PAGEPAGE1二次函數(shù)有關問題解答1．（2010河南）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S.求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標.【答案】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，則有解得∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+x﹣4（2）過點M作MD⊥x軸于點D.設M點的坐標為（m，n）.則AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n-2m=﹣2(m2＋m－4)-2m-8=﹣m2-4m(－4<m<0∴S最大值=4（3）滿足題意的Q點的坐標有四個，分別是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2－），（-2－，2＋）2．（2010四川內江）如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點（1）請求拋物線頂點M的坐標（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點的坐標；（2）經探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個比值；（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由..xxMABCyO【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4∴拋物線頂點M的坐標為（1，―4m∵拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B∴當y＝0時，mx2―2mx―3m∵m＞0，∴x2―2x―3＝0，解得x1＝－1，x,2＝3，∴A，B兩點的坐標為（－1,0）、（3,0）. 4分（2）當x＝0時，y＝―3m∴點C的坐標為（0，－3m）∴S△ABC＝EQ\f(1,2)×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分過點M作MD⊥x軸于D，則OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4xxMABCyODN∴S△BCM＝S△BDM＋S梯形OCMD－S△OBC＝EQ\f(1,2)BD·DM＋EQ\f(1,2)(OC＋DM)·OD－EQ\f(1,2)OB·OC＝EQ\f(1,2)×2×4m＋EQ\f(1,2)(3m＋4m)×1－EQ\f(1,2)×3×3m＝3m， 7分∴S△BCM：S△ABC＝1∶2. 8分（3）存在使△BCM為直角三角形的拋物線.過點C作CN⊥DM于點N，則△CMN為Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m∴MN＝DM－DN＝m,∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°時，CM2＋BM2＝BC2,即1＋m2＋4＋16m2＝9＋解得m＝±EQ\f(EQ\r(,2),2),∵m＞0，∴m＝EQ\f(EQ\r(,2),2).∴存在拋物線y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)使得△BCM是Rt△; 10分②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°時，BC2＋CM2＝BM2.即9＋9m2＋1＋m2＝4＋解得m＝±1,∵m＞0，∴m＝1.∴存在拋物線y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°時，BC2＋BM2＝CM2.即9＋9m2＋4＋16m2整理得m2＝－EQ\f(1,2)，此方程無解,∴以∠CBM為直角的直角三角形不存在.（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠綜上的所述，存在拋物線y＝EQ\f(EQ\r(,2),2)x2－EQ\r(,2)x－EQ\f(3EQ\r(,2),2)和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.3．（2010山東東營）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點△AB點xxOA（第23題圖）By【答案】解：（1）根據(jù)題意，得…2分解得…………3分xOA（第23題圖）ByCPxOA（第23題圖）ByCPx=2（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標C（5,0）.……………5分由于P是對稱軸上一點，連結AB，由于，要使△AB…………………6分AC對稱，連結BC交對稱軸于點P，則=BP+PC=BC根據(jù)兩點之間，線段最短，可得BCBC的交點P就是所求的點.……8分設直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為.…………………9分因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得所求的點P的坐標為（2，-3）.……………10分4．（2010湖北孝感）如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標為（2，0），直線與二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點，其中點A在y軸上。（1）二次函數(shù)的解析式為y=；（3分）（2）證明點不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖像上；（3分）（3）若C為線段AB的中點，過C點作軸于E點，CE與二次函數(shù)的圖像交于D點。①y軸上存在點K，使以K、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形，則K點的坐標是；（2分）②二次函數(shù)的圖像上是否存在點P，使得？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由。（4分）【答案】（1）解： （2）證明：設點的圖像上，則有： 整理得∴原方程無解 的圖象上 說明：由從而判斷點不在二次函數(shù)圖像上的同樣給分。（3）解：①； ②二次函數(shù)的圖象上存在點P，使得如圖，過點B作軸于F，則BF//CE//AO，又C為AB中點， 設，由題意有： 解得 ………………12分說明：在求出得到△POE的邊OE上的高為16，即點P的縱坐標為16，然后由可求出P點坐標。5（2010陜西西安）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三點。（1）求該拋物線的表達式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標。 【答案】解：（1）設該拋物線的表達式為。根據(jù)題意，得、解之，得 ∴所求拋物線的表達式為（2）①當AB為邊時，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，∴點