第五講曲線的凸凹及拐點(diǎn)同樣是單調(diào)上升的曲線,但卻有不同的彎曲方向,如何研究曲線的彎曲方向？曲線向上彎曲的弧段位于其上任一點(diǎn)處切線的上方,稱為上凹.1.1、問(wèn)題的提出一、曲線的凹向與拐點(diǎn)曲線向下彎曲的弧段位于其上任一點(diǎn)處切線的下方,稱為下凹.⑴定義4.31.2、曲線凹向的定義若在某個(gè)區(qū)間內(nèi),曲線弧位于其上任一點(diǎn)的切線上方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凹的;若曲線弧位于其上任一點(diǎn)的切線下方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的.注:

上凹簡(jiǎn)稱凹,也稱下凸;

下凹簡(jiǎn)稱凸,也稱上凸.⑵圖形分析結(jié)論:利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的增減性;

利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的凹凸性.1.3、曲線凹向的判定證明略。例1解定理4.10

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),⑴若對(duì)"x∈(a,b),有f"(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)上凹;⑵若對(duì)"x∈(a,b),有f"(x)<0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)下凹.注意到:例2.求y=x4-2x2+3的凹向區(qū)間.解列表考察的符號(hào)+-+上凹上凹下凹故下凹區(qū)間為,上凹區(qū)間為

從左圖可以看出：曲線上有兩點(diǎn)為曲線從上凹轉(zhuǎn)為下凹和從下凹轉(zhuǎn)為上凹的分界點(diǎn)，由于在這些點(diǎn)處曲線拐彎，故稱這種點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).1.4、曲線的拐點(diǎn)及其求法⑴曲線的拐點(diǎn):曲線上連接上凹與下凹的分界點(diǎn).注①拐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)f"(x)=0或f"(x)不存在;注②⑵求凹向區(qū)間,拐點(diǎn)的步驟：①寫出函數(shù)的定義域D(y)；②求出使f"(x)=0的點(diǎn)和使f"(x)不存在的點(diǎn)；③由上述點(diǎn)劃分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間,在各區(qū)間內(nèi),若

f"(x)>0,則為上凹區(qū)間;f"(x)<0,則為下凹區(qū)間;④若上述各點(diǎn)是不同凹向區(qū)間分界點(diǎn),則與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)就是拐點(diǎn);反之則不是拐點(diǎn).例3解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解例5.求曲線的凹向區(qū)間及拐點(diǎn).

解：+—上凹下凹故上凹區(qū)間：下凹區(qū)間：拐點(diǎn)解列表考察一階、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)例6

求增減、凹向區(qū)間、極值與拐點(diǎn).,x=1

不可導(dǎo)點(diǎn)

—+

++—不可導(dǎo)—++故函數(shù)的單增區(qū)間為(0,2)，單減區(qū)間為上凹區(qū)間,下凹區(qū)間,極小值,

極大值，拐點(diǎn)*定義四、小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法1,2.思考題思考題解答例二、曲線的漸近線2.1、漸近線的定義若曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)P與某條定直線L的距離趨于零，則稱該定直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.2.2、分類⑴水平漸近線例如有水平漸近線兩條:注:

設(shè)曲線y=f(x)

的定義區(qū)間為無(wú)限區(qū)間，⑴若則曲線向左無(wú)限延伸時(shí)，以直線

y=b1為其一條水平漸近線；⑵若則曲線向右無(wú)限延伸時(shí)，以直線

y=b2為其一條水平漸近線；⑶若則曲線向左右無(wú)限延伸時(shí)，都以直線

y=b為其水平漸近線.例8.求的水平漸近線解:故曲線向左延伸以y=0

為水平漸近線曲線向右延伸，以y=1為水平漸近線⑵鉛垂?jié)u近線如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處間斷，且則曲線向上方或下方無(wú)限延伸時(shí)，以直線x=a為鉛垂?jié)u近線.注意：①若x=a

是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，必為曲線的鉛垂?jié)u近線；②無(wú)窮大有正、負(fù)無(wú)窮大之分，具體解題應(yīng)分清.例如有鉛直漸近線兩條:例9.求的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線．解曲線向左右延伸以

y=1為水平漸近線x=0為函數(shù)的間斷點(diǎn)，又因?yàn)楣蕏=0為曲線的一條鉛垂?jié)u近線。例10.

求的鉛垂?jié)u近線.解：為間斷點(diǎn)故

x=1不是鉛垂?jié)u近線，故

x=-1是鉛垂?jié)u近線注意:

由于x→±∞時(shí),y→1;故y=1是水平漸近線.⑶斜漸近線斜漸近線求法:注意:注意：在同一個(gè)方向上，若曲線有水平漸近線，則必?zé)o斜漸近線，反之亦然.例11.

求的斜漸近線

解故y=x

為曲線的斜漸近線注：關(guān)于漸近線我們要防止如下的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：漸近線與曲線不能相交??是可以相交的！如例12解的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)(-+-=xxxxf漸近線都是直線,但斜率