橢圓的簡單幾何性質(zhì)A級必備知識基礎練1.已知焦點在x軸上的橢圓的長軸長是8,離心率是34,則此橢圓的標準方程是(A.x216+y27=C.x264+y228=2.橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=1的關系為()A.有相同的長軸長與短軸長B.有相同的焦距C.有相同的焦點D.有相同的離心率3.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2均在x軸上,面積為23π,且短軸長為23,則C的標準方程為()A.x212+y2=1 B.xC.x23+y24=4.焦點在x軸上,右焦點到短軸端點的距離為2,到最左的點的距離為3的橢圓的標準方程是()A.x24+y23=1 BC.x22+y2=1 D.x2+y5.以橢圓y29+x24A.16 B.12 C.8 D.66.(2023新高考Ⅰ,5)設橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1A.233 B.2 C.3 D7.(多選題)若橢圓C:x2m+yA.m=2 B.C的長軸長為3C.C的短軸長為2 D.C的離心率為38.若橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,且長軸長是短軸長的2倍,則實數(shù)m的值為.

9.已知橢圓C的對稱中心為坐標原點,對稱軸為坐標軸,C的離心率為12,且點P(1,1)到C的一個焦點的距離為10,求C的標準方程B級關鍵能力提升練10.在手工課上,王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個大小不同,扁平程度相同的橢圓,已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長為()A.30cm B.20cm C.10cm D.103cm11.若將一個橢圓繞其中心旋轉90°,所得橢圓的短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點,這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓是“對偶橢圓”的是()A.x28+y24=C.x26+y22=12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),點P在橢圓上,且∠PF1F2=30°,∠A.2-1 B.3-1 C.3+2213.如圖,橢圓的中心在原點O,頂點是A1,A2,B1,B2,焦點為F1,F2,延長B1F2與A2B2交于P點,若∠B1PA2為鈍角,則此橢圓的離心率的取值范圍為()A.(0,5+14) B.(5C.(0,5-12) D.14.(多選題)若橢圓上存在點P,使得點P到橢圓的兩個焦點的距離之比為2∶1,則稱該橢圓為“倍徑橢圓”,則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是()A.x216+y215=C.x225+y221=15.如圖,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過橢圓上的點P作y軸的垂線,垂足為Q,若四邊形F16.已知橢圓E的中心為原點O,兩個焦點分別為A(-1,0),B(1,0),一個頂點為H(2,0).(1)求橢圓E的標準方程;(2)對于x軸上的點P(t,0),橢圓E上存在點M,使得MP⊥MH,求實數(shù)t的取值范圍.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.如圖,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,點P是以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點,延長PF2與橢圓交于點Q.若|PF1|=4|QF2|,則直線PF2的斜率為()A.-2 B.-1 C.-12 D.橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.A由題意知2a=8,解得a=4.又e=34,即c4=3所以b2=a2-c2=7.又橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的標準方程為x216+故選A.2.D橢圓x2+2y2=2可化為x22+y2=1,由此可得長軸長為22,短軸長為2,焦距為2,離心率為22,且焦點在x軸上;2x2+y2=1可化為x212+y2=1,由此可得長軸長為2,短軸長為2,焦距為2,離心率為22,且焦點在3.B由題意可得ab=2因為橢圓C的焦點在x軸上,所以C的標準方程為x24+y24.A根據(jù)題意,設橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),若右焦點到短軸端點的距離為2,則c2+b2=又右焦點到橢圓最左的點的距離為3,則a+c=3,即c=1,則b2=a2-c2=4-1=3.故橢圓的標準方程為x24+y25.D因為橢圓y29+x24∵橢圓經(jīng)過點(-4,1),∴16a2+19=1,解得a2因此,所求橢圓的焦距為6.故選D.6.A由題意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,∴e1=ca在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2=∵e2=3e1,∴32=3×故選A.7.AD由已知可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1(舍去),∴橢圓C∴長軸長為23,短軸長為22,離心率為33故選AD.8.14∵橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的2倍,∴1m=2,∴m=9.解①當焦點F在x軸上時,設F(m,0),則|PF|=(m解得m=4或m=-2,則c=4或c=2.當c=4時,由ca=12,得a=8,則b2=a2-c2=48,此時C當c=2時,由ca=12,得a=4時,則b2=a2-c2=12,此時,C的標準方程為②當焦點F在y軸上時,設F(0,m),則|PF|=(0解得m=4或m=-2,則c=4或c=2.當c=4時,由ca=12,得a=8,則b2=a2-c2=48,此時,C當c=2時,由ca=12,得a=4,則b2=a2-c2=12,此時C的標準方程為綜上,C的標準方程為x264+y248=1或x216+10.B設小橢圓的長半軸長為a小.因為兩個橢圓的扁平程度相同,所以兩個橢圓的離心率相同,所以4020所以小橢圓的長軸長為20cm.故選B.11.A因為旋轉后橢圓的短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點,所以2b=2c,即b=c.A中,因為a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;B中,因為a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3;C中,因為a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2;D中,因為a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6.故選A.12.B∵∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,∴△PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=3c.∵由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a,∴3c+c=2a,∴e=ca=23+113.D因為∠B1PA2為鈍角,所以F2B即(-c,-b)·(a,-b)<0,整理可得b2<ac?a2-c2-ac<0,可得e2+e-1>0,解得e>5-12或又e∈(0,1),所以5-12<e<114.BC假設橢圓上存在點P,使得|PF1|=2|PF2|,則|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,即|PF2|=2a3,|PF1|=因為|PF2|≥a-c,所以2a3≥a-c,即a≤3經(jīng)檢驗,A,D不滿足要求,B,C滿足要求.故選BC.15.3-12根據(jù)題意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=在直角三角形QF1O中,因為|QF1|=2c,|F1O|=c,所以∠QF1O=60°,所以|PF1|=2×2c×cos30°=23c,所以|PF1|+|PF2|=23c+2c=2a,所以e=ca16.解(1)由題意可得,c=1,a=2,∴b=3.∴所求橢圓E的標準方程為x24+(2)設M(x0,y0)(x0≠±2),則x024+yMP=(t-x0,-y0),MH=(2-x0,-y0),由MP⊥MH可得MP·MH即(t-x0)(2-x0)+y02=0.由①②消去y0,整理得t(2-x0)=-14x02+2x∵x0≠2,∴t=-14x02∵-2<x0<2,∴-2<t<-1.∴實數(shù)t的取值范圍為(-2,-1).17.A連接PF1,QF1,∵點P是以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點,∴PF1⊥PF2.設|QF2|=m(m>0),∵|PF1|=4|QF2|,∴|PF1|=4m.∴|PF2|=2a-|PF1|