PAGEPAGE1河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題．本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，則；由得：，即，解得：或，則或，.故選：D.2.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以，又因為，所以.故選：A.3.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由題可知＝－3.故選：A.4.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】因為，，即，所以．故選：C.5.下列函數(shù)中，在其定義域上既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，的定義域為，因為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，而函數(shù)的單減區(qū)間是和，所以在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯誤；對于B，的定義域為R，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：的定義域為R，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，的定義域為，因為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故D正確.故選：D.6.已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴的最小值為.故選：A．7.若函數(shù)為偶函數(shù)，對任意，且，都有，則有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的對稱軸為；又對任意，且有，則在上為單調(diào)遞減函數(shù).因為，，，所以，即.故選：A.8.對于，定義運算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.(1,2)【答案】A【解析】由題設(shè)知，化簡整理得：，畫出函數(shù)的圖像，如下圖：由，當(dāng)關(guān)于方程恰有三個互不相等的實數(shù)根時，t的取值范圍是，設(shè)，則是的兩個根，關(guān)于對稱，故，下面求的范圍：，解得：，，，，故，所以.故選：A.二、多選題．本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，，且，則下列不等式恒成立的（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，A對；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B對；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C錯；因為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D對.故選：ABD.10.對于任意實數(shù)，，，，下列四個命題中為假命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AD【解析】對于A，當(dāng)時，滿足條件，，但是，所以A為假命題；對于B，因為，所以，所以，所以成立，所以B為真命題；對于C，因為，所以且，所以，所以C為真命題；對于D，當(dāng)，，，時，滿足條件，，但是，所以D為假命題．故選：AD．11.若函數(shù)在定義域上的值域為，則區(qū)間可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域為，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.當(dāng)時，C.函數(shù)的值域為D.若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A選項正確；對于B，由，可得，故B選項正確；對于C，由，又由，有，有，可得函數(shù)的值域為，故C選項錯誤；對于D，當(dāng)時，由，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若，有，不等式兩邊平方后可解得或，故D選項正確.故選：ABD.三、填空題．本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計算：______.【答案】5【解析】.故答案為：.14.若滿足，則__________．【答案】【解析】取得到；取得到，解得.故答案為：.15.已知，，若，，使得，則實數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；，解得：，則實數(shù)的最大值為.故答案為：.16.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖象過點，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】由題意可得函數(shù)，再根據(jù)其圖象過點，可得，即，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故在區(qū)間上是增函數(shù)，再根據(jù)在區(qū)間上大于零，且在，是增函數(shù)，可得，解得.故答案為：，．四、解答題．本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的值．解：（1）由得，得，所以，當(dāng)時，由，得，所以，所以或，所以.（2）因為，所以，所以，即，由得，得，所以，因為，所以，，解得.18.已知命題：，，命題為真命題，實數(shù)的取值集合為.（1）求集合；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）命題為真命題，則，得或，所以或.（2）因為是的充分不必要條件，所以，①當(dāng)時，則，即，滿足，②當(dāng)時，則，即，因為，所以或，解得，綜上可得.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；（2）若對于恒成立，求的取值范圍.解：（1）由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，，令，即可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此可得當(dāng)時，該函數(shù)的值域為.（2）當(dāng)時，可得，原不等式可化為對于恒成立，即可得對于恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是.20.第19屆杭州亞運會將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價為15元，年銷售10萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.解：（1）設(shè)定價為元，則銷售量為萬件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，該商品每件定價最多為50元.（2）由已知可得，，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，，所以，當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，商品的每件定價為20元.21.若定義在上的函數(shù)對任意的、，都有成立，且當(dāng)時，.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：是上的增函數(shù)；（3）若，解不等式．解：（1）證明：定義在上的函數(shù)對任意的、，都有成立，構(gòu)造函數(shù)，則，即，令，得，所以，，由于函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，令，，則，，因此，函數(shù)為奇函數(shù).（2）任取，則，，另一方面，即，因此，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù).（3），則，，由，得，即，，又，，所以，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，解得，因此，不等式的解集為.22.已知函數(shù)，.（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）已知，其中是大于1的實數(shù)，當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.解：（1），，因