8.5.1直線與直線平行【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解并掌握基本事實4，并會應(yīng)用其解決相關(guān)直線與直線平行問題．(2)理解等角定理，并會應(yīng)用其解決有關(guān)問題．題型1基本事實4【問題探究1】動手將一張長方形的紙如圖對折幾次后打開，觀察這些折痕有怎樣的位置關(guān)系，并推測平面幾何中“平行線的傳遞性”在空間是否成立．例1如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′.一題多變將本例的條件改為“若M，N分別是A′D′，C′D′的中點”，求證：四邊形ACNM是梯形．學(xué)霸筆記：用基本事實4證明直線a∥c時，只需找到直線b，使得a∥b，同時b∥c，進(jìn)而由基本事實4即可得到a∥c.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形．題型2等角定理【問題探究2】觀察長方體A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1與∠B1C1D1的兩邊分別具有什么關(guān)系，兩角大小關(guān)系如何？再觀察長方體A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1與∠DAB的兩邊分別具有什么關(guān)系，兩角大小關(guān)系如何？例2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.學(xué)霸筆記：運用定理判定兩個角是相等還是互補的途徑有兩種：一是判定兩個角的方向是否相同；二是判定這兩個角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角則相等，反之則互補．跟蹤訓(xùn)練2如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為AA1，BB1，CC1的中點．求證：∠MC1N＝∠APB.隨堂練習(xí)1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的有()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有()A．3條B．4條C．5條D．6條3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1C1，B1C1，B1B的中點，則∠EFG與∠ABC1()A．相等B．互補C．相等或互補D．不確定4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是________．課堂小結(jié)1.基本事實4及其應(yīng)用．2．等角定理及其應(yīng)用．8．5.1直線與直線平行問題探究1提示：平行，成立．例1證明：∵E，E′分別是AB，A′B′的中點，∴BE＝B′E′.∵BE∥B′E′，∴四邊形EBB′E′是平行四邊形，∴EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.一題多變證明：在正方體中，MN∥A′C′，且MN＝12A′C′因為A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝12AC又AM與CN不平行，故四邊形ACNM是梯形．跟蹤訓(xùn)練1證明：(1)因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝12AC所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．(2)因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EH∥BD，EH＝12BD因為EF＝12AC，AC＝BD，所以EH＝EF又因為EFGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形．問題探究2提示：∠D1A1B1與∠B1C1D1的兩邊分別平行，兩角大小互補．∠D1A1B1與∠DAB的兩邊分別平行，兩角大小相等．例2證明：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點，則F1M綉C1B1.而C1B1綉B(tài)C，∴F1M綉B(tài)C，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又∵BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.跟蹤訓(xùn)練2證明：因為N，P分別是BB1，CC1的中點，所以BN綉C1P，所以四邊形BPC1N為平行四邊形，所以C1N∥BP.同理可證C1M∥AP.又∠MC1N與∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.[隨堂練習(xí)]1．解析：如圖，當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1不一定平行．故選D.答案：D2．解析：由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，因為和棱B1C1平行的棱還有3條：AD，BC，A1D1.所以共有4條．故選B.答案：B3．解析：由于E，F(xiàn)，G分別為A1C1，B1C1，BB1的中點，所以EF∥A1B1∥AB，F(xiàn)G∥BC1，所以∠EFG與∠ABC1的兩組對邊分別平行，