龍華區(qū)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)說(shuō)明：1.本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的條形碼貼在答題卡上.3.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再選涂其他答案.4.非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義運(yùn)算即得.【詳解】全集，集合，，所以，因此，.故選：D.2.在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，結(jié)合弧度制與角度制互化公式進(jìn)行求解即可.【詳解】弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，故選：B3.下列條件中，使成立的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)A，取，則，錯(cuò)誤；對(duì)B，取，則，錯(cuò)誤；對(duì)C，，正確；對(duì)D，取，則無(wú)意義，錯(cuò)誤.故選：C．4.下列是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)A，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故正確.故選：D5.神舟十五號(hào)載人飛船于2022年11月30日到達(dá)中國(guó)空間站，并成功對(duì)接，完成了中國(guó)空間站的最后一塊拼圖.已知中國(guó)空間站離地球表面的高度約為千米，每分鐘繞地球一圈.若將其運(yùn)行軌道近似地看成圓形，運(yùn)行軌道所在平面與地球的截面也近似地看成直徑約為千米的圓形，則中國(guó)空間站在軌道中運(yùn)行的速度約為（）（）A.千米/秒B.千米/秒C.千米/秒D.千米/秒【答案】A【解析】【分析】求出半徑，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出運(yùn)行的長(zhǎng)度，除以時(shí)間即可得到速度.【詳解】根據(jù)直徑為千米，則半徑為6210千米，則運(yùn)行速度千米/秒.故選：A.6.已知，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?，，則，所以.故選：A7.已知，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】，，，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以有故選：C8.已知函數(shù)，則的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，只需判斷兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，即兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)即可.【詳解】由已知得，，，，，所以，由零點(diǎn)的存在定理得，的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列是函數(shù)圖象的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進(jìn)行分析判斷即可得解..【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)只有一個(gè)和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.10.下列函數(shù)中，最小正周期是，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證，可得答案.【詳解】A，，最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；B，，最小正周期為，且在上單調(diào)遞增，故B正確；C，，最小正周期為，且在上不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；D，，最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確是（）A.的定義域是 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C. D.當(dāng)時(shí)，最小值為【答案】BC【解析】【分析】由函數(shù)解析式，根據(jù)奇偶性的定義，可得A、B的正誤；根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)值可得C的正誤；根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得D的正誤.【詳解】對(duì)A，由函數(shù)，其定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，均有，則稱函數(shù)具有“倒負(fù)”變換性質(zhì).下列具有“倒負(fù)”變換性質(zhì)的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合分類討論思想逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本函數(shù)不具有“倒負(fù)”變換性質(zhì)；B：，因此本函數(shù)具有“倒負(fù)”變換性質(zhì)；C：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此本函數(shù)具有“倒負(fù)”變換性質(zhì)；D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此本函數(shù)具有“倒負(fù)”變換性質(zhì)，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用代入法，結(jié)合分段函數(shù)的解析式進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域是___________.【答案】且【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)大于0，分母不為0，即可求得答案.【詳解】由題意得，解得且，所以定義域?yàn)椋呵夜蚀鸢笧椋呵?4.化簡(jiǎn)的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算律運(yùn)算即得.【詳解】，故答案為：.15.已知S市某所新建高中年的綠化面積為，若該校綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為％，則到_______年（用整數(shù)年份表示），該校的綠化面積約是.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)n年后，該校的綠化面積約是，由已知可得n的關(guān)系式，再通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可．【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)n年后，該校的綠化面積約是，則由已知得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，，故答案為：．16.已知，，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）4；（2）或.【解析】【分析】（1）將代入求解；（2）根據(jù)，求解即得.【小問(wèn)1詳解】∵函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，即，解得或；所以?18.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，并與單位圓交于點(diǎn).（1）用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義，根據(jù)題中條件，即可用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）法一：根據(jù)題中條件，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，聯(lián)立方程組求解即可；法二：根據(jù)題中條件，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，①，②，聯(lián)立方程組求解即可．【小問(wèn)1詳解】依題意得：，由三角函數(shù)定義知，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】法一：因，所以①又因?yàn)棰?，?lián)立①②解得或，所以或.法二：因?yàn)?，所以①兩邊平方得，所以，又因?yàn)?，所以②?dāng)時(shí)，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)或．19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）利用整體代入法與余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體法求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，∵，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，∴由，，解得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴由余弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）證明是增函數(shù)；（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（2）法一：利用函數(shù)的單調(diào)性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求在上的最大值即可；法二：原不等式可轉(zhuǎn)化為，再通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次不等式在給定區(qū)間的恒成立問(wèn)題，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：，且，，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，故，即.因此，是增函數(shù).【小問(wèn)2詳解】法一：由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，所以不等式可變?yōu)?，即，令，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，綜上所求得的取值范圍是.法二：由不等式得，整理得，令，即，即，因?yàn)?，所以，，所以要使原不等式恒成立，則有，即，，故的取值范圍是21.已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（?。┣蟮慕馕鍪剑唬áⅲ┣蠓匠痰乃懈?【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（?。?；（ⅱ），，【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式，方程轉(zhuǎn)化成曲線與直線的交點(diǎn)情況，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)椋?，，由基本不等式，?dāng)時(shí)，，即，即；【小問(wèn)2詳解】（?。┮李}意得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上奇函數(shù)，所以，代入上式成立，即當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，所以；（ⅱ）方程轉(zhuǎn)化成曲線與直線的交點(diǎn)情況，當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)和點(diǎn)，由（1）知圖象總是向上凸的，所以除外不會(huì)有其它交點(diǎn)，同理，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，兩個(gè)圖象還有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有三個(gè)根，，.22.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線(在上).經(jīng)測(cè)算，若以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則左側(cè)曲線上的任一點(diǎn)在拋物線上，而右側(cè)曲線上的任一點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的拋物線上.（1）求橋的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為米，其中，在上（不包括端點(diǎn)