23?-a2na31X?11-a33?-a3n????an1X?1-an3?1-ann|=X?1D′2??。將式(1)變形并將式(3)代入y1=(1-a11)X?1-(a12D′2+a13D′3+?+a1nD′n)X?1/D整理得y1=[(1-a11)D-(a12D′2+a13D′3+?+a1nD′n)]X?1/D(4)觀察式(4),右式中括號里的值等于n階行列式|I-A|,即將|Ι-A|=|1-a11-a12-a13?-a1n-a211-a22-a23?-a2n-a31-a321-a33?-a3n?????-an1-an2-an3?1-ann|按第一行展開。于是式(4)變?yōu)閥1=X?1|Ι-A|/D(5)根據(jù)H-S條件|Ι-A|＞0?D＞0只要X·1在正值空間,y1就大于0,即第1部門的完全純產(chǎn)出恒大于0。由于上述體系具有一般性,這就證明了只要投入產(chǎn)出體系滿足H-S條件,任一部門的完全純產(chǎn)出都恒大于0。通過上述證明,可以得出國民經(jīng)濟所有部門的完全純產(chǎn)出恒大于0就是H-S條件的經(jīng)濟內(nèi)涵的結(jié)論。當(dāng)X?1=1有完全純產(chǎn)出系數(shù)y′1=|Ι-A|/D＞0(6)式(5)表明完全純產(chǎn)出是對應(yīng)總產(chǎn)出的齊次線性函數(shù),這是我們稱y′1為完全純產(chǎn)出系數(shù)的原因;式(6)給出了完全純產(chǎn)出系數(shù)的計算公式。二投入產(chǎn)出體系的h-s條件和索洛條件特征投入產(chǎn)出表的每一行表明每個部門生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)出到中間使用部門和最終使用部門的情況。如果某個部門的完全純產(chǎn)出小于0,意味著該部門的總產(chǎn)出恒小于中間使用合計量,生產(chǎn)越多,其產(chǎn)品在國民經(jīng)濟中的缺口越大,因而該部門沒有存在的意義。要求任何部門的完全純產(chǎn)出必須恒大于0,從投入產(chǎn)出表來看,是通過橫行的實物運動從技術(shù)角度規(guī)定了一個部門成立的條件。如果用貨幣單位計量,投入產(chǎn)出表的每一列表明每個部門在生產(chǎn)中的價值形成過程,因此在投入產(chǎn)出分析中,我們還可以通過縱列的價值運動從經(jīng)濟角度來規(guī)定一個部門成立的條件,這就是投入產(chǎn)出分析中的索洛(Solow)條件:如果1-nΣi=1aij＞0(j=1,2,?,n)則對于非負的最終需求Y,具有正的均衡總產(chǎn)出X。nΣi=1aij為j部門的轉(zhuǎn)移價值(抽象折舊,以下同)系數(shù),1-nΣi=1aij為j部門的增加值系數(shù),索洛條件可以簡述為:國民經(jīng)濟各部門的增加值(系數(shù))大于0。索洛條件的經(jīng)濟含義顯而易見:任何部門在生產(chǎn)中所消耗的各部門產(chǎn)品的價值量之和必須小于其總產(chǎn)值。因為任何部門的生產(chǎn)除了需要投入各部門的產(chǎn)品(中間投入)外,還要投入基本生產(chǎn)要素如資本、勞動等等(最初投入),如果國民經(jīng)濟各部門的總產(chǎn)值除了能補償中間投入的價值量,還有剩余來補償最初投入的價值量,國民經(jīng)濟各部門就可以生產(chǎn)出適量的總產(chǎn)出來滿足非負的最終需求。索洛條件雖只是投入產(chǎn)出模型有正值均衡解的充分條件,但它表明了這樣一個事實:如果某個部門的總產(chǎn)值連中間投入價值都不能補償,該部門就處在絕對虧損的境地,其生產(chǎn)難以為繼。無論什么樣的經(jīng)濟體制,都要求各部門滿足索洛條件以保持國民經(jīng)濟的順利運轉(zhuǎn)。H-S條件是各部門實物運動的規(guī)定性,索洛條件是各部門價值運動的規(guī)定性。將這兩個>條件結(jié)合在一起,可以更深刻地反映經(jīng)濟運動的某些本質(zhì)。1.H-S條件和索洛條件共同規(guī)定了國民經(jīng)濟各部門之間轉(zhuǎn)移價值補償和中間產(chǎn)品替換相統(tǒng)一的必要條件,補充和發(fā)展了馬克思關(guān)于社會再生產(chǎn)二大部類產(chǎn)品價值補償和實物替換的理論。馬克思的社會再生產(chǎn)理論,將社會再生產(chǎn)運動歸結(jié)為實物替換和價值補償?shù)慕y(tǒng)一,重點研究了第I部類產(chǎn)品的勞動力補償價值與剩余價值之和與第Ⅱ部類產(chǎn)品的轉(zhuǎn)移價值的數(shù)量關(guān)系,由此得到簡單再生產(chǎn)的平衡條件和擴大再生產(chǎn)的必要條件。投入產(chǎn)出分析按產(chǎn)品劃分部門,各部門既可生產(chǎn)生產(chǎn)資料,也可生產(chǎn)消費資料,無需將國民經(jīng)濟各部門抽象為二大部類。投入產(chǎn)出表中第I象限中的一行反映一個部門向國民經(jīng)濟各部門提供中間產(chǎn)品的狀況,對應(yīng)列反映了該部門消耗各部門的中間產(chǎn)品的狀況,行和列結(jié)合,反映了該部門與國民經(jīng)濟各部門相互交換勞動資料的狀況,因此投入產(chǎn)出表的第I象限反映了國民經(jīng)濟各部門之間轉(zhuǎn)移價值的實物替換狀況,這其實是馬克思社會再生產(chǎn)理論中第I部類內(nèi)部轉(zhuǎn)移價值的實物替換問題。投入產(chǎn)出體系的H-S條件從技術(shù)的角度規(guī)定了各部門之間實物替換得到價值補償?shù)谋匾獥l件——每一部門的總產(chǎn)出必須能夠滿足各部門最低限度的中間使用(各部門的轉(zhuǎn)移價值),且還有最終產(chǎn)品;投入產(chǎn)出體系的索洛條件從經(jīng)濟的角度規(guī)定了各部門之間實物替換得到價值補償?shù)谋匾獥l件——每一部門的總產(chǎn)值必須能夠補償各部門投入的價值之和(本部門的轉(zhuǎn)移價值),且還有增加值。稱其為必要條件,是因為