專題08幾何證明解答題之壓軸題訓(xùn)練（2）1.（金山2020期末26）已知:CP是等邊△ABC的外角∠ACE的平分線，點D在邊BC上，以D為頂點，DA為一條邊作∠ADF=60°,另一邊交射線CP于F.(1)求證:AD=FD;(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(3)若點D在線段BC的延長線上，（1）中的結(jié)論還一定成立嗎？若成立，請證明．【答案】（1）見解析；（2）；（3）成立，證明見解析.【解析】解:（1）連接AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP=∠PCE=60°，∴∠ADF=∠ACP=60°，∴A、D、C、F四點共圓，∴∠AFD=∠ACB=60°，∴∠ADF=∠AFD=60°，∴∠DAF=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=FD；（2）過A作AM⊥BC于M，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=2，BM=BC=1，∴AM=,∵BD=x，∴MD=x-1，∵△ADF是等邊三角形，∴AD=DF=y，在Rt△AMD中，,∴，即；（3）如圖，同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，∴A、C、D、F四點共圓，∴∠FAD=∠FCD=60°，∴∠AFD=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=FD．2.（靜安市西2020期末28）如圖，已知，將一個直角的頂點置于點，并將它繞著點旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交射線于點，交的延長線于點，聯(lián)結(jié)交于點，設(shè).（1）當時，求的長；（2）若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若，求此時的長.【答案】（1）；（2）y=x+4（0≤x≤）；（3）.【解析】解：（1）如圖1中，∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，∴∠BCE=30°，∵AB⊥BC，∴∠CBE=90°，∴tan30°=，∴∴BE=．（2）如圖2中，作DM⊥BC于M．∵AG∥BC，AB⊥BC，∴AG⊥AB，∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，∴四邊形ABMD是矩形，∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，∴△DCM∽△CEB，∴∴，∴y=x+4，由題意可得，即解得：0≤x≤∴y=x+4（0≤x≤）；（3）如圖3中，∵CD=CF，∴∠CDF=∠CFD，∵AG∥BC，∴∠CFD=∠ADF，∴∠EDA=∠EDC，∵EA⊥DA，EC⊥DC，∴EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，∴（x+3）2=x2+42，∴x=，∴BE=．3.（浦東新區(qū)2020期末26）某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動時，碰到這樣一道題：“已知正方形AD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若，則EG=FH”．經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：（甲)過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；（乙)過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N.（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明(如圖1)（2）如果把條件中的“”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖2），試求EG的長度．【答案與解析】解：（1）選甲：證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N，∴AM=HF，BN=EG，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，∵EG⊥FH，∴AM⊥BN，∴∠BAM+∠ABN=90°，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠BAM=∠CBN，在△ABM和△CBN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△CBN，∴AM=BN，即EG=FH；選乙：證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，∴AM=HF，AN=EG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠AND，∴△ABM≌△ADN，∴AM=AN，即EG=FH；（2）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，∵AB=1，AM=FH=，∴在Rt△ABM中，BM=，將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB，∵EG與FH的夾角為45°，∴∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，從而△APM≌△ANM，∴PM=NM，設(shè)DN=x，則NC=1-x，NM=PM=+x在Rt△CMN中，（+x）2=+（1-x）2，解得x=，∴EG=AN=，答：EG的長為．4.（浦東南片十六校2020期末27）如圖，已知在中，，,點D在斜邊AB上，將沿著過點D的一條直線翻折，使點B落在射線BC上的點處，連接并延長，交射線AC于E.（1）當點與點重合時，求BD的長；（2）當點在延長線上時，設(shè)為，為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）連接，當是直角三角形時，請直接寫出的長.【答案】（1）1；（2）；（3）或；【解析】解：Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，AB=2，∴,，∵，∴，∴.（1）當點B與點C重合時,DC=DB，∠A=∠ADC=60，∴△ACD是等邊三角形，∴AD=AC=1，BD=1；（2）過D作DH⊥BC于H，Rt△BDH中，，，則，，中，EC=y，，則，，∴；（3）①∵BD=B’D,，∴的情況不成立；②當時，如圖，∵，∴，∴,∵AB+BD=AB=2，∴；③當時，如圖，∵,∴,∵BD=B’D,∴,∴,∴B’D=2AD，即BD=2AD，∵AD+BD=2，∴.∴或.5.（松江區(qū)2020期末26）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，點D、E分別是邊AB、AC上動點，點D不與點A、B重合，DE∥BC．（1）如圖1，當AE＝1時，求BD長；（2）如圖2，把△DEA沿著直線DE翻折得到△DEF，設(shè)CE＝x．①當點F落在斜邊BC上時，求x的值；②如圖3，當點F落在Rt△ABC外部時，EF、DF分別與BC相交于點H、G，如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．（直接寫出答案）【答案與解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝AC＝4，∵DE∥BC．∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD＝3；（2）①∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，∵把△DEA沿著直線DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，∴∠ACB＝∠CFE，∴CE＝EF，∴AE＝CE＝AC＝2；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC，∵把△DEA沿著直線DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，∴EC＝EH＝x，DG＝DB，∵CE＝x，∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，∴AD＝（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4﹣（4﹣x）＝x，∴S△DEF＝S△ADE＝AD×AE＝，∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，∴S△FHG＝×FH×FG＝（4﹣2x）×（4﹣2x）＝，∴y＝S△DE﹣S△FHG＝﹣＝（0＜x＜2）．6.（崇明區(qū)2020期末26）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，點P是邊AC上的動點（點P與點A不重合），D是邊AB上的動點，且PA=PD，ED⊥DP，交邊BC于點E.（1）求證：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）延長ED交CA的延長線于點F，聯(lián)結(jié)BP，若△BDP與△DAF全等，求線段PE的長.【答案】（1）略；（2）；（3）2；【解析】解：（1）證明：∵ED⊥DP，∴∠EDP=90，∴∠BDE+∠PDA=90，又∵∠ACB=90，∴∠A+∠B=90，∵PD=PA，∴∠PDA=∠A，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE；（2）如圖1，過點E作EH⊥BD于H，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，∴∠B=30，AB=6，∵BE=DE=x，EH⊥BD，∴EH=BE=x，∴Rt△BEH中，BH=，∵BE=DE，EH⊥BD，∴BD=2BH=，∴；（3）如圖2，∵延長ED交CA的延長線于點F，∴∠ADF=∠BDE=∠B=60，∵∠CAB=60，∴△ADF是頂角為120的等腰三角形，∵△BDP與△DAF全等，∠PDB=120，∴PD=BD，∵PD=AD，∴AD=BD，點P與點C重合，∴y=3,∴x=即BE=，PE=2.7.（奉賢區(qū)2020期末26）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，點F是AB中點，點D是射線CB上的一個動點，△ADE是等邊三角形，聯(lián)結(jié)EF.（1）如圖1，當點D在線段CB上時，①求證：△AEF≌△ADC；②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)C、D間距離為x，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（2）當∠DAB=15°時，求△ADE的面積（直接寫出答案）.【答案】（1）①略；②;(3)或;【解析】解:（1）①證明：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5.∵F是AB的中點，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等邊△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD即∠DAC=∠EAF，在△ADC與△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS);②∵△ADC≌△EAF,∴∠EFA=∠C=90,又F是AB中點，∴EF是AB的中垂線，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（3）或.8.（普陀區(qū)2020期末25）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，點D是邊AB的中點，點E是邊AC上一個動點，作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點M、N，設(shè)AM=x，ME=y.（1）當點E與點C重合時，求ME的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當MN經(jīng)過△ABC一邊中點時，請直接寫出ME的長.【答案】（1）2；（2）；【解析】解:（1）∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30.∵點D是AB的中點，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，聯(lián)結(jié)MD，∵MN垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∠ADM=90，在Rt△AMD中，由勾股定理得DM=2，得ME=2；（2）聯(lián)結(jié)MD，∵MN垂直平分ED，∴ME=MD，∵ME=y，∴MD=y，過點M作AB的垂線，垂足為F，在Rt△MAF中，由勾股定理得MF=，AF=，∴FD=，在Rt△MDF中，，即，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.9.（長寧區(qū)2020期末25）在直角坐標系xoy中，已知：A、B兩點的坐標為A(2,2)、B(5,1).（1）求A、B兩點的距離；（2）在x軸上找一點C，使△ABC為等腰三角形，求滿足要求的點C的坐標.【答案】（1）；（2）（3，0），，，（8，0），（2，0）；【解析】解:（1）∵A、B兩點的坐標為A(2,2)、B(5,1)，∴AB＝=；（2）由題意設(shè)x軸上點C的坐標為(m,0)，△ABC為等腰三角形有三種情況：①AC=BC；②AC=AB；③BC=AB.①當AC=BC時，=，∴，解得m=3，此時點C的坐標為（3，0）；②當AC=AB時，=，∴，∴或，此時點C的坐標為或；③當BC=AB時，=，∴，解得m=8或2，此時點C的坐標為（8，0）或（2，0）；綜上述，在x軸上找一點C，使△ABC為等腰三角形，滿足要求的點C的坐標有：（3，0），，，（8，0），（2，0）.10.（奉賢部分校2019期中26）如圖，在等邊△ABC中，AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為邊在CD的下方作等邊△CDE，聯(lián)結(jié)BE.（1）∠CAM=度；（2）當點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動點D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否會發(fā)生變化？請說明理由.【答案】（1）30；（2）略；（3）不會變化；【解析】解:（1）∵等邊△ABC中，∴∠BAC=60，又AM為BC邊上的中線，∴AM平分∠BAC，∴∠CAM=∠BAC=30；（2）證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC=BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC；（3）不變化.證明：①點D在線段AM上時，由△ADC≌△BEC，得∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACM=60；②點D在線段AM的延長線上時，同①∠AOB=∠ACM=60；③點D在線段MA的延長線上時，設(shè)AM交CE于點H，同理可得△ADC≌△BEC，∴∠CDA=∠CEB，又∠AHC=∠EHO，∴∠AOB=∠DCE=60，綜上，∠AOB的度數(shù)不會變化.11.（閔行區(qū)2020期中27）如圖，已知：△ABC是等邊三角形，CE是△ABC的外角∠ACM的平分線，點D為射線BC上一點，且∠ADE＝∠ABC，DE與CE相交于點E．（1）如圖1，如果點D在邊BC上，求證：AD＝DE；（2）如圖2，如果點D在邊BC的延長線上，那么（1）的結(jié)論“AD＝DE”還能成立嗎？請說明理由．（3）如果△ABC的邊長為4，且∠DAC＝30°，請直接寫出線段BD的長度．（無需寫出解題過程）【答案與解析】解：（1）在AC上截取CN＝CD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴△CDN是等邊三角形，∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，∴∠AND＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠NDC，∴∠ADN＝∠EDC，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝60°∴∠DCE＝120°＝∠AND，在△ADN和△EDC中，，∴△ADN≌△EDC（ASA），∴AD＝ED；（2）在AC的延長線上截取CN＝CD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCN＝60°，∴△CDN是等邊三角形，∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，∴∠ECD＝∠AND，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠CDN，∴∠ADN＝∠EDC，在△ADN和△EDC中，，∴△ADN≌△EDC（ASA），∴AD＝DE；（3）當點D在線段BC上時，∵△ABC是等邊三角形，∠DAC＝30＝∠BAC，∴BD＝BC＝2，當點D在射線CM上時，∵∠DAC＝30°，∠ACB＝60°＝∠DAC+∠ADC，∴∠DAC＝∠ADC＝30°，∴AC＝DC＝4，∴BD＝8，綜上所述：BD的值2或8．12.（金山區(qū)2021期末26）如圖1，在中，，是中點是射線上一個動點，聯(lián)結(jié)，過點作的垂線，交射線于．（1）如圖2，如果點與點重合，求證：；（2）如圖3，如果，求的長；（3）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解；（2）PQ=；（3），，【解析】解：（1）在中，，D是AB的中點，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D與P重合，PQ=2PC；（2）過B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因為∠HCB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，當CP≤9時PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，當CP時PH=PC-9=x-9，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(x-9)2+27，即.13.（浦東新區(qū)2021期末26）如圖，在中，，，，點P是AB上的動點，聯(lián)結(jié)CP，并以CP為邊作等邊（點E在線段CP上方），M是線段AB的中點，聯(lián)結(jié)EM．（1）請猜想：線段EM與PB數(shù)量關(guān)系？線段EM與CB的位置關(guān)系？（2）請證明上題中你的猜想；（3）請猜想：點P在BM上移動時，四邊形ECPM的面積是否發(fā)生變化？并加以說明．【答案】（1）；EM//CB；（2）見解析；（3）面積不變；見解析【解析】解：（1）；EM//CB；（2）連接CM，∵在△ABC中，，，M是線段AB的中點，∴CM=，∠B=60°，∴△CBM是等邊三角形，∴CM=CB，∠MCB=60°，又∵以CP為邊作等邊，∴CE=CP，∠ECP=60°，∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP，∴∠ECM=∠PCB，在△ECM和△PCB中，∴△ECM≌△PCB，∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°，又∵∠MCB=60°，∴∠EMC=∠MCB，∴EM//CB；（3）過點M作MN⊥BC，由（2）已證△MCB為等邊三角形，∴MB=BC=2，∵MN⊥BC，∴∠BMN=，∴BN=∴在Rt△MCB中，，∴，又∵△ECM≌△PCB，∴點P在BM上移動時，=，即四邊形ECPM的面積不會發(fā)生變化．14.（浦東四署2021期末25）已知：在中，，，點為邊上一動點（與點不重合），連接，以始邊作．（1）如圖一，當且時，試說明和的