第八章平面電磁波主要內(nèi)容理想介質(zhì)中的平面波，平面波極化特性，平面邊界上的正投射，任意方向傳播的平面波的表示，平面邊界上的斜投射，各向異性媒質(zhì)中的平面波。

1.

波動方程2.

理想介質(zhì)中的平面波3.

導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波4.

平面波的極化特性5.

平面邊界上平面波的正投射12/15/202316.

多層邊界上平面波的正投射7.

任意方向傳播的平面波8.

理想介質(zhì)邊界上平面波的斜投射9.

無反射與全反射10.

導(dǎo)電媒質(zhì)表面上平面波的斜投射11.

理想導(dǎo)電表面上平面波的斜投射12.

等離子體中的平面波13.

鐵氧體中的平面波12/15/202321.波動方程

已知在無限大的各向同性的均勻線性媒質(zhì)中，時變電磁場滿足下列方程上式稱為非齊次波動方程。式中其中是產(chǎn)生電磁波的外源；電荷體密度

(r,t)與傳導(dǎo)電流的關(guān)系為12/15/20233若所討論的區(qū)域中沒有外源，即J

'=0

，且媒質(zhì)為理想介質(zhì)，即，此時傳導(dǎo)電流為零，自然也不存在體分布的時變電荷，即

=0，則上述波動方程變?yōu)榇朔匠谭Q為齊次波動方程。對于研究平面波的傳播特性，僅需求解齊次波動方程。

12/15/20234若所討論的時變場為正弦電磁場，則上式變?yōu)榇耸椒Q為齊次矢量亥姆霍茲方程，式中在直角坐標系中，可以證明，電場強度E及磁場強度H

的各個分量分別滿足下列方程：

這些方程稱為齊次標量亥姆霍茲方程。由于各個分量滿足的方程結(jié)構(gòu)相同，它們的解具有同一形式。

12/15/20235可以證明，在直角坐標系中，若時變電磁場的場量僅與一個坐標變量有關(guān)，則該時變電磁場的場量不可能具有該坐標分量。例如，若場量僅與z

變量有關(guān)，則，因為若場量與變量x

及y

無關(guān)，則因在給定的區(qū)域中，，由上兩式得代入波動方程，即得z坐標分量。12/15/202362.理想介質(zhì)中的平面波

已知正弦電磁場在無外源的理想介質(zhì)中應(yīng)滿足下列齊次矢量亥姆霍茲方程若電場強度E

僅與坐標變量z

有關(guān)，與x

,y無關(guān)。由前節(jié)分析得知，電場強度不可能存在z

分量。

令電場強度方向為

x方向，即，則磁場強度H

為12/15/20237因得已知電場強度分量Ex

滿足齊次標量亥姆霍茲方程，考慮到這是一個二階常微分方程，其通解為式中第一項表示相位隨著z

變量增加而逐漸滯后，第二項表示相位隨著z

變量增加而逐漸導(dǎo)前。已知場的相位一定落后于源的相位。因此，上式第一項代表向正z軸方向傳播的波，第二項反之。為了便于討論，僅考慮向正z軸方向傳播的波，即

12/15/20238式中Ex0

為z=0處電場強度的有效值。Ex(z)對應(yīng)的瞬時值為電場強度隨著時間t

及空間z

的變化波形如圖示。Ez(z,t)zO

t1=0上式中

t稱為時間相位。kz

稱為空間相位。空間相位相等的點組成的曲面稱為波面。由上式可見，z

=常數(shù)的平面為波面。因此，這種電磁波稱為平面波。因Ex(z)

與x,y無關(guān)，在z

=常數(shù)的波面上，各點場強相等。因此，這種波面上場強均勻分布的平面波又稱為均勻平面波。

可見，電磁波向正z方向傳播。12/15/20239

時間相位變化2

所經(jīng)歷的時間稱為電磁波的周期，以T表示，而一秒內(nèi)相位變化2

的次數(shù)稱為頻率，以

f表示。那么由的關(guān)系式，得

空間相位

kr

變化2

所經(jīng)過的距離稱為波長，以

表示。那么由關(guān)系式，得

由上可見，電磁波的頻率是描述相位隨時間的變化特性，而波長描述相位隨空間的變化特性。

由上式又可得因空間相位變化2

相當(dāng)于一個全波，k

的大小又可衡量單位長度內(nèi)具有的全波數(shù)目，所以k

又稱為波數(shù)。12/15/202310根據(jù)相位不變點的軌跡變化可以計算電磁波的相位變化速度，這種相位速度以vp

表示。令常數(shù)，得，則相位速度vp

為考慮到，得相位速度又簡稱為相速。上式表明，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的相速與媒質(zhì)特性有關(guān)?？紤]到一切媒質(zhì)相對介電常數(shù)，又通常相對磁導(dǎo)率，因此，理想介質(zhì)中均勻平面波的相速通常小于真空中的光速。但應(yīng)注意，電磁波的相速有時可以超過光速。因此，相速不一定代表能量傳播速度。12/15/202311由上述關(guān)系可得此式描述了電磁波的相速vp

，頻率f與波長

之間的關(guān)系。平面波的頻率是由波源決定的，它始終與源的頻率相同，但是平面波的相速與媒質(zhì)特性有關(guān)。因此，平面波的波長與媒質(zhì)特性有關(guān)。由上述關(guān)系還可求得式中

0是頻率為f的平面波在真空中傳播時的波長。一定頻率的電磁波在媒質(zhì)中的運動速度越大，波長越長。而，，即平面波在媒質(zhì)的波長小于真空中波長。這種現(xiàn)象稱為波長縮短效應(yīng)，或簡稱為縮波效應(yīng)。12/15/202312由關(guān)系式可得式中由此可見，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場相位與磁場相位相同，且兩者空間相位均與變量z有關(guān)，但振幅不會改變。左圖表示t=0時刻，電場及磁場隨空間的變化情況。HyExz12/15/202313電場強度與磁場強度之比稱為電磁波的波阻抗，以Z表示，即可見，平面波在理想介質(zhì)中傳播時，其波阻抗為實數(shù)。當(dāng)平面波在真空中傳播時，其波阻抗以

Z0

表示，則上述均勻平面波的磁場強度與電場強度之間的關(guān)系又可用矢量形式表示為或給出平面波電場、磁場的能量密度形式（瞬時與平均），比較大小。12/15/202314已知ez

為傳播方向，可見無論電場或磁場均與傳播方向垂直，即對于傳播方向而言，電場及磁場僅具有橫向分量，因此這種電磁波稱為橫電磁波，或稱為TEM波。以后我們將會遇到在傳播方向上具有電場或磁場分量的非TEM波。由上分析可見，均勻平面波是TEM波，只有非均勻平面波才可形成非TEM波，但是TEM波也可以是非均勻平面波。根據(jù)電場強度及磁場強度，即可求得復(fù)能流密度矢量Sc

可見，此時復(fù)能流密度矢量為實數(shù)，其虛部為零。這就表明，電磁波能量僅向正z

方向單向流動，空間不存在來回流動的交換能量。12/15/202315若沿能流方向取出長度為l，截面為A的圓柱體，如圖示。

lSA

設(shè)圓柱體中能量均勻分布，且平均能量密度為wav

，能流密度的平均值為Sav

，則柱體中總平均儲能為（wavAl

），穿過端面A

的總能流為（Sav

A

）。若圓柱體中全部儲能在t

時間內(nèi)全部穿過端面A

，則式中比值顯然代表單位時間內(nèi)的能量位移，因此該比值稱為能量速度，以ve

表示。由此求得12/15/202316已知，，代入上式得由此可見，在理想介質(zhì)中，平面波的能量速度等于相位速度。

已知均勻平面波的波面是無限大的平面，而波面上各點的場強振幅又均勻分布，因而波面上各點的能流密度相同，可見這種均勻平面波具有無限大的能量。顯然，實際中不可能存在這種均勻平面波。當(dāng)觀察者離開波源很遠時，因波面很大，若觀察者僅限于局部區(qū)域，則可以近似作為均勻平面波。利用空間傅里葉變換，可將非平面波展開為很多平面波之和，這種展開有時是非常有用的。12/15/202317例已知均勻平面波在真空中向正Z方向傳播，其電場強度的瞬時值為

試求：①

頻率及波長；②

電場強度及磁場強度的復(fù)矢量表示式；

③

復(fù)能流密度矢量；④

相速及能速。解①

頻率波長②

電場強度磁場強度③

復(fù)能流密度

④

相速及能速

12/15/202318作業(yè)：P254:8.2、8.3、8.412/15/2023193.導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波

當(dāng)媒質(zhì)具有一定電導(dǎo)率

時，則在無源區(qū)域中麥克斯韋第一方程為

由此可見，若令則上式可寫為

式中

e

稱為等效介電常數(shù)。這樣，上式與理想介質(zhì)中的麥克斯韋第一方程的形式完全相同，只是介電常數(shù)

換為等效介電常數(shù)

e。

由此推知導(dǎo)電媒質(zhì)中正弦電磁場應(yīng)滿足下列齊次矢量亥姆霍茲方程12/15/202320若令則上述齊次矢量亥姆霍茲方程可寫為

若仍然令，且，則上式的解與前完全相同，只要以kc

代替k

即可，即

因常數(shù)kc

為復(fù)數(shù)，令

那么求得12/15/202321這樣，電場強度的解可寫為式中第一個指數(shù)表示電場強度的振幅隨z

增加按指數(shù)規(guī)律不斷衰減，第二個指數(shù)表示相位變化。因此，k

稱為相位常數(shù)，單位為rad/m；k

稱為衰減常數(shù)，單位為Np/m，而kc

稱為傳播常數(shù)。

導(dǎo)電媒質(zhì)中的相速為此式表明，平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，其相速不僅與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而且還與頻率有關(guān)。已知攜帶信號的電磁波總是具有很多頻率分量。若各個頻率分量的電磁波以不同的相速傳播，經(jīng)過一段距離傳播后，電磁波中各個頻率分量之間的相位關(guān)系必然發(fā)生改變，導(dǎo)致信號失真，這種現(xiàn)象稱為色散。所以導(dǎo)電媒質(zhì)又稱為色散媒質(zhì)。

12/15/202322導(dǎo)電媒質(zhì)中平面波的波長為可見，此時波長不僅與媒質(zhì)特性有關(guān)，而且與頻率的關(guān)系是非線性的。導(dǎo)電媒質(zhì)中的波阻抗Zc

為可見，當(dāng)平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，其波阻抗為復(fù)數(shù)。因此，電場強度與磁場強度的相位不同，復(fù)能流密度的實部及虛部均不會為零，這就意味著平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，既有單向流動的傳播能量，又有來回流動的交換能量。12/15/202323導(dǎo)電媒質(zhì)中磁場強度為由此可見，磁場的振幅也不斷衰減，且磁場強度與電場強度的相位不同。下圖表示導(dǎo)電媒質(zhì)中t=0時刻電場強度與磁場強度隨著空間的變化情況。ExHyz12/15/202324下面分別討論兩種特殊情況。

第一，若，具有低電導(dǎo)率的介質(zhì)或非理想介質(zhì)屬于這種情況。此時，可以近似認為那么這些結(jié)果表明，電場強度與磁場強度同相，但兩者振幅仍不斷衰減，電導(dǎo)率

愈大，則振幅衰減愈大。第二，若，良導(dǎo)體屬于這種情況。此時可以近似認為12/15/202325那么此式表明，電場強度與磁場強度不同相，且因

較大，兩者振幅發(fā)生急劇衰減，以致于電磁波無法進入良導(dǎo)體深處，僅可存在其表面附近，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)。為了描述平面波在良導(dǎo)體中的衰減程度，通常把場強振幅衰減到表面處振幅的深度稱為集膚深度，以

表示，則由此式表明，集膚深度與頻率f

及電導(dǎo)率

成反比。12/15/202326表無線電波頻段的劃分12/15/202327下表給出了三種頻率時銅的集膚深度。f/MHz0.051

/mm29.80.0660.00038由此可見，隨著頻率升高，集膚深度急劇地減小。因此，具有一定厚度的金屬板即可屏蔽高頻時變電磁場。由上分析可見，當(dāng)平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，其傳播特性與比值有關(guān)?？梢?，傳播特性不僅與媒質(zhì)特性有關(guān)，同時也與頻率

有關(guān)。對應(yīng)于比值的頻率稱為界限頻率，它是劃分媒質(zhì)屬于低耗介質(zhì)或?qū)w的界限。媒

質(zhì)頻

率

（MHz）干

土2.6（短波）濕

土6.0（短波）淡

水0.22（中波）海

水

890（超短波）硅

（微波）鍺（微波）鉑

（光波）銅

（光波）左表給出幾種媒質(zhì)的界限頻率。12/15/202328已知傳導(dǎo)電流密度，而位移電流密度，因此，比值的大小實際上反映了媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流與位移電流的幅度之比。可見，非理想介質(zhì)中以位移電流為主，良導(dǎo)體中以傳導(dǎo)電流為主。平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，振幅不斷衰減的物理原因是由于電導(dǎo)率

引起的熱損耗，所以導(dǎo)電媒質(zhì)又稱為有耗媒質(zhì)，而電導(dǎo)率為零的理想介質(zhì)又稱為無耗媒質(zhì)。一般說來，媒質(zhì)的損耗除了由于電導(dǎo)率引起的熱損失以外，媒質(zhì)的極化和磁化現(xiàn)象也會產(chǎn)生損耗。考慮到這類損耗時，媒質(zhì)的介電常數(shù)及磁導(dǎo)率皆為復(fù)數(shù)，即，。復(fù)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的虛部代表損耗，分別稱為極化損耗和磁化損耗。對于非鐵磁性物質(zhì)可以不計磁化損耗；對于微波波段以下的電磁波，媒質(zhì)的極化損耗也可不計。12/15/202329例

已知向正z方向傳播的均勻平面波的頻率為5MHz，z=0

處電場強度為x方向，其有效值為100(V/m)。若區(qū)域為海水，其電磁特性參數(shù)為，試求:①

該平面波在海水中的相位常數(shù)、衰減常數(shù)、相速、波長、波阻抗和集膚深度。②

在z=

0.8m

處的電場強度和磁場強度的瞬時值以及復(fù)能流密度。解

①

可見，對于5MHz頻率的電磁波，海水可以當(dāng)作良導(dǎo)體，其相位常數(shù)為衰減常數(shù)為12/15/202330波長為

波阻抗Zc

為

相速為

集膚深度

為②

根據(jù)以上參數(shù)獲知，海水中電場強度的復(fù)振幅為對應(yīng)的磁場強度復(fù)振幅為12/15/202331根據(jù)上述結(jié)果求得，在z=0.8m

處，電場強度及磁場強度的瞬時值為復(fù)能流密度為由此例可見，頻率為5MHz的電磁波在海水中被強烈地衰減，因此位于海水中的潛艇之間，不可能通過海水中的直接波進行無線通信，必須將其收發(fā)天線移至海水表面附近，利用海水表面的導(dǎo)波作用形成的表面波，或者利用電離層對于電磁波的“反射”作用形成的反射波作為傳輸媒體實現(xiàn)無線通信。

12/15/202332前面討論平面波的傳播特性時，認為平面波的場強方向與時間無關(guān)，實際中有些平面波的場強方向隨時間按一定的規(guī)律變化。電場強度的方向隨時間變化的規(guī)律稱為電磁波的極化特性。

4.平面波的極化特性設(shè)某一平面波的電場強度僅具有x

分量，且向正z方向傳播，則其瞬時值可表示為

顯然，在空間任一固定點，電場強度矢量的端點隨時間的變化軌跡為與x

軸平行的直線。因此，這種平面波的極化特性稱為線極化，其極化方向為x

方向。

設(shè)另一同頻率的y方向極化的線極化平面波，也向正z方向傳播，其瞬時值為

12/15/202333

上述兩個相互正交的線極化平面波Ex及Ey

具有不同振幅，但具有相同的相位，它們合成后，其瞬時值的大小為

此式表明，合成波的大小隨時間的變化仍為正弦函數(shù)，合成波的方向與X

軸的夾角

為

可見，合成波的極化方向與時間無關(guān)，電場強度矢量端點的變化軌跡是與X

軸夾角為

的一條直線。因此，合成波仍然是線極化波，如左圖示。

EyExEYX

0EyExEYX

0EyExEyx

012/15/202334由上可見，兩個相位相同，振幅不等的空間相互正交的線極化平面波，合成后仍然形成一個線極化平面波。反之，任一線極化波可以分解為兩個相位相同，振幅不等的空間相互正交的線極化波。

若上述兩個線極化波Ex

及Ey

的相位差為，但振幅皆為Em

，即

則合成波瞬時值的大小為合成波矢量與x

軸的夾角

為

12/15/202335即由此可見，對于某一固定的z點，夾角

為時間t的函數(shù)。電場強度矢量的方向隨時間不斷地旋轉(zhuǎn)，但其大小不變。因此，合成波的電場強度矢量的端點軌跡為一個圓，這種變化規(guī)律稱為圓極化，如下圖示。EyExEyx

0左旋右旋zyx

012/15/202336若Ey

比Ex

滯后，則合成波矢量與x軸的夾角?？梢?，對于空間任一固定點，夾角

隨時間增加而增加，合成波矢量隨著時間的旋轉(zhuǎn)方向與傳播方向ez

構(gòu)成右旋關(guān)系，因此，這種極化波稱為右旋圓極化波。上式表明，當(dāng)t增加時，夾角

不斷地減小，合成波矢量隨著時間的旋轉(zhuǎn)方向與傳播方向構(gòu)成左旋關(guān)系，這種圓極化波稱為左旋圓極化波。由上可見，兩個振幅相等，相位相差的空間相互正交的線極化波，合成后形成一個圓極化波。反之，一個圓極化波也可以分解為兩個振幅相等，相位相差的空間相互正交的線極化波。12/15/202337若上述兩個相互正交的線極化波Ex

和Ey

具有不同振幅及不同相位，即

則合成波的Ex分量及Ey

分量滿足下列方程還可證明，一個線極化波可以分解為兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。反之亦然。12/15/202338前述的線極化波、圓極化波均可看作為橢圓極化波的特殊情況。由于各種極化波可以分解為線極化波的合成，因此，本章僅討論線極化平面波的傳播特性。電磁波在媒質(zhì)中的傳播特性與其極化特性密切相關(guān)，電磁波的極化特性獲得非常廣泛的實際應(yīng)用。例如，由于圓極化波穿過雨區(qū)時受到的吸收衰減較小，全天候雷達宜用圓極化波。這是一個橢圓方程，它表示對于空間任一點，即固定的z

值，合成波矢量的端點軌跡是一個橢圓，因此，這種平面波稱為橢圓極化波，如左圖示。

yxEx'y'Ey

mEx

m當(dāng)

<0

時，Ey分量比Ex

滯后，合成波矢量反時針旋轉(zhuǎn)，與傳播方向ez

形成右旋橢圓極化波；當(dāng)

>0

時，Ey分量比Ex

導(dǎo)前，合成波矢量順時旋轉(zhuǎn)，與傳播方向ez

形成左旋橢圓極化波。

12/15/202339眾所周知，光波也是電磁波。但是光波不具有固定的極化特性，或者說，其極化特性是隨機的。光學(xué)中將光波的極化稱為偏振，因此，光波通常是無偏振的。為了獲得偏振光必須采取特殊方法。立體電影即是利用兩個相互垂直的偏振鏡頭從不同的角度拍攝的。因此，觀眾必須佩帶一副左右相互垂直的偏振鏡片，才能看到立體效果。此外，在微波設(shè)備中，有些器件的功能就是利用了電磁波的極化特性獲得的，例如，鐵氧體環(huán)行器及隔離器等。在移動衛(wèi)星通信和衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中，由于衛(wèi)星姿態(tài)隨時變更，應(yīng)該使用圓極化電磁波。在無線通信中，為了有效地接收電磁波的能量，接收天線的極化特性必須與被接收電磁波的極化特性一致。12/15/2023405.平面邊界上平面波的正投射當(dāng)電磁波在傳播途中遇到這種邊界時，一部分能量穿過邊界，形成透射波；另一部分能量被邊界反射，形成反射波，這就是電磁波在邊界上發(fā)生的反射及透射現(xiàn)象。平面波在邊界上的反射及透射規(guī)律與媒質(zhì)特性及邊界形狀有關(guān)。本教材僅討論平面波在無限大的平面邊界上的反射及透射特性。首先討論平面波向平面邊界垂直入射的正投射，以后再討論平面波以任意角度向平面邊界的斜投射。設(shè)兩種均勻媒質(zhì)形成一個無限大的平面邊界，兩種媒質(zhì)的參數(shù)分別為及，如下圖示。12/15/202341

1

1

1

2

2

2zxY建立直角坐標系，且令邊界位于z=0

平面。當(dāng)x方向極化的線極化平面波由媒質(zhì)①向邊界正投射時，邊界上發(fā)生反射波及透射波。S

tS

i已知電場的切向分量在任何邊界上必須保持連續(xù)，因此，入射波的電場切向分量與反射波的切向分量之和必須等于透射波的電場切向分量。S

r

12/15/202342可見，當(dāng)反射波為零時，入射波電場的切向分量等于透射波電場的切向分量；當(dāng)透射波為零時，反射波的電場切向分量等于入射波電場切向分量的負值。由此可見，反射波及透射波僅可與入射波具有相同的分量。因此，發(fā)生反射與透射時，平面波的極化特性不會發(fā)生改變。設(shè)入射波、反射波及透射波電場強度的正方向如左圖示。根據(jù)傳播方向，它們可以表示如下：

1

1

1

2

2

2zxyS

i入射波S

t透射波式中，，分別為z=0

邊界處各波的有效值。S

r

反射波12/15/202343相應(yīng)的磁場強度分量為入射波反射波透射波已知電場強度的切向分量在任何邊界上均是連續(xù)的，同時考慮到所討論的有限電導(dǎo)率邊界上不可能存在表面電流，因而磁場強度的切向分量也是連續(xù)的，于是在z=0

的邊界上下列關(guān)系成立12/15/202344邊界上反射波電場分量與入射波的電場分量之比稱為邊界上的反射系數(shù)，以R表示；邊界上的透射波電場分量與入射波電場分量之比稱為邊界上的透射系數(shù)，以T表示。那么，由上式求得媒質(zhì)①中任一點的合成電場強度與磁場強度可以分別表示為

解出12/15/202345第一，若媒質(zhì)①為理想介質(zhì)，媒質(zhì)②為理想導(dǎo)體，則兩種媒質(zhì)的波阻抗分別為下面討論兩種特殊的邊界。求得此結(jié)果表明，全部電磁能量被邊界反射，無任何能量進入媒質(zhì)②中，這種情況稱為全反射。顯然，這是完全符合理想導(dǎo)電體應(yīng)具有的邊界條件，因為合成電場與邊界相切，在理想導(dǎo)電體表面上不可能存在任何切向的電場分量。反射系數(shù)R=

1表明，在邊界上，即邊界上反射波電場與入射波電場等值反相，因此邊界上合成電場為零。12/15/202346因媒質(zhì)①的傳播常數(shù)，第一種媒質(zhì)中任一點合成電場為

對應(yīng)的瞬時值為此式表明，媒質(zhì)①中合成電場的相位僅與時間有關(guān)，而振幅隨z

的變化為正弦函數(shù)。由上式可見，在處，對于任何時刻，電場為零。在處，任何時刻的電場振幅總是最大。這就意味著空間各點合成波的相位相同，同時達到最大或最小。平面波在空間沒有移動，只是在原處上下波動，具有這種特點的電磁波稱為駐波，如下圖示。12/15/202347Ex0>0

1z

1=0

2=

O前述的無限大理想介質(zhì)中傳播的平面波稱為行波。行波與駐波的特性截然不同，行波的相位沿傳播方向不斷變化，而駐波的相位與空間無關(guān)。振幅始終為零的地方稱為駐波的波節(jié)，而振幅始終為最大值的地方稱為駐波的波腹。Ez(z,t)zOt1=0

Ex0>0

1Z

1=0

2=

0Ex0>0

1Z

1=0

2=

0Ex0>0

1Z

1=0

2=

012/15/202348對應(yīng)的瞬時值為媒質(zhì)①中的合成磁場為由此可見，媒質(zhì)①中的合成磁場也形成駐波，但其零值及最大值位置與電場駐波的分布情況恰好相反，如左圖示。磁場駐波的波腹恰是電場駐波的波節(jié)，而磁場駐波的波節(jié)恰是電場駐波的波腹。Hy

0z

1O

1=0

2=

y12/15/202349此外，比較兩種駐波分布還可見，電場與磁場的相位差為。因此，復(fù)能流密度的實部為零，只存在虛部。這就意味著媒質(zhì)①中沒有能量單向流動。能量僅在電場與磁場之間不斷地進行交換，這種能量的存在形式與處于諧振狀態(tài)下的諧振電路中的能量交換極為相似。12/15/202350O

1=0

2=

yen

xzJsHyHy2=0在z=0邊界上，媒質(zhì)①中的合成磁場分量為，但媒質(zhì)②中，所以在邊界上此時發(fā)生磁場強度的切向分量不連續(xù)，因此邊界上存在表面電流JS，且12/15/202351第二，若媒質(zhì)①為理想介質(zhì)

=0

，媒質(zhì)②為一般導(dǎo)體，則媒質(zhì)①的波阻抗及傳播常數(shù)分別為反射系數(shù)為

式中為R

的振幅，

為R的相位。代入前述電場強度公式求得由此可見，當(dāng)時，處，電場振幅取得最大值，即

12/15/202352當(dāng)時，處，電場振幅取得最小值，即

由于，因此，電場振幅位于0

與之間，即，此時電場駐波的空間分布如左圖。兩個相鄰振幅最大值或最小值之間的距離為半波長。0

1z電場振幅的最大值與最小值之比稱為駐波比，以S表示。那么12/15/202353可以證明，若兩種媒質(zhì)均是理想介質(zhì)，當(dāng)時，邊界處為電場駐波的最大點；當(dāng)時，邊界處為電場駐波的最小點。這個特性通常用于微波測量。上述情況不同于前述的完全駐波。此時媒質(zhì)中既有向前傳播的行波，又包含能量交換的駐波。由此可見，當(dāng)發(fā)生全反射時，。當(dāng)時，此時反射消失。這種無反射的邊界稱為匹配邊界?？梢?，駐波比的范圍是。12/15/202354例已知形成無限大平面邊界的兩種媒質(zhì)的參數(shù)為，； ，當(dāng)一右旋圓極化平面波由媒質(zhì)①向媒質(zhì)②垂直入射時，試求反射波和折射波及其極化特性。解建立直角坐標系，令邊界平面位于平面，如左圖示。已知入射波為右旋圓極化，因此入射波、反射波和入射波可以分別表示為

1

1

1

2

2

2zxYS

tS

rS

i12/15/202355反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為由于反射波及透射波的y

分量仍然滯后于x

分量，但反射波的傳播方向為負z方向，因此變?yōu)樽笮龍A極化波。透射波的傳播方向仍沿正z

方向，因此還是右旋圓極化波。12/15/2023566.多層邊界上平面波的正投射先以三種媒質(zhì)形成的多層媒質(zhì)為例，說明平面波在多層媒質(zhì)中的傳播過程及其求解方法。

Zc1Zc2Zc3-l0z①②③

如左圖示，當(dāng)平面波自媒質(zhì)①向邊界垂直入射時，在媒質(zhì)①和②之間的第一條邊界上發(fā)生反射和透射。當(dāng)透射波到達媒質(zhì)②和③之間的第二條邊界時，再次發(fā)生反射與透射，而且此邊界上的反射波回到第一條邊界時又發(fā)生反射及透射。由此可見，在兩條邊界上發(fā)生多次反射與透射現(xiàn)象。12/15/202357根據(jù)一維波動方程解的特性，可以認為媒質(zhì)①和②中僅存在兩種平面波，其一是向正

z方向傳播的波，以及表示；另一是向負z方向傳播的波，以及表示。在媒質(zhì)③中僅存在一種向正z方向傳播的波。那么各個媒質(zhì)中的電場強度可以分別表示為Zc1Zc2Zc3-l0z①②③12/15/202358相應(yīng)的磁場強度分別為Zc1Zc2Zc3-l0z①②③Zc1Zin-lz①12/15/202359根據(jù)z=0

和z=

l

兩條邊界上

電場切向分量必須連續(xù)的邊界條件，得根據(jù)兩條邊界上磁場切向分量必須連續(xù)的邊界條件，得上述兩組方程中是給定的，四個方程中只有，，及等四個未知數(shù)，因此完全可以求解。12/15/202360

對于n層媒質(zhì)，由于入射波是給定的，且第n

層媒質(zhì)中只存在透射波，因此，總共只有(2n–2)

個待求的未知數(shù)。但根據(jù)n

層媒質(zhì)形成的(n–1)

條邊界可以建立2(n–1)

個方程，可見這個方程組足以求解全部的未知數(shù)。

如果僅需計算第一條邊界上的總反射系數(shù)，引入輸入波阻抗概念可以簡化求解過程。在上述例子中，我們定義媒質(zhì)②中任一點的合成電場與合成磁場之比稱為該點的輸入波阻抗，以Zin

表示，即已知媒質(zhì)②中合成電場為

式中R23

為媒質(zhì)②和③之間的邊界上反射系數(shù)。

12/15/202361其中類似，媒質(zhì)②中的合成磁場可以表示為

將上述結(jié)果代入輸入波阻抗定義式中，得已知在邊界上兩側(cè)合成電場及合成磁場應(yīng)該是連續(xù)的，求得②①12/15/202362由此可見，引入輸入波阻抗以后，對第一層媒質(zhì)來說，第二層及第三層媒質(zhì)可以看作為波阻抗為Zin(

l)的一種媒質(zhì)。已知第二層媒質(zhì)的厚度和電磁參數(shù)以及第三媒質(zhì)的電磁參數(shù)即可求出輸入波阻抗Zin(

l)。利用輸入波阻抗的方法計算多層媒質(zhì)的總反射系數(shù)，實質(zhì)上是電路中經(jīng)常采用的網(wǎng)絡(luò)分析方法，即只需考慮后置媒質(zhì)的總體影響，不必關(guān)心后置媒質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。①、②結(jié)合并利用關(guān)系式得到：Zc1Zin(-l)-lz①12/15/202363

對于n

層媒質(zhì)，如下圖示。當(dāng)平面波自左向右入射時，為了求出第一條邊界上的總反射系數(shù)，利用輸入波阻抗的方法是十分簡便的。其過程是，首先求出第(n

2)條邊界處向右看的輸入波阻抗，則對于第(n

2)層媒質(zhì)來說，可用波阻抗為的媒質(zhì)代替第(n

1)

層及第n

層媒質(zhì)。Zc1Zc2Zc3(n-2)(n-1)(3)(2)(1)Zc(n-2)Zc(n-1)Zcn依次類推，自右向左逐一計算各條邊界上向右看的輸入波阻抗，直至求得第一條邊界上向右看的輸入波阻抗后，即可計算總反射系數(shù)。12/15/202364Z1ZnZ3Z2Zn-1Zn-2Z1Z1Z3Z2Zn-2Z1Z2Z3Z1Z212/15/202365例

設(shè)兩種理想介質(zhì)的波阻抗分別為Z1與Z2，為了消除邊界反射，可在兩種理想介質(zhì)中間插入厚度為四分之一波長（該波長是指平面波在夾層中的波長）的理想介質(zhì)夾層，試求夾層的波阻抗Z

。

解如左圖示，首先求出第一條邊界上向右看的輸入波阻抗。考慮到Z1ZZ2②①求得第一條邊界上輸入波阻抗為在①消除反射，必須要求，那么由上式得12/15/202366由上例可見，輸入波阻抗的方法是一種阻抗變換方法。利用四分之一波長夾層的阻抗變換作用消除了邊界反射，達到匹配。當(dāng)然，這種變換僅在給定的單一頻率點完全匹配，因此僅適用于窄帶系統(tǒng)。由微波電路的傳輸線理論得知，利用四分之一波長的傳輸線可以實現(xiàn)阻抗變換，此時既可變更傳輸線的長度又能保證匹配。這些概念與上述的四分之一波長及半波長介質(zhì)夾層的作用極為相似。可見輸入波阻抗的變化與正切函數(shù)的變化規(guī)律一致，每當(dāng)

l

增加半個波長，其值不變，即厚度為半波長或半波長整數(shù)倍的介質(zhì)夾層沒有阻抗變換作用。已知輸入波阻抗公式為12/15/202367此外，如果該例中夾層媒質(zhì)的相對介電常數(shù)等于相對磁導(dǎo)率，即

r=

r

，那么，夾層媒質(zhì)的波阻抗等于真空的波阻抗。由此可見，若使用這種媒質(zhì)制成保護天線的天線罩，其電磁特性十分優(yōu)越。但是，由第二章及第五章獲悉，普通媒質(zhì)的磁導(dǎo)率很難與介電常數(shù)達到同一數(shù)量級。近來研發(fā)的新型磁性材料可以接近這種需求。當(dāng)這種夾層置于空氣中，平面波向其表面正投射時，無論夾層的厚度如何，反射現(xiàn)象均不可能發(fā)生。換言之，這種媒質(zhì)對于電磁波似乎是完全“透明”的。12/15/202368

例頻率為10GHz的機載雷達有一個εr=2.25的介質(zhì)薄板構(gòu)成的天線罩。假設(shè)其介質(zhì)損耗可忽略不計,為使它對垂直入射到罩上的電磁波不產(chǎn)生反射,該板應(yīng)取多厚?［解］為使介質(zhì)罩不反射電磁波,在其界面處的反射系數(shù)應(yīng)為零,即該處等效波阻抗Zin應(yīng)等于空氣的波阻抗Z1?？紤]到Z3=Z1

,要求Z1Z2Z3②①dradar12/15/202369已知Z2≠Z1,因此上式成立的條件是

即

n=1,2,3,…取最薄情況,令

n=1,得當(dāng)d是半波長的整數(shù)倍時，對固定頻率的電磁波無反射，是透明的。

12/15/202370作業(yè)：P255:8.14、8.15、8.1612/15/2023717.任意方向傳播的平面波

設(shè)平面波的傳播方向為es，則與es

垂直的平面為該平面波的波面，如下圖示。令坐標原點至波面的距離為d，坐標原點的電場強度為E0，則波面上P0點的場強應(yīng)為

zyxdesP0E0波面

P(x,y,z)r若令P

點為波面上任一點，其坐標為(x,y,z)，則該點的位置矢量r

為令該矢量r與傳播方向es的夾角為

，則距離d可以表

12/15/202372考慮到上述關(guān)系，點的電場強度可表示為若令上式為沿任意方向傳播的平面波表達式。這里k

稱為傳播矢量，其大小等于傳播常數(shù)k

，其方向為傳播方向es

；r為空間任一點的位置矢量。則任意方向入射的平面波由上圖知，傳播方向es

與坐標軸x,

y,

z的夾角分別為

,

,

，則傳播方向es

可表示為傳播矢量可表示為12/15/202373坐標軸向的傳播常數(shù)那么傳播矢量k

可表示為那么，電場強度又可表示為

考慮到，因此應(yīng)該滿足可見，三個分量中只有兩個是獨立的。則任意方向入射的平面波12/15/202374根據(jù)傳播矢量及麥克斯韋方程，可以證明，在無源區(qū)中理想介質(zhì)內(nèi)向k方向傳播的均勻平面波滿足下列方程由此可見，電場與磁場相互垂直，而且兩者又垂直于傳播方向，這些關(guān)系反映了均勻平面波為TEM

波的性質(zhì)。根據(jù)上面結(jié)果，復(fù)能流密度矢量Sc考慮到，得Sc

只有實部12/15/202375例已知某真空區(qū)域中的平面波為TEM波，其電場強度為試求：①

是否是均勻平面波？②

平面波的頻率及波長；

③

電場強度的y分量；④

平面波的極化特性。式中為常數(shù)。解給定的電場強度可改寫為

可見，平面波的傳播方向位于xy

平面內(nèi)，因此波面平行于z

軸。由于場強振幅與z有關(guān)，因此，它是一種非均勻平面波。12/15/202376xyzk波面根據(jù)上式可以求得傳播常數(shù)、波長、頻率分別為

因為，求得因電場強度的x分量與y

分量構(gòu)成線極化波，它與相位不同且振幅不等的z

分量合成后形成橢圓極化波。由于分量比Ez

分量的相位滯后，因此合成矢量形成的橢圓極化波是右旋的，如左圖示。(Ex+Ey)(Ex+Ey

+Ez)Ez12/15/2023778.理想介質(zhì)邊界上平面波的斜投射

當(dāng)平面波向平面邊界上以任意角度斜投射時，同樣會發(fā)生反射與透射現(xiàn)象，而且通常透射波的方向與入射波不同，其傳播方向發(fā)生彎折，因此，這種透射波稱為折射波。入射線，反射線及折射線與邊界面法線之間的夾角分別稱為入射角，反射角及折射角。入射線，反射線及折射線和邊界面法線構(gòu)成的平面分別稱為入射面，反射面和折射面，如下圖

i

t

1

1

2

2xz折射波反射波法線y

r入射波12/15/202378可以證明，①入射線，反射線及折射線位于同一平面；②

入射角

i

等于反射角

r

；③

折射角

t

與入射角

i

的關(guān)系為式中，。上述三條結(jié)論總稱為斯耐爾定律。設(shè)入射面位于x-o-z

平面內(nèi)，則入射波的電場強度可以表示為若反射波及折射波分別為折射定律

i

t

1

1

2

2xz折射波反射波法線y

r入射波12/15/202379邊界上(z=0)

電場切向分量必須連續(xù)上述等式對于任意x

及y

變量均應(yīng)成立，因此各項指數(shù)中對應(yīng)的系數(shù)應(yīng)該相等，即表明反射線和折射線均位于xz

平面Y分量X分量12/15/202380

斯耐爾定律描述的電磁波反射和折射規(guī)律獲得廣泛應(yīng)用。正如前言中介紹，美軍B2及F117等隱形飛機的底部均為平板形狀，致使目標的反射波被反射到前方，單站雷達無法收到回波，從而達到隱形目的。

關(guān)系式表明反射波及折射波的相位沿邊界的變化始終與入射波保持一致，因此，該式又稱為相位匹配條件。給出反射定律和折射定律12/15/202381斜投射時的反射系數(shù)及透射系數(shù)與平面波的極化特性有關(guān)。我們定義，電場方向與入射面平行的平面波稱為平行極化波，電場方向與入射面垂直的平面波稱為垂直極化波，如下圖示。平行極化平面波或者垂直極化平面波在平面邊界上被反射及折射時，極化特性都不會發(fā)生變化，即反射波及折射波與入射波的極化特性相同。

i

r

t

1

1

2

2E

iE

tE

rH

iH

rH

tzxO平行極化

i

r

t

1

1

2

2E

iE

tE

rH

iH

rH

tzxO垂直極化12/15/202382對平行極化波

邊界上電場切向分量連續(xù)考慮到相位匹配條件，上式變?yōu)檫吔缟洗艌銮邢蚍至勘仨氝B續(xù)邊界上反射系數(shù)

i

r

t

1

1

2

2E

iE

tE

rH

iH

rH

tzxO12/15/202383對于垂直極化波，同理可求出反射系數(shù)及透射系數(shù)當(dāng)入射角時，上述情況變?yōu)檎渡?，那么，。費涅爾公式費涅爾公式12/15/202384此外，當(dāng)入射角時，這種情況稱為斜滑投射。此時，無論何種極化以及媒質(zhì)特性如何，反射系數(shù)，透射系數(shù) 。這就表明，入射波全被反射，且反射波同入射波大小相等，但相位相反。也就是說，向任何邊界上斜滑投射時，各種極化特性平面波的反射系數(shù)均為（-1）。此外，這種現(xiàn)象也是地面雷達存在低空盲區(qū)的原因。因為當(dāng)?shù)孛胬走_指向低空目標時，到達目標的直接波與地面反射波的空間相位幾乎一致。但是由于地面反射波處于斜滑投射方向，其反射系數(shù)為(-1)，導(dǎo)致地面反射波與直接波等值反相，合成波大大削弱。因此，地面雷達無法發(fā)現(xiàn)低空目標。因此，當(dāng)我們十分傾斜觀察任何物體表面時，由于各種極化方向的反射光波的相位相同，彼此相加，使得物體表面顯得比較明亮。12/15/2023859.無反射與全反射

考慮到大多數(shù)實際媒質(zhì)的磁導(dǎo)率相同，即，則12/15/202386由此可見，若入射角滿足下列關(guān)系已知平行極化波的反射系數(shù)為平行極化波不發(fā)生反射

R‖=0時的入射角:叫做布魯斯特角

B這時平行波全部透射.反射波中只包含垂直極化波,布魯斯特角

B也叫起偏角.12/15/202387垂直極化波的反射系數(shù)為由此可見，只有當(dāng)時，反射系數(shù)。因此，垂直極化波不可能發(fā)生無反射。

任意極化的平面波總可以分解為一個平行極化波與一個垂直極化波之和。當(dāng)一個無固定極化方向的光波，或者說一束無偏振光，若以布魯斯特角向邊界斜投射時，由于平行極化波不會被反射，因此，反射波中只剩下垂直極化波?？梢?，采用這種方法即可獲得具有一定極化特性的偏振光。12/15/202388已知兩種極化平面波的反射系數(shù)分別為由此可見，若入射角

i

滿足則無論何種極化，。這種現(xiàn)象稱為全反射。根據(jù)斯耐爾定律，可見當(dāng)入射角滿足上式時，折射角已增至。因此，當(dāng)入射角大于發(fā)生全反射的角度時，全反射現(xiàn)象繼續(xù)存在。12/15/202389開始發(fā)生全反射時的入射角稱為臨界角，以

c

表示當(dāng)

1

2,并且

i>=

c時發(fā)生全反射,入射波全反回入射的光密媒質(zhì)值得討論的是，發(fā)生全反射時的折射波特性。已知折射波可以表示為考慮到12/15/202390則折射波可寫為可見，當(dāng)時，因，所以上式中第二指數(shù)應(yīng)取負指數(shù)，以保證折射波的傳播方向偏向正z方向，即

當(dāng)時，，上式中第二個指數(shù)為1，則折射波為可見，折射波為沿正x方向傳播的波。

當(dāng)時，，前式中第二指數(shù)中的根號因子為虛數(shù)，即12/15/202391xz求得顯然，式中第二個指數(shù)應(yīng)取負指數(shù)，否則當(dāng)時，。因此，當(dāng)入射角時，折射波為此式表明，折射波沿正x

方向傳播，但其振幅沿正z方向按指數(shù)規(guī)律衰減。因此，折射波是向正x

方向傳播的非均勻平面波，如圖示。

由于此時能量主要集中在邊界表面附近，這種非均勻平面波稱為表面波。

c12/15/202392表面波已知折射波為由上式可見，比值愈大或入射角愈大，振幅沿正Z

方向衰減愈快。由于光導(dǎo)纖維的介質(zhì)外層表面存在表面波，因此，必須加裝金屬外殼給予電磁屏蔽，這就形成光纜。有一種光導(dǎo)纖維即是由兩種介電常數(shù)不同的介質(zhì)層形成的，其內(nèi)部芯線的介電常數(shù)大于外層介電常數(shù)。當(dāng)光束以大于臨界角的入射角度自芯線內(nèi)部向邊界投射時，即可發(fā)生全反射，光波局限在芯線內(nèi)部傳播，這就是光導(dǎo)纖維的導(dǎo)波原理。

2

2

112/15/202393應(yīng)注意，上述全部結(jié)論均在的前提下成立。若， 或者，時，雖然也會發(fā)生全反射及無反射現(xiàn)象，但布魯斯特角及臨界角的數(shù)值不同。當(dāng)，時，只有垂直極化波才會發(fā)生無反射現(xiàn)象。當(dāng)，時，兩種極化波均會發(fā)生無