矩陣分析在信號處理中的應(yīng)用班級：2010級專業(yè)碩士班在二十一世紀，人們普遍認為對人類社會發(fā)展最有影響的科學(xué)領(lǐng)域?qū)⑹切畔⒖茖W(xué)和生命科學(xué)。事實上，我們確實強烈感受到信息科學(xué)的飛速發(fā)展對我們?nèi)粘Ｉ罘矫娴挠绊懀畔⒖茖W(xué)的發(fā)展讓世界變成了地球村。概括起來說，信息科學(xué)研究的是作為信息載體的信號的獲取、存儲、傳輸和處理?？梢娦盘柼幚硎切畔⒖茖W(xué)的核心研究內(nèi)容之一。信號處理在理論上涉及的范圍極其廣泛，并不斷有新的分支出現(xiàn)。從所處理的信號的性質(zhì)上來看，可分為確定性信號處理和隨機信號處理。確定性信號處理研究的確定性信號的分析、線性濾波、重構(gòu)，反卷積（線性失真補償）等。除了大家比較熟悉的線性濾波器設(shè)計與實現(xiàn)理論、信號分析的各種快速變換算法等之外，還包括信號重構(gòu)理論、多抽樣率信號處理、小波分析等較新的學(xué)科分支。確定性信號處理時隨機信號處理的重要理論基礎(chǔ)之一。本文就是研究基于確定性信號處理的矩陣分析應(yīng)用。平穩(wěn)隨機過程的功率譜估計方法可以分為經(jīng)典譜估計方法和現(xiàn)代譜估計方法。經(jīng)典譜估計的基本方法包括19世紀末由Schuster提出的周期圖法和1949年Tukey根據(jù)維納—辛欽定理提出的自相關(guān)法即BT法?，F(xiàn)代譜估計方法主要是針對經(jīng)典譜估計分辨率低和估計質(zhì)量差提出的，因此也稱作高分辨率譜估計。現(xiàn)代譜估計是基于隨機信號的參數(shù)化模型表示的方法。在現(xiàn)代譜估計中，對未能得到的樣本數(shù)據(jù)或未能估計出來的自相關(guān)函數(shù)，不是簡單地當作零處理，而是與所得到的樣本數(shù)據(jù)服從同一模型。根據(jù)譜表示定理，從功率譜等價的角度，規(guī)則過程可以用AR、MA或ARMA模型來描述。根據(jù)我們所學(xué)的信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理等課程中系統(tǒng)的幅頻特性與系統(tǒng)零、極點之間的關(guān)系，可以明確知道AR模型適合于具有尖峰但沒有深谷的譜，MA模型適合于具有深谷但無尖峰的譜，ARMA模型是較通用的，對兩種極端情況能夠表示的模型。通過建立平穩(wěn)隨機過程的AR模型來獲得功率譜估計的方法叫做AR譜估計。歷史上，最早提出AR模型并用于時間序列建模的是Yule，他在1927年采用AR建模的方法研究太陽黑子的活動周期。Walker在1931年用最小二乘法建立了自回歸模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)關(guān)系的Yule-Walker方程。已知AR過程的前p+1個延遲的自相關(guān)函數(shù)，就可以解一組線性方程組來確定AR參數(shù)。Yule－Walker方程用矩陣形式表示：對于平穩(wěn)過程，我們知道，自相關(guān)矩陣是非負定的，也就是說可能是正定的，也可能是半正定的。但對平穩(wěn)非可預(yù)測過程，可以證明是正定的，即自相矩陣是滿秩的。因此，由Yule－Walker方程可以唯一確定出AR系數(shù)。再由：可以確定白噪聲的方差。一般將這兩個方程用矩陣形式聯(lián)立表示為：無論是p階自相關(guān)矩陣，還是p+1階自相關(guān)矩陣，它們在結(jié)構(gòu)上都有特殊的性質(zhì)，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的共軛對稱性，它們是共軛對稱的，即實平穩(wěn)過程的自相關(guān)矩陣是對稱的Toeplitz矩陣，而復(fù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)矩陣是共軛對稱的Toeplitz矩陣。正是利用了自相關(guān)矩陣的共軛對稱Toeplitz結(jié)構(gòu)，Levinson提出了一種快速求解Yule—Walker方程的遞推算法并由Durbin進行了改進，這種算法稱為Levinson—Durbin算法。對于實際譜估計問題，過程的自相關(guān)函數(shù)是不可能精確知道的。一般只能得到過程的有限長度觀測樣本。最簡單的AR模型參數(shù)估計方法是，在Yule—Walker方程中，用樣本自相關(guān)函數(shù)估計代替自相關(guān)函數(shù)真值，并求解所得到的Yule－Walker近似方程，也就是說自相關(guān)法。具體地說，就是求解以下方程組：以及顯然自相關(guān)矩陣估計是共軛對稱的且具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，同時可以驗證：因此，是正定的。所以，該方程組可用Levinson遞推算結(jié)果求解，并且可以保證估計出來的AR模型的穩(wěn)定性。另一種方法是協(xié)方差法。在自相關(guān)法中，預(yù)測誤差功率的估計包含了一些不適當?shù)捻棥f(xié)方差法與自相關(guān)法的唯一差別就是在估計預(yù)測誤差功率時不取那些不適當?shù)捻?。即前向線性預(yù)測誤差功率估計為：其中：，，。由前向線性預(yù)測誤差功率的極小化來估計AR模型的參數(shù)，即：為求這個二次函數(shù)極小化問題，求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可以得到：即：具體寫出來就是：求解這個方程就可以得到。這個方程稱為AR參數(shù)估計的協(xié)方差方程。對應(yīng)的最小線性預(yù)測誤差功率估計為：由于，因此，矩陣是共軛對稱的，但不具備Toeplitz結(jié)構(gòu)，方程的求解不再可以用Levinson算法。如果x(n)為非可預(yù)測過程，矩陣是正定的，因此，可以采用運算量較小的平方根法（Cholesky分解法）來求解。同時，利用由Toeplitz矩陣的乘積構(gòu)成這一特點，還提出了其它更有效的求解方法。協(xié)方差法的缺點是理論上不能保證估計出的AR參數(shù)對應(yīng)于一個穩(wěn)定的AR模型。但其譜分辨率要優(yōu)于自相關(guān)法。對于AR參數(shù)估計和AR功率譜估計的統(tǒng)計性能分析，是件很復(fù)雜、很困難的事。AR參數(shù)估計方法，AR參數(shù)估計值和AR功率譜估計都是樣本數(shù)據(jù)的高度非線性函數(shù)，因此，要獲得它們的偏差、方差等的一般解析表達式，幾乎是不可能的。目前所能得到的僅是假設(shè)樣本長度N很大情況下的一些近似結(jié)果，也即大樣本漸近統(tǒng)計特性。在這種情況下，前面所介紹的各種AR參數(shù)估計方法都是十分接近的，也即它們有相同的漸近統(tǒng)計特性。設(shè)服從AR(p)模型，即其中的零點全部位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)，為零均值的獨立同分布隨機過程即純白噪聲過