1.2常用邏輯用語

考點一命題及其關系

1.（2015山東文,5,5分）設mGR,命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是

（）

A.若方程x"+x-m=0有實根，則m>0

B.若方程x2+x-m=0有實根,則mWO

C.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m>0

D.若方程x2+x-m=0沒有實根，則mWO

答案D命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是“若方程x2+x-m=0沒有實

根,則mWO"，故選D.

2.（2014陜西理,8,5分）原命題為“若z“z互為共鈍復數(shù)，則|z」=|zj"，關于其逆命題，否

命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）

A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假，假

答案B先證原命題為真：當z”Z2互為共轎復數(shù)時，設z產(chǎn)a+bi（a,bGR）,則Zz=a-bi,則

01=01=7^^廬，.?.原命題為真,故其逆否命題為真;再證其逆命題為假:取ZLI,4=i,滿足

Izj=|Z21,但是%不互為共帆復數(shù)，.?.其逆命題為假,故其否命題也為假.故選B.

3.（2013天津理,4,5分）已知下列三個命題：

①若一個球的半徑縮小到原來的則其體積縮小到原來的!；

Z0

②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則它們的標準差也相等；

③直線x+y+l=O與圓x'y'g相切.

其中真命題的序號是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

答案C對于命題①,設原球的半徑和體積分別為r,V,變化后的球的半徑和體積分別為

r',V'4Ur'』r,由球的體積公式可知V'r'=n?Qr）4義:”/才,所以命題①為真命

題;命題②顯然為假命題,如兩組數(shù)據(jù)：1,2,3和2,2,2,它們的平均數(shù)都是2,但前者的標準差

為。，而后者的標準差為0;對于命題③,易知圓心到直線的距離匕所以直線與圓

相切,命題③為真命題.故選C.

4.（2013陜西文,6,5分）設z是復數(shù),則下列命題中的假命題是（）

A.若z2^0,則z是實數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)

C.若z是虛數(shù),則z2>0D.若z是純虛數(shù),則z2<0

答案C舉反例說明，若z=i，則寸=-1<0,故選C.

考點二充分條件與必要條件

1.(2019北京文,6,5分)設函數(shù)￡6)F。5*+6$皿*(15為常數(shù))，則飛=0"是"f(x)為偶函數(shù)”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C本題考查函數(shù)的奇偶性，充分、必要條件的判斷，以及三角函數(shù)的性質;考查學生的

運算求解能力和推理論證能力；考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

當b=0時,f(x)=cosx為偶函數(shù);若f(x)為偶函數(shù),則

f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx=f(x),

，-bsinx=bsinx對xWR恒成立，，b=O.故"b=0"是"f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.故

選C.

易錯警示本題在判斷必要性時，易把函數(shù)化為f(x)=VT=sin(x+。)，其中tan6彳,再分

析小彳+kn(kCZ)在什么條件下成立.事實上，當eW+kn(kCZ)時，tan。不存在.

2.(2019天津文,3,5分)設*丘艮則“06<5”是的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B|x-l|<l?-Kx-l<l?-0<x<2.

當0<x<2時,必有0<x<5;

反之,不成立.

所以，"O〈x<5”是的必要而不充分條件.

一題多解因為{x||x-l|<l}={x|0<x<2W{x|0<x<5},

所以"0<x<5"是的必要而不充分條件.

3.(2018北京文,4,5分)設@,"5￡|是非零實數(shù),則一￡1=血”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

答案B本題主要考查充分條件與必要條件，等比數(shù)列的性質.

由a,b,c,d成等比數(shù)列,可得ad=bc,即必要性成立；

當a=l,b=-2,c=-4,d=8時,ad=bc,但a,b,c,d不成等比數(shù)列，即充分性不成立,故選B.

方法總結充分條件與必要條件的判斷方法：

1.直接法:分別判斷命題“若P,則q”和“若q,則p”的真假.

2.集合法:設命題p,q中的變量構成的集合分別為P,Q.

若［與Q,則P是q的充分不必要條件；

若QSP,則P是q的必要不充分條件；

若P=Q,則P是q的充要條件；

若P&Q,且Q2P,則p是q的既不充分也不必要條件.

4.（2018天津，理4,5分）設xGR,則“卜眠”是“xY”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.

由上;恰得gxgg,解得0<x<l.

由x，<l得x〈l.當0<x<l時能得到x<l一定成立；當x<l時,0<x<l不一定成立.所以“|尸

是“x”l”的充分而不必要條件.

方法總結（1）充分、必要條件的判斷.解決此類問題應分三步:①確定條件是什么，結論是什

么;②嘗試從條件推結論,從結論推條件;③確定條件和結論是什么關系.

（2）探究某結論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目，可先從結論出發(fā),求出使結論成

立的必要條件，然后驗證得到的必要條件是否滿足充分性.

5.（2018浙江,6,4分）已知平面a,直線m,n滿足mda,nCa,則"m〃n"是"m〃a"的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案AVmda,nUa,m〃n,...m〃a,故充分性成立.而由m〃a,nUa,得m〃n或m與n

異面,故必要性不成立.故選A.

3

6.（2017北京理,6,5分）設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)入，使得m=An”是“m?n〈0”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A由存在負數(shù)入，使得m=An,可得m、n共線且反向，夾角為180。，則

m,n=-1m||n|<0,故充分性成立.由m,n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.

故選A.

7.（2016北京理,4,5分）設a,b是向量.則“|a|=b"是“|a+b|=|a-b|”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案D當[a|=|b|=0時，|a|=|b|=|a+b|=|a-b|.

當|a|=|b|#0時，|a+b=Ia-b|<=>（a+b）?=（a-b）20a,b=0<=>a±b,推不出|a|=b.同樣，由

|a|=|b|也不能推出a_Lb.故選D.

解后反思由向量加法、減法的幾何意義知：當a、b不共線，且|a|=|b|時,a+b與a-b垂直；

當aJ_b時，|a+b|=|a-b|.

評析本題考查向量的模及運算性質，屬容易題.

8.（2016天津理,5,5分）設｛aj是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“q<0”是“對任意的

正整數(shù)%由向+&/。”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C若對任意的正整數(shù)n,a2l+a2<0,則久+22<0,又a。。,所以a<0,所以q上kO.若q〈0,

1rnai

可取q=-l,%=l,則為+E=1-1=0,不滿足對任意的正整數(shù)n.aze+a/O.所以可<0”是“對任

意的正整數(shù)n,也“產(chǎn)也“<0”的必要而不充分條件.故選C.

評析本題以等比數(shù)列為載體，考查了充分條件、必要條件的判定方法，屬中檔題.

9.（2016山東,6,5分）已知直線a,b分別在兩個不同的平面a,B內(nèi).則“直線a和直線b相

交”是“平面a和平面6相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4

答案A因為直線a和直線b相交，所以直線a與直線b有一個公共點，而直線a,b分別在

平面a,B內(nèi)，所以平面a與p必有公共點,從而平面a與p相交;反之,若平面a與p相交，

則直線a與直線b可能相交、平行、異面.故選A.

評析本題考查了線面的位置關系和充要條件的判斷.

'y》尸1,

10.（2016四川,7,5分）設P：實數(shù)X,y滿足（xT）2+（y-l）y2,q:實數(shù)x,y滿足y2\-x,則p

（yW1,

是4的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A如圖，作出p,q表示的區(qū)域，其中OM及其內(nèi)部為p表示的區(qū)域,Z\ABC及其內(nèi)部（陰

影部分）為q表示的區(qū)域,故P是q的必要不充分條件.

11.（2015重慶理,4,5分）“x〉l"是"logi（x+2）<0"的（）

2

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案B當x>l時,X+2>3>1,又y=log[X是減函數(shù)，

2

logj^（x+2）<log|l=0,則x>l=log1（x+2）<0;當logj（x+2）<0時,x+2>l,x>T,則

2222

logi（x+2）<0=/x>l.故"xX"是"logi（x+2）C0"的充分而不必要條件.選B.

22

12.（2015天津理,4,5分）設*￡兄則“16<2”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A因為|x-2|G等價于即l〈x<3,由于（1,2）[（1,3）,所以“kx<2”是

"|x-2|<lM的充分而不必要條件，故選A.

13.（2015湖南理,2,5分）設A,B是兩個集合,則“ADB=A”是“AUB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

5

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C若ACB=A，任取xGA,則xGACB,

；.xGB,故AUB;若AUB,任取xGA,都有xeB,

...xGAAB,.,.AU（ACB）,又AABUA顯然成立，，AnB=A.

綜上，"AAB=A”是“AUB”的充要條件，故選C.

14.（2015陜西理,6,5分）“sina=cosa”是“cos2a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A由sina=cosa,得cos2aFos,a-sin2a=0,即充分性成立.

由cos2a=0,得sina=±cosa,即必要性不成立.故選A.

15.（2014安徽理,2,5分）“x<0”是“l(fā)n（x+l）<0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案Bln（x+l）<0=0<x+l<lQT<x<0=x<0;而x<0=/-l<x<0,故選B.

16.（2014浙江理,2,5分）己知i是虛數(shù)單位,a,beR,則“a=b=l”是“（a+bi）、2i”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A當a=b=l時，有（l+i￥=2i,即充分性成立.當（a+bi）2=2i時,有a2-b2+2abi=2i,得

｛蒙J0,解得a=b=l或a=b=-l,即必要性不成立,故選A.

評析本題考查復數(shù)的運算，復數(shù)相等的概念,充分條件與必要條件的判定,屬于容易題.

17.（2014北京理,5,5分）設瓜｝是公比為q的等比數(shù)列.則“q>l”是“｛aj為遞增數(shù)列”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案D若q>l,則當a產(chǎn)T時,an=-q7｛aj為遞減數(shù)列所以“q>l"=/“｛aj為遞增數(shù)

列”；若人｝為遞增數(shù)"J,則當a.=-（,時,ai=W，q*l，即“人｝為遞增數(shù)列"=/“q〉l”.

故選D.

考點三簡單的邏輯聯(lián)結詞

6

1.（2014湖南理,5,5分）已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2.在命題

①pAq；②pVq；③pAO；④（邛）Vq中，真命題是（）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

答案C由不等式性質知:命題p為真命題，命題q為假命題，從而B為假命題,飛為真命題.

故pAq為假命題,pVq為真命題,pA（2）為真命題，Cp）Vq為假命題,故選C.

2.（2014遼寧理,5,5分）設a,b,c是非零向量.已知命題p:若a?b=0,b?c=0,則a?c=0;命

題4：若2〃13,1）〃5則@〃&則下列命題中真命題是（）

A.pVqB.pAq

C.5p）AQq）D.pVCq）

答案A由題意知命題p為假命題，命題q為真命題，所以pVq為真命題.故選A.

3.（2014重慶文,6,5分）已知命題p:對任意xCR,總有|x|》0;q:x=l是方程x+2=0的根.則

下列命題為真命題的是（）

A.pA-'qB.T>AqC.6八2D.pAq

答案A由題意知，命題p為真命題，命題q為假命題，故飛為真命題，所以p/\rq為真命題.

4.（2013課標I文,5,5分）已知命題p:VxGR,2<3';命題q:3xSR,x3=l-x2,則下列命題中為

真命題的是（）

A.pAqB.pAq

C.pAqD.pAq

答案B對于命題p,由于x=-l時,2彳>”;所以是假命題，故p是真命題；

對于命題q,設f（x）=Rx2-l,由于f（0）=-l<0,f（1）=1>0,所以f（x）=0在區(qū)間（0,1）上有解,即

存在xCR,故命題q是真命題.

綜上，pAq是真命題,故選B.

考點四全稱量詞與存在量詞

L（2015課標I理,3,5分）設命題p:mnGN,nZ>2",則”為（）

A.VneN,n2>2nB.3nGN,n2^2n

C.VnGN,n2<2"D.3nSN,n2=2n

答案C根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，知fp:VnGN,n2W2",故選C.

2.（2015浙江理,4,5分）命題“VnGN*,f（n）GN\af（n）Wn"的否定形式是（）

7

A.VnWN*,f(n)&N*且f(n)>n

B.VnGN*,f(n)&N*或f(n)>n

C.mn