水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第二章水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)一、拉格朗日法.運(yùn)動(dòng)要素(水力要素)指表示液體運(yùn)動(dòng)的各種物理量。運(yùn)動(dòng)要素不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，還是時(shí)間的函數(shù)，即拉格朗日(Lagrange)法就是把液體運(yùn)動(dòng)看作是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總和，以研究個(gè)別液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過(guò)研究足夠多的液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)掌握整個(gè)液流的運(yùn)動(dòng)情況。所以，這種方法又稱為質(zhì)點(diǎn)系法。取某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)來(lái)代表該質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)既與質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)有關(guān)，又與時(shí)間有關(guān)，即認(rèn)為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)是初始坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)，可以表示為：拉格朗日法在概念上并無(wú)新鮮之處，和以往所習(xí)慣使用的方法一樣，因此，易于掌握。但由于液體的運(yùn)動(dòng)軌跡非常復(fù)雜，要尋求為數(shù)眾多的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，除了較簡(jiǎn)單的情況外，將會(huì)在數(shù)學(xué)上導(dǎo)致難以克服的困難。況且從實(shí)用的觀點(diǎn)來(lái)看，實(shí)際工程中并無(wú)必要了解液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的詳盡過(guò)程，因此，這種方法在水力學(xué)上很少采用，僅在個(gè)別情況下，例如研究波浪運(yùn)動(dòng)和射流軌跡等問(wèn)題時(shí)，才考慮應(yīng)用該方法。在水力學(xué)中普遍采用的是歐拉法。二、歐拉法歐拉法就是把液體的運(yùn)動(dòng)看作是各個(gè)空間點(diǎn)上不同液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況的總和。也就是說(shuō)，在液體運(yùn)動(dòng)的空間里取許多空間點(diǎn)，研究某一瞬時(shí)經(jīng)過(guò)這些空間點(diǎn)的不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況（如流速、壓強(qiáng)的變化等），所有這些質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況的總和就使我們掌握了這一瞬時(shí)整個(gè)液流的運(yùn)動(dòng)情況；如果研究很多瞬時(shí)，就能了解某一時(shí)段液流的運(yùn)動(dòng)情況。顯然，這種研究方法并不注意液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，即這些質(zhì)點(diǎn)在來(lái)到該空間點(diǎn)以前和經(jīng)過(guò)該空間點(diǎn)以后是如何運(yùn)動(dòng)的，而集中注意當(dāng)質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)該空間點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)歐拉法的思想，在不同時(shí)刻有不同的液體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)同一空間點(diǎn),它們的運(yùn)動(dòng)速度一般來(lái)講是不同的，即對(duì)固定空間點(diǎn)而言，速度隨時(shí)間t而變；在同一時(shí)刻t，處于不同空間點(diǎn)上的液體質(zhì)點(diǎn)其速度一般來(lái)講也是不同的，即對(duì)固定瞬時(shí)而言，速度是隨著空間位置坐標(biāo)而變的。綜上所述，速度應(yīng)該是空間位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即，這是一個(gè)矢性函數(shù)，在應(yīng)用上常寫(xiě)成投影式，其中的坐標(biāo)變量稱為歐拉變數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，可得到流速液體質(zhì)點(diǎn)的加速度由二部分組成，，稱為.二是同一時(shí)刻由于空間位置的不同而引起的加速度，稱為遷移加速度或位變加速度。最后必須說(shuō)明，兩種描述流動(dòng)的方法只是看問(wèn)題的角度不同，著眼點(diǎn)不同，并沒(méi)有本質(zhì)上或原則上的區(qū)別，拉格朗日表達(dá)法和歐拉表達(dá)法是可以相互轉(zhuǎn)化的。究其原因，從物理概念上講，流場(chǎng)是運(yùn)動(dòng)的液體質(zhì)點(diǎn)占據(jù)整個(gè)流動(dòng)區(qū)域構(gòu)成的，因而流場(chǎng)空間點(diǎn)上反映出來(lái)的運(yùn)動(dòng)要素值及其隨時(shí)間的變化當(dāng)然是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。換言之，流場(chǎng)中的流動(dòng)情況自然也可反映或轉(zhuǎn)化成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。這些就是上述兩種方法可以轉(zhuǎn)化的依據(jù)。不過(guò)，歐拉法的著眼點(diǎn)是流場(chǎng)，便于直接運(yùn)用場(chǎng)論分析液流問(wèn)題；而且對(duì)加速度來(lái)講，在歐拉法中是速度場(chǎng)的一階偏導(dǎo)數(shù)，但在拉格朗日法中是位移的二階偏導(dǎo)數(shù)。因此，數(shù)學(xué)處理上歐拉法也較為方便，故今后除特別說(shuō)明外，都采用歐拉法的觀點(diǎn)研究問(wèn)題。液體運(yùn)動(dòng)的基本概念一、恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流是根據(jù)運(yùn)動(dòng)要素是否隨時(shí)間變化來(lái)劃分的。恒定流是指流場(chǎng)中任一點(diǎn)處所有的運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間而變化的流動(dòng)，也稱為穩(wěn)定流、定常流。即非恒定流是指流場(chǎng)中任一點(diǎn)處有任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間而變化的流動(dòng)，也稱為非穩(wěn)定流、非定常流。在非恒定流條件下，其運(yùn)動(dòng)要素表達(dá)式為，，。二、跡線與流線跡線 液體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不同時(shí)刻所占據(jù)的空間位置的連線，。 某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的一條空間曲線，流線的性質(zhì)：①流線上任一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)的流速矢量方向。同一瞬時(shí)的流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折，只能是一條光滑的曲線。恒定流時(shí)流線的形狀不隨時(shí)間改變，非恒定流時(shí)的流線隨時(shí)間改變，即非恒定流的流線具有瞬時(shí)性，不同瞬時(shí)流線各不相同。恒定流時(shí)流線與跡線相重合。流線分布的疏密程度反映流速的大小，密則大，疏則小。流線的形狀總是盡可能接近邊界的形狀。從上述流線的性質(zhì)可以理解到，流線是空間流速分布情況的形象化，它類似于電力線和磁力線。如果獲得了某一瞬時(shí)許多流線，就了解了該瞬時(shí)整個(gè)液流的運(yùn)動(dòng)圖景。在水流中任意取一微分面積，通過(guò)該面積周界上的每一點(diǎn)均可作出一條流線，這無(wú)數(shù)條流線組成的封閉的管狀曲面就稱為流管。根據(jù)流線的性質(zhì)，不難得到流管的性質(zhì)：①恒定流時(shí)流管的形狀不隨時(shí)間改變，非恒定流時(shí)流管的形狀隨時(shí)間而變。②由于流管的側(cè)壁是由流線構(gòu)成的，由流線不能相交的性質(zhì)可得出液體只能在流管以內(nèi)或以外運(yùn)動(dòng)，不能穿越流管側(cè)壁由里向外或有外向里流動(dòng)。四、元流（微小流束）充滿以流管為邊界的一束液流就稱為微小流束或元流。流管的性質(zhì)也就是微小流束的性質(zhì)，但還需要補(bǔ)充一點(diǎn)，由于微小流束的橫斷面面積是微分量，故在一般的水力學(xué)分析中均認(rèn)為該斷面上的水力要素是均勻分布的，即以某一點(diǎn)的流速和壓強(qiáng)代表該面上的平均流速和平均壓強(qiáng)。有一定大小尺寸的實(shí)際水流都稱為總流。總流可以看作是由無(wú)數(shù)多個(gè)元流所組成。一切實(shí)際水流均可視為總流。與微小流束或總流流線呈正交的橫斷面稱為過(guò)水?dāng)嗝?，其面積以dA或A表示，單位為m2。過(guò)水?dāng)嗝婵赡苁瞧矫?，也可能是曲面，其形狀主要與流線分布情況有關(guān)。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w體積稱為流量，以Q表示，單位為m3/s。微小流束流量：。總流流量顯然，要利用該式計(jì)算流量，必須知道過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紆的表達(dá)式，但由于流速分布u的表達(dá)式一般不易得到，故工程實(shí)際中常直接或間接來(lái)量測(cè)流量。對(duì)河渠或管道而言，流量的大小是它們輸運(yùn)液體能力大小的體現(xiàn)。斷面平均流速是假想的在過(guò)水?dāng)嗝嫔暇鶆蚍植嫉牧魉?，以它通過(guò)的流量和真實(shí)流速分布通過(guò)的流量相等。斷面平均流速常用v表示，單位為m/s。由斷面平均流速的定義可知：。根據(jù)水力要素與空間自變量的關(guān)系,水流分為一元流、二元流、三元流。流場(chǎng)中任一點(diǎn)的液體運(yùn)動(dòng)要素僅與一個(gè)空間自變量（流程坐標(biāo)）有關(guān)，這種水流稱為一元流，其一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為。這里流程坐標(biāo)S既可以是直線，也可以是曲線，實(shí)際水流常有一主要的運(yùn)動(dòng)方向。流場(chǎng)中任一點(diǎn)的液體運(yùn)動(dòng)要素與二個(gè)空間自變量有關(guān)，這種水流稱為二元流，或稱平面運(yùn)動(dòng)。其一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為。實(shí)際工程中，當(dāng)水流某一方向的幾何尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其余兩個(gè)方向的尺度時(shí)，就可作為平面運(yùn)動(dòng)處理。流場(chǎng)中任一點(diǎn)的液體運(yùn)動(dòng)要素與三個(gè)空間自變量有關(guān)，這種水流稱為三元流，或稱空間運(yùn)動(dòng)。其一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為。1、當(dāng)水流的流線為相互平行的直線時(shí)，該水流稱為均勻流。管徑不變的直線管道中的水流就是均勻流的典型例子。均勻流的特點(diǎn):流線為相互平行的直線。流速沿程不變，即均勻流為等速直線運(yùn)動(dòng)。過(guò)水?dāng)嗝鏋槠矫妫倚螤畛叽缪爻滩蛔?。任一過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植季嗤?，斷面平均流速均相等。均勻流同一過(guò)水?dāng)嗝嫔系膭?dòng)水壓強(qiáng)按靜水壓強(qiáng)規(guī)律分布，即均勻流同一過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的測(cè)壓管水頭維持同一常數(shù)。2＞非均流若水流流線不是相互平行的直線，該水流稱為非均勻流。按流線不平行和彎曲的程度，又將非均勻流分為漸變流和急變流兩種類型。當(dāng)水流的流線近乎于平行的直線時(shí)，這樣的水流稱為漸變流。流線近乎于平行的直線從數(shù)學(xué)上講，是指流線之間夾角很小或流線的曲率半徑很大。至于流線的夾角小到什么程度或流線的曲率半徑大到什么程度，一般并無(wú)定量的標(biāo)準(zhǔn)，要看對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題所要求的精度由于漸變流的流線近乎于平行的直線，因此，可以近似地認(rèn)為：過(guò)水?dāng)嗝鏋槠矫妫渖蟿?dòng)水壓強(qiáng)也按靜水壓強(qiáng)規(guī)律分布。2＞急變流若水流的流線之間夾角很大或曲率半徑很小，這種水流稱為急變流。急變流條件下，動(dòng)水壓強(qiáng)不按靜水壓強(qiáng)規(guī)律分布。至于急變流的動(dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律往往要通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以確定。但根據(jù)流線彎曲的方向，可以初步判定動(dòng)水壓強(qiáng)與靜水壓強(qiáng)之間的大小關(guān)系。水流運(yùn)動(dòng)和其它物質(zhì)運(yùn)動(dòng)一樣,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循質(zhì)量守恒定律。。式中，A1,v1,A2,v2分別為1—1斷面和2—2斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e和斷面平均流速。方程的意義：（1）不可壓縮實(shí)際液體一元恒定總流中，任意兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫠ㄟ^(guò)的流量相等。（2）不可壓縮實(shí)際液體一元恒定總流中，任意兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝娴臄嗝嫫骄魉倥c過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比。連續(xù)方程是水力學(xué)的三大方程之一，是一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，也是解決水力學(xué)問(wèn)題的重要公式之一，它總結(jié)和反映了過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與斷面平均流速沿流程的變化規(guī)律。當(dāng)沿程有流量的分出和匯入時(shí)，連續(xù)方程可推廣應(yīng)用。根據(jù)質(zhì)量守恒原理，流入的流量必然等于流出的流量，即。元恒定總流的能量方程式中，z表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w具有的平均位能，稱為平均位置水頭；表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w具有的平均壓能，稱為平均壓強(qiáng)水頭；表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w的具有的平均動(dòng)能，稱為平均流速水頭；表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w從1—1斷面流到2—2斷面過(guò)程中的平均能量損失，稱為平均水頭損失。表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w具有的平均勢(shì)能，稱為測(cè)壓管水頭；表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓康囊后w具有的總機(jī)械能，稱為總水頭。能量方程的應(yīng)用條件及注意事項(xiàng)：應(yīng)用能量方程時(shí)應(yīng)滿足下列條件：(1)水流必須是恒定流。(2)作用于液體上的質(zhì)量力只有重力。(3)在所選取的兩個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫔?，水流符合漸變流條件，而兩斷面間可以有急變流。(4)流量保持不變，即無(wú)液體流出或流入。(5)液體是均質(zhì)的，不可壓縮的。(6)液體運(yùn)動(dòng)的固體邊界靜止不動(dòng)。在有流量分出和匯入的情況下，能量方程可以推廣應(yīng)用。能量方程有7項(xiàng)，一個(gè)方程只能求解一個(gè)未知量，考慮連續(xù)方程可減少一個(gè)未知量，那還有5項(xiàng)必須是已知的。在實(shí)際問(wèn)題中，能提供5項(xiàng)已知量的情況是不多的，因此，在應(yīng)用能量方程時(shí)應(yīng)設(shè)法減少未知量數(shù)目，這就使能量方程應(yīng)用中的“三選”顯得更為重要，也更有技巧。所謂“三選”是指基準(zhǔn)面選擇、漸變流過(guò)水?dāng)嗝孢x擇、液流質(zhì)點(diǎn)選擇，具體分述如下：基準(zhǔn)面選擇：基準(zhǔn)面可以任意選，但一定要是水平面，并且1-1與2-2斷面必須用同一基準(zhǔn)面。一般將基準(zhǔn)面選在某一過(guò)水?dāng)嗝嬉毫髻|(zhì)點(diǎn)所在的水平面上，這樣z=0,相當(dāng)于減少了一個(gè)未知量。漸變流過(guò)水?dāng)嗝孢x擇：選擇的過(guò)水?dāng)嗝姹仨毞蠞u變流條件?？梢赃x任意的漸變流斷面列方程，但漸變流斷面的序號(hào)卻不是任意編的，約定：上游斷面為1-1，下游斷面為2-2，即從上游向下游斷面序號(hào)遞增。一般水箱或水池的液面、收縮斷面C-C、自由出流壓力管道的出口斷面等都是較理想的漸變流斷面。液流質(zhì)點(diǎn)選擇：過(guò)水?dāng)嗝嫔铣錆M了液流質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)液流質(zhì)點(diǎn)的單位勢(shì)能和單位動(dòng)能都相等。因此，過(guò)水?dāng)嗝嫔系闹悼梢匀芜x一方便的液流質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算。通常選管軸線上或液面上的液體質(zhì)點(diǎn)建立能量方程。值得注意的是，漸變流斷面上中的兩個(gè)動(dòng)水壓強(qiáng)值必須采用同一個(gè)壓強(qiáng)量度基準(zhǔn)。在計(jì)算中，壓力表或真空表的讀數(shù)都是相對(duì)壓強(qiáng)，而且其讀數(shù)值常作為管軸線上或液面上的壓強(qiáng)值。具體解題時(shí)，“三選”應(yīng)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行，并注明在圖上，以便驗(yàn)算。除此而外，能量方程應(yīng)用時(shí)還要注意以下兩點(diǎn)：⑷動(dòng)能修正系數(shù)a1、a2,嚴(yán)格說(shuō)并不相同，但可近似取1.0（特殊情況例外，如水躍的躍后斷面）。（5）水頭損失不得遺漏，并且能量方程常與連續(xù)方程配合應(yīng)用。二、水頭線圖能量方程反映液流機(jī)械能守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律，能量方程中的每一項(xiàng)都具有長(zhǎng)度量綱，因此，就可以用縱坐標(biāo)表示水頭的大小，以橫坐標(biāo)表示流程，按一定的比例尺把位置水頭、壓強(qiáng)水頭、流速水頭分別繪于圖上，這個(gè)圖稱為水頭線圖。水頭線圖（總水頭線和測(cè)壓管水頭線）形象地反映了液體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各項(xiàng)機(jī)械能沿程變化情況，具有直觀、清晰、明了的優(yōu)點(diǎn)，尤其在管道設(shè)計(jì)中，繪出水頭線圖更易于了解沿程各斷面壓強(qiáng)的變化，是否存在負(fù)壓等問(wèn)題。借助水頭線圖可以判斷水流流向；可以確定任一流段上水頭損失的大?。豢梢粤私馊我粩嗝嫔衔恢盟^、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭、流速水頭、總水頭的大小及上述各項(xiàng)水頭沿流程的變化情況。三、有能量輸入或輸出的能量方程前面介紹的恒定總流能量方程是針對(duì)總流本身在斷面1—1和斷面2—2之間各項(xiàng)機(jī)械能的轉(zhuǎn)化和損耗，而沒(méi)有考慮到另外的能量輸入或輸出。當(dāng)管路系統(tǒng)有水泵或水輪機(jī)等水力機(jī)械，而能量方程的1-1與2-2過(guò)水?dāng)嗝嬷g又正好包括了這些水力機(jī)械時(shí)，就必須采用有能量輸入或輸出的能量方程，其形式為：式中：Hm為單位重量液體所獲得或失去（輸入或輸出）的機(jī)械能，對(duì)水泵取“+”，對(duì)水輪輪機(jī)取“-”，hw1-2為兩斷面間管路系統(tǒng)的水頭損失，不包括水流流經(jīng)水泵或水輪機(jī)的損失。由于水流通過(guò)水泵時(shí)有漏損和水頭損失，水泵自身還有機(jī)械磨損，所以，水泵所做的功必須大于水流實(shí)際獲得的能量。常用水泵效率來(lái)反映損失的大小，其配套功率按下式計(jì)算。式中，HP為水泵揚(yáng)程，，z為地形揚(yáng)程或幾何揚(yáng)程，等于出水池與進(jìn)水池之間的水位差，為整個(gè)管路系統(tǒng)的全部水頭損失。對(duì)水輪機(jī)而言，水流通過(guò)水輪機(jī)時(shí)同樣有漏損和水頭損失，水輪機(jī)自身也有機(jī)械磨損，所以，水輪機(jī)的處處功率要小于水流給予水輪機(jī)的功率，其損失影響可用水輪機(jī)效率來(lái)表示，水輪機(jī)的實(shí)際出力可用下式計(jì)算。式中，Ht為水輪機(jī)的作用水頭，，z為靜水頭，等于進(jìn)水池與尾水之間的水位差，為整個(gè)管路系統(tǒng)的全部水頭損失。廣泛應(yīng)用于測(cè)量渠道、管道中水流點(diǎn)流速的儀器.利用能量轉(zhuǎn)化（動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能）原理可得：或??式中，為校正系數(shù)常取0.98~1.0。二、文丘里流量計(jì)用來(lái)測(cè)定管道中流量的儀器.由收縮段、收縮段、喉管、擴(kuò)散段三部分組成。將文丘里流量計(jì)安裝在欲測(cè)量流量的管道上，在管道和喉管上分別設(shè)置測(cè)壓管或差壓計(jì)，以測(cè)得這兩個(gè)斷面上的測(cè)壓管水頭差值，然后，運(yùn)用能量方程即可計(jì)算出通過(guò)管道的流量。管道斷面為圓形，設(shè)進(jìn)口直徑為di,喉管斷面直徑為d2,通過(guò)管道的流量：其中，，顯然，系數(shù)K只是管徑di和d2的函數(shù)，當(dāng)已知管徑di和d2時(shí)，K為定值，可以預(yù)先算出。故只要測(cè)出兩斷面測(cè)壓管水頭的差值h，就可方便地算出流量Q。實(shí)際流量為，其中U稱為文丘里流量計(jì)的流量系數(shù)，M直隨流動(dòng)情況和管道收縮的幾何形狀而不同，使用文丘里流量計(jì)時(shí)應(yīng)事先加以率定。通常是通過(guò)試驗(yàn)直接測(cè)定Q?h關(guān)系，繪制曲線，以備查用。u的一般值約為0.95?0.98。如果文丘里流量計(jì)上直接安裝水銀差壓計(jì)，由差壓計(jì)原理不難推導(dǎo)出此時(shí)通過(guò)文丘里流量計(jì)的流量為，式中，h為水銀差壓計(jì)兩支水銀面的高差。三、孔口出流工程實(shí)際中常利用孔口和管嘴控制流量或量測(cè)流量，因此，其水力計(jì)算的主要任務(wù)就是確定其泄流量的大小。在貯水容器的底部或側(cè)壁開(kāi)一小孔，液體經(jīng)孔口流出的水力現(xiàn)象稱為孔口出流。水利工程中小型水庫(kù)的多級(jí)臥管放水孔、船閘閘室的充水或放水孔等都是孔口出流的例子。薄壁銳緣小孔口恒定自由出流的泄流量公式:式中，?，稱為流速系數(shù)；，稱為孔口的收縮系數(shù)，它與孔口的形狀、大小、位置以及水頭等因素有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定；，稱為孔口出流的流量系數(shù)，其值可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，薄壁銳緣小孔口完善收縮的局部水頭損失系數(shù) Z二0.05?0.06,動(dòng)能修正系數(shù)a二1,則流速系數(shù)申二0.97?0.98,收縮系數(shù)￡二0.63?0.64,流量系數(shù)|J二0.60?0.62。其它形狀孔口的有關(guān)系數(shù)可查閱水力計(jì)算手冊(cè)。當(dāng)孔口為淹沒(méi)出流時(shí)，作用于孔口任一點(diǎn)的上下游水位差都相等，因此，對(duì)淹沒(méi)出流就無(wú)大孔口和小孔口之分，公式的推導(dǎo)仍然用能量方程，得到的計(jì)算公式與上式相同，即，式中，z為上下游水位差；|J為流量系數(shù)，實(shí)驗(yàn)證實(shí)，自由出流與淹沒(méi)出流的流量系數(shù)幾乎相等，實(shí)際計(jì)算時(shí)就取自由出流的流量系數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。四、管嘴出流在孔口是接一段長(zhǎng)為（3?4）d的短管，液體經(jīng)短管流出的水流現(xiàn)象稱為管嘴出流。拱壩上的泄水孔、渠壁上的放水孔都屬于管嘴出流。液體經(jīng)管嘴流出時(shí)，一般情況下是首先發(fā)生液流的收縮，然后擴(kuò)大到充滿全管,收縮斷面將有負(fù)壓出現(xiàn)。式中，流速系數(shù)申、收縮系數(shù)￡及流量系數(shù)M與孔口出流的數(shù)值相同。由此可見(jiàn)，在孔口和管嘴面積相同、作用水頭相等的情況下，管嘴的泄流量要比孔口大，其原因是管嘴的有效水頭多了一項(xiàng)，這一項(xiàng)正好是收縮斷面的真空度值，實(shí)驗(yàn)表明，收縮斷面的真空度。這樣一來(lái)，上式可改寫(xiě)為，式中，|jn稱為管嘴的流量系數(shù)，其值為0.82。它與孔口出流具有相同表達(dá)式，只是將管嘴因負(fù)壓增大泄流量的部分反映在流量系數(shù)當(dāng)中。在孔口上接管嘴之后，雖然增大了水頭損失，但因負(fù)壓存在而增加的作用水頭大大超過(guò)了加管嘴之后水頭損失的增加值，最終表現(xiàn)為管嘴的泄流量仍然比孔口的泄流量大。為了利用管嘴的負(fù)壓增大泄流能力，就必須維持管嘴中真空區(qū)的存在。真空度是具有一定限度的，如果管嘴中真空度過(guò)大，外面的空氣就會(huì)經(jīng)過(guò)管嘴的出口斷面被吸入真空區(qū)，從而造成真空的破壞。一般管嘴中允許真空度不宜大于7米水柱,故由可知，圓柱形外伸管嘴的作用水頭不宜大于9米。此外，為形成管嘴出流，管嘴長(zhǎng)度宜為（3?4）d,不能太短，也不能太長(zhǎng)。管嘴長(zhǎng)度太短，流出的水股尚未擴(kuò)散到充滿全管就已流到出口，因而管嘴中不能形成并維持真空區(qū)。管嘴太長(zhǎng)，其水頭損失將會(huì)隨管嘴長(zhǎng)度的增加而增大，這是的流動(dòng)應(yīng)按管道恒定流處理。因此，保證圓柱形夕卜伸管嘴正常工作的條件是：①，②。第六節(jié)恒定流總流的動(dòng)量方程元恒定總流動(dòng)量方程的一般形式可表示為：動(dòng)量方程是矢量方程，在應(yīng)用時(shí)必須寫(xiě)為投影式：顯然，上述投影式中忽略了動(dòng)量修正系數(shù)在x、y、z三個(gè)方向上的差別。此夕，上述推證過(guò)程中，流量沿程不變，上游輸入動(dòng)量，下游輸出動(dòng)量。但實(shí)際工程中有的問(wèn)題不至于此，常見(jiàn)的有分岔管，對(duì)此，可將動(dòng)量方程推廣應(yīng)用，仍然以輸出的動(dòng)量減去輸入的動(dòng)量來(lái)表示單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的變化量，該變化量仍應(yīng)等于作用在該脫離體上所有外力的代數(shù)和。應(yīng)用動(dòng)量方程時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）動(dòng)量方程式是矢量式，須設(shè)投影軸，列投影方程求解。只有選定了投影軸的正方向，才能確定各外力及流速投影正負(fù)號(hào)。（2）控制體可任選，但一般取整個(gè)總流的邊界為控制體邊界。橫向邊界一般取過(guò)水?dāng)嗝?，而且要求為漸變流斷面。（3）動(dòng)量變化一定是輸出動(dòng)量減去輸入動(dòng)量，不可顛倒。（4）當(dāng)力為未知量時(shí)，可先假定力的方向。實(shí)際方向可從力的計(jì)算結(jié)果的正負(fù)號(hào)判斷。正號(hào)與假設(shè)方向相同，負(fù)號(hào)與假設(shè)方向相反。動(dòng)量方程的應(yīng)用步驟大致如下取脫離體。脫離體由下列諸控制面圍成：液流兩端的過(guò)水?dāng)嗝?，與流動(dòng)方向相垂直；固體（或氣體）邊界與液流的接觸面，與流動(dòng)方向相切。脫離體是任意取的，一般應(yīng)使脫離體內(nèi)包括盡可能多的已知條件和待求的量。分析脫離體上所受諸外力，即以外力代替控制面對(duì)脫離體內(nèi)液流的作用。夕卜力包括質(zhì)量力，只計(jì)脫離體內(nèi)液流的重力G,不包括慣性力。如計(jì)及慣性力，則!F=0O表面力，有脫離體兩端過(guò)水?dāng)嗝嫔系膭?dòng)水總壓力P1（順流向）和P2（逆流向）；脫離體側(cè)表面上所受固體（或氣體）對(duì)它的反作用力R（表現(xiàn)為壓力）；脫離體側(cè)表面上的水流阻力T;若脫離體內(nèi)有被液流所環(huán)繞的不動(dòng)的固體，其對(duì)液流的作用力N，也是—種表面力。選坐標(biāo)平面xoy。坐標(biāo)平面xoy的方位可以任意選，通過(guò)選坐標(biāo)平面使動(dòng)量方程中的未知項(xiàng)盡量減少。列動(dòng)量方程式。動(dòng)量和外力是矢量，它們被投影到坐標(biāo)軸上時(shí)，應(yīng)注意其正、負(fù)號(hào)。動(dòng)量的方向由流速方向確定。待求量按先行假定的方向計(jì)算，若計(jì)算結(jié)果待求量是正值，則表明假定是正確的；若計(jì)算結(jié)果是負(fù)值，則表明當(dāng)初假定的方向是錯(cuò)誤的，應(yīng)該相反。運(yùn)用動(dòng)量方程進(jìn)行水力計(jì)算時(shí)，關(guān)于動(dòng)水總壓力P有兩點(diǎn)需要注意：a）脫離體兩端的過(guò)水?dāng)嗝鎽?yīng)避免為急變流斷面，因?yàn)榧弊兞鲾嗝嫔系膭?dòng)水總壓力難以求解。b）動(dòng)量方程多用于計(jì)算液流對(duì)管、渠等固體邊界的作用力。由于大氣壓強(qiáng)到處存在，真正起作用的是相對(duì)壓強(qiáng)值，為了求得該作用力，動(dòng)水總壓力P1和P2應(yīng)當(dāng)以相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算。運(yùn)用動(dòng)量方程進(jìn)行水力計(jì)算時(shí)，由于脫離體的流段較短，水流阻力較其他外力很微小，可忽略不計(jì)。因此，一般可認(rèn)為：①脫離體內(nèi)液流的能量損失hw=0:②水平射流與光滑壁面接觸后，射流只改變方向不改變大??；③光滑壁面對(duì)水平射流的反作用力R與壁面相垂直，表現(xiàn)為壓力。一、流線及其微分方程流線是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的曲線，曲線上所有質(zhì)點(diǎn)的流速矢量均與該曲線相切。根據(jù)流線的定義，很容易建立流線的微分方程。在流線上取一微分段，因其無(wú)限小，故可近似看作直線。由流速與流線相切關(guān)系可知流速與具有相同的方向余弦，即聯(lián)立上式可得流線的微分方程式中，、、均是空間坐標(biāo)、、及時(shí)間變量的函數(shù)。又因流線是某一指定時(shí)刻的一條曲線，故在流線微分方程中時(shí)間變量不能作為獨(dú)立變量，只能是參變量。即要求某一時(shí)刻的流線時(shí)，只需將時(shí)間變量作為常數(shù)代入流線微分方程，然后積分處理。實(shí)際上，上式就是空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，不過(guò)這里是一段無(wú)限小的直線罷了。對(duì)平面流動(dòng)，流線微分方程將簡(jiǎn)化為二、跡線及其微分方程某一液體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所流經(jīng)的路線稱為跡線。設(shè)在微分時(shí)段內(nèi)，液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移為，相應(yīng)的流速為，相應(yīng)的投影式為聯(lián)立上式可得跡線的微分方程（12—3）式中，是自變量，空間坐標(biāo)、、都是時(shí)間變量的函數(shù)。在恒定流時(shí)，各運(yùn)動(dòng)要素與時(shí)間無(wú)關(guān)，流速只是位置坐標(biāo)的函數(shù)，此時(shí)跡線與流線相重合，相應(yīng)的微分方程表達(dá)式也是一樣的。液體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式一、液體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式在理論力學(xué)中，剛體有兩種基本運(yùn)動(dòng)形式，即平移和繞某瞬時(shí)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。而液體能夠流動(dòng)，發(fā)生變形，因此液體微團(tuán)具有四種基本運(yùn)動(dòng)形式，即：（1）平移運(yùn)動(dòng)：平移的速度為ux,uy,uz（2）線變形運(yùn)動(dòng)：線變形速度為3）角變形運(yùn)動(dòng)：角變形速度為4）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：旋轉(zhuǎn)角速度為式中：￡i-邊線變形速度,0i一角變形速度，小一旋轉(zhuǎn)角速度。在液體上述四種基本運(yùn)動(dòng)形式中，我們最關(guān)心的是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，它對(duì)討論液體的運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)的求解十分重要。如果液體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度3X=3y=3Z=0,則液體是無(wú)旋流動(dòng)或有勢(shì)流動(dòng)；當(dāng)3X、3y、3Z有一個(gè)不為0,則液體作有旋流動(dòng)或有渦流動(dòng)。液體微團(tuán)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)即旋轉(zhuǎn)角速度為零的運(yùn)動(dòng)稱為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，又稱無(wú)渦流、無(wú)渦運(yùn)動(dòng)；液體微團(tuán)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)即旋轉(zhuǎn)角速度不為零的運(yùn)動(dòng)稱為有旋運(yùn)動(dòng)，又稱有渦流、有渦運(yùn)動(dòng)。必須注意的是，這里所講的液體微團(tuán)有無(wú)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是指液體微團(tuán)繞其自身的軸旋轉(zhuǎn)，它與通常的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)并不相同。習(xí)慣上，將液體微團(tuán)繞其自身軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)稱為渦。液體運(yùn)動(dòng)是否為有旋運(yùn)動(dòng)，不能單純地從液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)看，而應(yīng)該看液體質(zhì)點(diǎn)本身是否作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。液體質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)本身可以無(wú)旋轉(zhuǎn)；反過(guò)來(lái)看，液體質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)本身也可以有旋轉(zhuǎn)。所以，必須弄清楚圓周運(yùn)動(dòng)與有旋運(yùn)決不是一回事對(duì)于無(wú)旋運(yùn)動(dòng)而言，由可得上式是無(wú)渦流必須滿足的條件。從高等數(shù)學(xué)可知，上式恰好是使為某一函數(shù)全微分的必要和充分條件，因此，對(duì)無(wú)渦流必然存在著下列關(guān)系。這個(gè)函數(shù)稱為流速勢(shì)函數(shù)，即無(wú)渦流的流速矢量是有勢(shì)的，故無(wú)渦流又稱有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。在有勢(shì)流動(dòng)中，存在著勢(shì)函數(shù)構(gòu)成了標(biāo)量場(chǎng)，如果為非恒定流動(dòng)，這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)應(yīng)為，其中，為代表時(shí)間的參數(shù)。需要說(shuō)明的是，流速勢(shì)函數(shù)雖然采用了“勢(shì)”這一物理名稱，但卻沒(méi)有明確的物理意義，只是為了研究問(wèn)題方便而引入的概念。因?yàn)閷?duì)無(wú)渦流，引入流速勢(shì)函數(shù)之后，流速分量、、可以通過(guò)流速勢(shì)函數(shù)求得。因此無(wú)旋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可歸結(jié)為求流速勢(shì)函數(shù)的問(wèn)題，使未知量由三個(gè)減少為一個(gè)，從而使流動(dòng)分析過(guò)程大大簡(jiǎn)化。實(shí)際工程中的孔口出流、滲流、高壩溢流等問(wèn)題都可按勢(shì)流求解，其正確性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。只要中有一個(gè)不等于零，流動(dòng)就是有旋運(yùn)動(dòng)，不存在流速勢(shì)函數(shù)，這是有渦流與無(wú)渦流之間的根本區(qū)別。有渦流的基本特征是：流場(chǎng)中有旋轉(zhuǎn)角速度存在，與流速一樣，旋轉(zhuǎn)角速度也是矢量，故可用描述流速矢量相類似的方法來(lái)描述旋轉(zhuǎn)角速度。各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度的方向可渦線來(lái)表示。渦線是某一瞬時(shí)有渦流場(chǎng)的一條曲線，曲線上各質(zhì)點(diǎn)在同一瞬時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與渦線相切。據(jù)此可寫(xiě)出渦線的微分方程如下：渦線的繪制方法與流線相同，渦線本身也不會(huì)相交，在恒定流時(shí)渦線的形狀也保持不變。與流管的概念類似，在有渦流場(chǎng)中任取一微分面積，通過(guò)該面積周界上的每一點(diǎn)作出一條渦線，無(wú)數(shù)條渦線組成的管狀曲面稱為渦管，渦管內(nèi)的液流稱為元渦或微小渦束或渦帶。類似于流量，微小渦束的斷面面積與2倍旋轉(zhuǎn)角速度的乘積稱為渦通量或稱為旋渦強(qiáng)度。式中，，稱為旋度，也稱渦量。可以用矢量表示為和有渦流有關(guān)的另一重要概念是速度環(huán)量。在流場(chǎng)中任取一封閉周線，流速矢量沿該曲線的積分稱為沿曲線的速度環(huán)量，以表示。規(guī)定積分的繞行方向逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。速度環(huán)量與渦通量之間的關(guān)系為式中，為以封閉周線為周界的曲面。上式表明：沿封閉周線的速度環(huán)量等于穿過(guò)以該曲線為周界的任一曲面的渦通量。這個(gè)關(guān)系式稱為斯托克斯定律。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可以通過(guò)分析速度環(huán)量來(lái)研究旋渦運(yùn)動(dòng)。如果封閉曲線包圍的是有勢(shì)流動(dòng)區(qū)，引旋轉(zhuǎn)角速度為零，故沿該曲線的速度環(huán)量也一定為零。自然界和工程實(shí)際中出現(xiàn)的絕大多數(shù)流動(dòng)屬于有渦流，如大氣中龍卷風(fēng)、管道渠道中的流體運(yùn)動(dòng)、繞流物體表面的邊界層及其尾部的流動(dòng)都是有旋運(yùn)動(dòng)。第十節(jié)恒定平面勢(shì)流的流函數(shù)和流速勢(shì)函數(shù)一、流函數(shù)及其性質(zhì)平面流動(dòng)中的流線方程uxdy-uydx二0能夠進(jìn)行積分的條件是：它必須是某函數(shù)屮(x,y)的全微分，我們把屮稱為流函數(shù)。流函數(shù)屮存在的充分必要條件是滿足不可壓縮液體的連續(xù)方程(推到略)：?對(duì)于連續(xù)的平面運(yùn)動(dòng)，流函數(shù)屮總是存在的。流函數(shù)與流速之間的關(guān)系可以表示為：流函數(shù)具有如下四個(gè)重要的性質(zhì)：在平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，即在數(shù)學(xué)上把滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)