匯報(bào)人:馮老師2023-12-10基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義答案尤承業(yè)目錄CONTENCT引言拓?fù)淇臻g與子空間連續(xù)映射與同胚連通性緊致性分離公理與可數(shù)性習(xí)題答案01引言課程目標(biāo)介紹拓?fù)鋵W(xué)的基本概念、基本方法和基本應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的興趣和掌握拓?fù)鋵W(xué)的基本知識(shí)。適用對(duì)象數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、研究生及其他對(duì)拓?fù)鋵W(xué)有興趣的人員。課程簡(jiǎn)介定義重要性拓?fù)鋵W(xué)的定義與重要性拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形或空間在各種變形下保持不變的性質(zhì)的科學(xué)。拓?fù)鋵W(xué)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，對(duì)于推動(dòng)人類科技進(jìn)步具有重要意義。拓?fù)淇臻g給定一個(gè)集合及其子集的全體，若子集中任意兩個(gè)元素通過(guò)有限個(gè)交、并、補(bǔ)運(yùn)算可以相互包含或相等，則稱該集合及其子集的全體構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。若拓?fù)淇臻g中任意兩個(gè)不相交的開(kāi)集都存在不相交的開(kāi)集構(gòu)成的基，則稱該拓?fù)淇臻g具有基。拓?fù)淇臻g中任意一個(gè)集合的閉包是指包含該集合中所有點(diǎn)的最小閉集。拓?fù)淇臻g中任意一個(gè)集合的內(nèi)部是指包含該集合中所有點(diǎn)的最大開(kāi)集。拓?fù)淇臻g中任意一個(gè)集合的邊界是指該集合與它的補(bǔ)集的邊界的交集?；鶅?nèi)部邊界閉包拓?fù)鋵W(xué)的基本概念02拓?fù)淇臻g與子空間010203定義：拓?fù)淇臻g是一個(gè)集合X，它與一個(gè)子集族T滿足以下條件T中任意多個(gè)成員的交集屬于T。T中所有成員的并集也屬于T。拓?fù)淇臻g的定義與性質(zhì)性質(zhì)拓?fù)淇臻g是一個(gè)抽象概念，它可以用不同的方式定義，但它們都包含一些共同的基本性質(zhì)。拓?fù)淇臻g中的元素稱為點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以根據(jù)某種方式定義，但這種距離不是絕對(duì)的。在拓?fù)淇臻g中，一些基本的幾何概念，如點(diǎn)、直線、平面等，沒(méi)有明確的定義。01020304拓?fù)淇臻g的定義與性質(zhì)子空間的拓?fù)渑c原空間的拓?fù)湟恢?。性質(zhì)概念：如果拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集S也是拓?fù)淇臻g，那么S稱為X的一個(gè)子空間。子空間具有與原空間相同的基數(shù)。子空間的閉包等于它在原空間中的閉包。子空間的概念與性質(zhì)0103020405任何集合都可以被看作是拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g的子集是開(kāi)集或閉集。拓?fù)淇臻g的并集是開(kāi)集或閉集。拓?fù)淇臻g的交集是開(kāi)集或閉集。拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)03連續(xù)映射與同胚連續(xù)映射的定義設(shè)X，Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f：X→Y，如果對(duì)于X中的任意開(kāi)集V，都有f(V)在Y中是開(kāi)集，則稱f是連續(xù)映射。連續(xù)映射的性質(zhì)如果f：X→Y是連續(xù)映射，那么對(duì)于X中的任意閉集A，都有f(A)在Y中是閉集；對(duì)于X中的任意緊集A，都有f(A)在Y中是緊集。連續(xù)映射的定義與性質(zhì)如果拓?fù)淇臻gX和Y之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的映射f：X→Y，并且f和它的逆映射g：Y→X都是連續(xù)映射，那么稱X和Y是同胚的。同胚的空間具有相同的拓?fù)湫再|(zhì)，即它們之間的任何連續(xù)映射都可以通過(guò)一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的映射來(lái)相互轉(zhuǎn)化。同胚的定義與性質(zhì)同胚的性質(zhì)同胚的定義對(duì)于拓?fù)淇臻gX和Y，如果它們之間存在同胚映射，那么它們就屬于同一類拓?fù)淇臻g。也就是說(shuō)，在同胚的意義下，拓?fù)淇臻g只有一種分類。拓?fù)淇臻g的同胚分類一些重要的拓?fù)淇臻g包括歐幾里得空間、實(shí)數(shù)空間、復(fù)數(shù)空間等。這些空間具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，例如歐幾里得空間具有度量性質(zhì)，實(shí)數(shù)空間具有緊性等。重要的拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g的同胚分類04連通性80%80%100%連通性的定義與性質(zhì)設(shè)X是一個(gè)集合，如果X中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可通過(guò)X中的道路彼此相連接，則稱X是一個(gè)連通集。一個(gè)集合X是連通的，當(dāng)且僅當(dāng)它不包含兩個(gè)互不相交的非空子集。如果X是一個(gè)連通集，并且A、B是X的兩個(gè)子集，如果A不包含在B中，那么B不包含在A中。定義性質(zhì)1性質(zhì)2分類性質(zhì)1性質(zhì)2連通集的分類與性質(zhì)簡(jiǎn)單連通空間中，任意兩個(gè)不相交的閉集都是不相交的開(kāi)集。強(qiáng)連通空間中，任何閉集都是閉的開(kāi)集。根據(jù)連通集的定義，連通集可以分為簡(jiǎn)單連通空間和強(qiáng)連通空間。應(yīng)用1在圖形理論中，連通性用于研究圖形中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)是否可以通過(guò)連續(xù)改變圖形中的邊而相互連接。應(yīng)用2在電路理論中，連通性用于研究電路中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否可以通過(guò)連續(xù)改變電路中的元件而相互連接。連通性的應(yīng)用05緊致性緊致性的定義與性質(zhì)緊致性的定義如果一個(gè)集合的任何開(kāi)覆蓋都有有限子覆蓋，那么這個(gè)集合稱為緊致集。緊致性的性質(zhì)緊致集一定是有界的，即存在一個(gè)超球?qū)⒓习鼑饋?lái)。同時(shí)，緊致集一定是閉的，即包含所有的極限點(diǎn)。根據(jù)定義，緊致集可以分為可數(shù)緊致集和不可數(shù)緊致集?？蓴?shù)緊致集是指存在可數(shù)基的緊致集，不可數(shù)緊致集是指不存在可數(shù)基的緊致集。緊致集的分類緊致集具有許多良好的性質(zhì)。例如，在實(shí)數(shù)空間中，緊致集一定是有限的或者可數(shù)的。此外，如果一個(gè)緊致集是可數(shù)的，那么它一定是閉的。緊致集的性質(zhì)緊致集的分類與性質(zhì)緊致性的應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中，緊致性是一個(gè)非常重要的概念。它被用來(lái)解決許多重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如微積分中的一致收斂問(wèn)題。微分方程在微分方程中，緊致性也被廣泛使用。例如，在解決微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，我們需要用到緊致性來(lái)證明解的存在性和唯一性。實(shí)分析在實(shí)分析中，緊致性是一個(gè)核心概念。它被用來(lái)證明許多重要的定理，例如Weierstrass定理和Arzela-Ascoli定理。數(shù)學(xué)分析06分離公理與可數(shù)性對(duì)于拓?fù)淇臻g中的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在包含x但不包含y的開(kāi)集。T1分離公理對(duì)于拓?fù)淇臻g中的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在包含x和不包含y的閉集。T2分離公理T1與T2分離公理可數(shù)性與可分性如果拓?fù)淇臻g中的開(kāi)集（或閉集）可以寫(xiě)成可數(shù)個(gè)兩兩不相交的開(kāi)集（或閉集）的并集，則稱該拓?fù)淇臻g具有可數(shù)性?？蓴?shù)性如果拓?fù)淇臻g可以寫(xiě)成兩個(gè)不相交的可數(shù)子空間的并集，則稱該拓?fù)淇臻g具有可分性。可分性歐幾里得空間的基本性質(zhì)歐幾里得空間是完備的、有界的、連通的、凸的、緊的、可數(shù)的、可定向的、具有有限維數(shù)的線性空間。要點(diǎn)一要點(diǎn)二希爾伯特空間的基本性質(zhì)希爾伯特空間是一個(gè)具有內(nèi)積結(jié)構(gòu)的完備線性空間，其上可以定義正交映射、正交變換和正交矩陣等概念。歐幾里得空間與希爾伯特空間的基本性質(zhì)07習(xí)題答案03拓?fù)涫茄芯繋缀螆D形或空間在連續(xù)變換下的不變性質(zhì)。01總結(jié)詞：基礎(chǔ)概念和性質(zhì)021.1什么是拓?fù)?？?章習(xí)題答案1.2拓?fù)鋵W(xué)研究的對(duì)象是什么？1.3什么是同胚？拓?fù)鋵W(xué)研究的是幾何圖形或空間在連續(xù)變換下的性質(zhì)。如果兩個(gè)拓?fù)淇臻g可以通過(guò)連續(xù)的變換相互轉(zhuǎn)化，那么它們被稱為是同胚的。第1章習(xí)題答案第2章習(xí)題答案0102032.1集合運(yùn)算有哪些性質(zhì)？集合運(yùn)算有結(jié)合律、交換律和單位元?？偨Y(jié)詞：集合運(yùn)算與子集性質(zhì)012.2子集有哪些性質(zhì)？02子集有包含關(guān)系、真包含關(guān)系和相等關(guān)系。032.3如何用符號(hào)表示集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算？04并運(yùn)算用符號(hào)“∪”表示，交運(yùn)算用符號(hào)“∩”表示，補(bǔ)運(yùn)算用符號(hào)“''”表示。第2章習(xí)題答案第3章習(xí)題答案01總結(jié)詞：分離性、緊致性和連通性023.1什么是分離性？分離性是指拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)可以與其它點(diǎn)分離的特性。0302030401第3章習(xí)題答案3.2什么是緊致性？緊致性是指拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)在某種意義下是有限的特性。3.3什么是連通性？連通性是指拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)不能被分成兩個(gè)不相交的子集的特性?？偨Y(jié)詞：基礎(chǔ)幾何構(gòu)造與性質(zhì)4.1如何定義線段、圓周和球面？線段是由兩個(gè)端點(diǎn)及它們之間的所有點(diǎn)組成的圖形；圓周是由固定的一點(diǎn)及該點(diǎn)周圍的所有點(diǎn)組成的圖形；球面是由固定的一點(diǎn)及該點(diǎn)周圍的曲面組成的圖形。第4章習(xí)題答案01020304$item1_c4.2如何計(jì)算線段、圓周和球面的長(zhǎng)度和面積？第4章習(xí)題答案$item1_c4.2如何計(jì)算線段、圓周和球面的長(zhǎng)度和面積？$item1_c4.2如何計(jì)算線段、圓周和球面的長(zhǎng)度和面積？4.2如何計(jì)算線段、圓周和球面的長(zhǎng)度和面積？