4.1.2數(shù)列的遞推公式與前n項(xiàng)和第四章

數(shù)列2023/12/264.1數(shù)列的概念高二數(shù)學(xué)備課組引

入現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)按照確定的順序排列的一列數(shù)表格、圖象、通項(xiàng)公式本質(zhì)：函數(shù)遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列引

入

n=12或n=13引

入

探究新知探究新知例4圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4個大三角形中,著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng),寫出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式.換個角度觀察圖可以發(fā)現(xiàn)，從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的3倍.這樣，例4中的數(shù)列的前4項(xiàng)滿足：

a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3.由此猜測這個數(shù)列滿足公式像an=3an-1(n≥2)這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.探究新知5.數(shù)列的遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.如果知道了一個數(shù)列的首項(xiàng)或前幾項(xiàng)，以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了.

當(dāng)不能明顯看出數(shù)列的項(xiàng)的取值規(guī)律時,可以嘗試通過運(yùn)算來尋找規(guī)律.如依次取出數(shù)列的某一項(xiàng)，減去或除以它的前一項(xiàng)，再對差或商加以觀察.注意：(1)不是所有的數(shù)列都有遞推公式；(3)遞推公式表示an與它的前一項(xiàng)an－1(或前n項(xiàng))之間的關(guān)系，

通項(xiàng)公式表示an與n之間的關(guān)系．(2)當(dāng)用遞推公式給出一個數(shù)列時，必須給出：①數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)）

②遞推關(guān)系例5已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,遞推公式為

寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng).例題講解1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng)．(

)(2)有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)．()(3)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法．()(4)所有的數(shù)列都有遞推公式．()2.數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝(

)A．－3B．－11C．－5D．19D課堂練習(xí)例題講解探究新知6.數(shù)列的前n項(xiàng)和：我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即

如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.顯然S1=a1，問題1數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與數(shù)列的通項(xiàng)公式有何聯(lián)系？于是我們有Sn

=a1+a2+a3+...+an-1+an，an=Sn-Sn-1,n≥2a1=S1,n=1探究新知問題2

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=n2+n，你能求出{an}的通項(xiàng)公式嗎?例題講解1.根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式分段求解,檢驗(yàn)結(jié)果能否統(tǒng)一形式例題講解例題講解總結(jié)：例題講解累加法例題講解累乘法例題講解例題講解例題講解