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RJA7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義【目標(biāo)認(rèn)知】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義1.了解復(fù)數(shù)三角表示乘、除運(yùn)算的運(yùn)算法則,并能夠進(jìn)行簡單的運(yùn)算.2.了解復(fù)數(shù)三角表示的幾何意義,并能夠進(jìn)行簡單的應(yīng)用知識點(diǎn)一

復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算及其幾何意義1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算如果z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=

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這就是說,兩個復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]課前預(yù)習(xí)

θ2|θ2|r2課前預(yù)習(xí)圖7-3-2

×課前預(yù)習(xí)√[解析]∵z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2-isinθ2)=r2[cos(-θ2)+isin(-θ2)],∴z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

課前預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)θ2|θ2|圖7-3-3

課前預(yù)習(xí)√√1.兩個復(fù)數(shù)相乘,積的模等于模的積,輻角為兩輻角之和,其幾何意義是模的伸縮及對應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn).當(dāng)推廣到n個復(fù)數(shù)相乘的時(shí)候,可得z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…θn)-isin(θ1+θ2+…θn)],特別地,復(fù)數(shù)的n次冪的模等于這個復(fù)數(shù)的模的n次冪,它的輻角等于這個復(fù)數(shù)的輻角的n倍,這個定理就是棣莫弗定理.備課素材2.兩個復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差,其幾何意義是模的伸縮及對應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn).3.利用復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義,可解決向量或圖形的旋轉(zhuǎn)問題,如等腰、等邊三角形、直角三角形、平行四邊形頂點(diǎn)間的幾何關(guān)系都可利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算來表示.4.復(fù)數(shù)三角形式較之代數(shù)形式,在乘除運(yùn)算中非常方便,可順利解決多項(xiàng)相乘(乘方),相除及乘除混合運(yùn)算等問題.備課素材

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[素養(yǎng)小結(jié)]對于兩個(或多個)復(fù)數(shù)相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用乘法運(yùn)算法則.

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[素養(yǎng)小結(jié)]對于兩個復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用除法運(yùn)算法則.對于運(yùn)算結(jié)果,當(dāng)不要求把結(jié)果化為代數(shù)形式時(shí),也可以用三角形式表示.課中探究

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1-i

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圖7-3-4

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1.復(fù)數(shù)模的性質(zhì):|z1·z2|=|z1|·|z2|.2.輻角的性質(zhì):積的輻角等于各因數(shù)輻角的和;商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差;一個復(fù)數(shù)n次冪(n∈N*)的輻角等于這個復(fù)數(shù)輻角的n倍.注意:(1)輻角與輻角的主值的區(qū)別,特別是解題過程中的不同點(diǎn).如下面兩個問題:若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值.(α+β∈(3π,4π)),若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值.備課素材(2)兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角的主值不一定等于兩個輻角的主值的和,