2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的展開圖可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：由圖形可得該幾何體是圓柱;

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵.

2.黨的十八大以來，堅(jiān)持把教育扶貧作為脫貧攻堅(jiān)的優(yōu)先任務(wù).2014-2018年，中央財(cái)政累計(jì)投入“全

面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)?；巨k學(xué)條件”專項(xiàng)補(bǔ)助資金1692億元，將169200000000用科學(xué)記數(shù)法

表示應(yīng)為（）

A.0.1692X1012B.1.692X10,2C.1.692x10"D.16.92x10'O

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為1.692x10”;

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

OCLOD.若ZAOC=120°,則ZBOD的大小為（）

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】由題意易得NCO3=60°,NCOD=90°,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：?.?點(diǎn)0在直線AB上，OCLOD,

/.ZAOC+ZCOB=180°,ZCOD=90°,

ZAOC=nO°,

：.ZCOB=60°,

：.ZBOD=90°-ZCOB=30°；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

4.下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：A、是一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°；

B、是一個(gè)四邊形，其內(nèi)角和為360°；

C、是一個(gè)五邊形，其內(nèi)角和為540。；

D、是一個(gè)六邊形，其內(nèi)角和為720°；

?t.內(nèi)角和最大的是六邊形；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

5.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

--3'-2=40'12

A.a>—2B.力C.67+>0D.b-a<0

【答案】B

【解析】

【分析】由數(shù)軸及題意可得一3＜。＜一2,0＜。＜1,依此可排除選項(xiàng).

【詳解】解：由數(shù)軸及題意可得：一3＜。＜一2,0＜匕＜1,

|?|＞b,a+b＜0,b—a＞0,

只有B選項(xiàng)正確，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算及數(shù)軸，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算及數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.

6.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是()

1112

A.-B.—C.-D.一

4323

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可畫出樹狀圖，然后進(jìn)行求解概率即可排除選項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

開始

正反

/\/\

正反正反

21

?,?一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是P=—=—；

42

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用樹狀圖求解概率是解題的關(guān)鍵.

7.已知43?=1849,44?=1936,452=2025,46?=2116.若〃為整數(shù)且〃＜7^1＜〃+1，貝U〃值為

()

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

??-442<2021<452.

/-44<V2021<45，

〃=44；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm,它的鄰邊長為ym,矩形的面積為sm?.當(dāng)

X在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨X的變化而變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

y

X

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【答案】A

【解析】

【分析】由題意及矩形的面積及周長公式可直接列出函數(shù)關(guān)系式，然后由函數(shù)關(guān)系式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

2（x+y）=10,整理得：y=-x+5,（0<x<5）,

S=xy=x（-x+5）=-x2+5x,（0<x<5）,

與x成一次函數(shù)的關(guān)系，S與x成二次函數(shù)的關(guān)系；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

【答案】x>7

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：

x-7>0,

解得：x>7；

故答案為

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

10.分解因式：5d—5y2=.

【答案】5（x+y）（x-y）

【解析】

【分析】根據(jù)提公因式法及平方差公式可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：5x2-5y2=5（x2-y2）=5（x+y）（x-y）；

故答案為5（x+y）（x—y）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)犍.

21

11.方程——二■-的解為____________.

x+3x

【答案】x=3

【解析】

【分析】根據(jù)分式方程的解法可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：-=-

x+3x

2x=x+3,

x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是原方程解.

故答案為：x=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.

k

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若反比例函數(shù)y=—（火力0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l,2）和點(diǎn)3（—1,m），則加的

值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】由題意易得攵=2,然后再利用反比例函數(shù)的意義可進(jìn)行求解問題.

【詳解】解：把點(diǎn)A（l,2）代入反比例函數(shù)丁=；（人力0）得：k=2,

—lxm=2,解得：m=—2,

故答案為-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，PA,PB是。的切線，A,8是切點(diǎn).若NP=50°，則NA06=

【答案】130°

【解析】

【分析】由題意易得NQ4O=NBBO=90。，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解.

【詳解】解：是的切線，

NPAO=NPBO=90°,

...由四邊形內(nèi)角和可得：ZAOB+ZP=180°,

ZP=50°,

ZA03=130。；

故答案為130°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)分別在5C,AO上，AF=EC.只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形

【答案】AF=AE（答案不唯一）

【解析】

【分析】由題意易得四邊形AEC戶是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進(jìn)行求解.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,

■：AF=EC,

，四邊形AECF是平行四邊形,

若要添加一個(gè)條件使其為菱形，則可添力口AF=A￡或AE=CE或CE=C尸或AF=CF,理由：一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形；

故答案為人尸=4￡（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩

形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

15.有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S甲2,S乙2,則s甲25乙2（填或“="）.

【答案】＞

【解析】

【分析】根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別求出甲、乙的平均數(shù)，然后再利用方差公式進(jìn)行求解比較即可.

【詳解】解：由題意得：

—11+12+13+14+15——12+12+13+14+14…

Afp==13,x乙==]3,

[(11-13)2+(12—13)2+(13—13)2+(14-13)2+(15-13)2

二s甲2

5

[(12-13y+(12-13『+(13-13/+(14-13)2+(14-13)24

'5=?

A2>r

??S甲＞S乙；

故答案為〉.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)及方差，熟練掌握平均數(shù)及方差的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

16.某企業(yè)有A,8兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工。噸原材料，加工時(shí)間為

（4a+l）小時(shí)；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工〃噸原材料，加工時(shí)間為（抄+3）小時(shí).第一天，該企業(yè)將5噸

原材料分配到A8兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到A生產(chǎn)線

的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配

了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給5生產(chǎn)線分配了〃噸原材料.若兩條生產(chǎn)線都能在

一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則'的值為.

n

【答案】①.2：3②.g

【解析】

【分析】設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得

4x+l=2（5-x）+3,然后求解即可，由題意可得第二天開工時(shí)，由上一間可得方程為

4（2+m）+1=2（3+〃）+3,進(jìn)而求解即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)分配到A生產(chǎn)線噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得：

4x+1=2（5-x）+3,解得：x=2,

???分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2二3（噸），

，分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到5生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；

???第二天開工時(shí)，給A生產(chǎn)線分配了（2+加）噸原材料，給8生產(chǎn)線分配了（3+〃）噸原材料，

??,加工時(shí)間相同，

/.4（2++1=2（3+力）+39

解得：m=-n,

2

m1

??一=一；

n2

故答案為2:3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)，熟練掌握一元一次方程的

應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17—20題，每題5分，第21—22題，每題6分，第23題5分，第

24題6分，第25題5分，第26題6分，第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明.演算

步驟或證明過程.

17.計(jì)算：2sin60°+厄+卜5|-（萬+0）°.

【答案】38+4

【解析】

【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值、零次幕及二次根式的運(yùn)算可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：原式=2x正+26+5-1=36+4.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值、零次嘉及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握特殊三角函數(shù)值、零次嘉及

二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

4x-5>x+1

18.解不等式組：hx-4

-------<x

I2

【答案】2<x<4

【解析】

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法可直接進(jìn)行求解.

4x-5>x+1①

【詳解】解：,3x-4-

-------

I2

由①可得：x>2,

由②可得：x<4.

原不等式組的解集為2Vx<4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

19.已知"+2〃一1=0，求代數(shù)式（4一人『+b（2a+Z?）的值.

【答案】1

【解析】

【分析】先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡，然后再利用整體思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（a-h'y+b[2a+b）

=/-2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b2,

?"+2從_1=0，

???/+2〃=i，

代入原式得：原式=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘法運(yùn)算及完全平方公式，熟練掌握利用整體思想進(jìn)行整式的化簡求值是解

題的關(guān)鍵.

20.《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一根桿,

在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)3,使用A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點(diǎn)3

處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)3處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C,使C,B兩點(diǎn)間的距離為10步，

在點(diǎn)C處立一根桿.取C4的中點(diǎn)。，那么直線。B表示的方向?yàn)闁|西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)45,C的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖中作C4

（2）在如圖中，確定了直線05表示的方向?yàn)闁|西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直

線C4表示的方向?yàn)槟媳狈较颍瓿扇缦伦C明.

證明：在，A8C中，BA=，。是C4的中點(diǎn)，

.-.CAA.DB（）（填推理的依據(jù)）.

?..直線￡）8表示的方向?yàn)闁|西方向，

直線C4表示的方向?yàn)槟媳狈较?

【答案】（1）圖見詳解；（2）BC,等腰三角形的三線合一

【解析】

【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，與AC

的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；

（2）由題意及等腰三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作答.

【詳解】解:（1）如圖所示：

（2）證明：在A8C中，BA=BC,。是C4的中點(diǎn),

:.CA±DB（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）.

?.?直線OB表示的方向?yàn)闁|西方向，

，直線C4表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?/p>

故答案為8C,等腰三角形的三線合一.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等

腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程為2―4處+3根2=（）.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若加>0,且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2,求加的值.

【答案】（1）見詳解；（2）m=1

【解析】

【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求證；

（2）設(shè)關(guān)于x的一元二次方程4/nx+3m2=0的兩實(shí)數(shù)根為不々，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系可得玉+々=4根,石=3〃/，進(jìn)而可得（5—/I=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.

【詳解】（1）證明：由題意得：a-1,b=-4m,c-3m2,

*'?△=k-4ac=16m2-4xlx3m2=4〃/，

*/nv>0>

A=4M>0，

，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：設(shè)關(guān)于%的一元二次方程》2一4〃吠+3〃?2=0的兩實(shí)數(shù)根為為,當(dāng)，則有：

2

玉+%2=4〃?,x{-x2=3m,

石一司=2,

（x（-x2）-=（%+%）"-4中2=16〃/-12〃=4,

解得：m—+\,

,：m>0,

m=l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及

根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在四邊形ABCO中，NAC5=NC4￡>=90。，點(diǎn)E在8C上，AE//DC,EF±AB,垂足為F.

D

（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；

4

（2）若AE平分N84C,BE=5,cosB=《，求Bb和AO的長.

【答案】（1）見詳解；（2）BE=4,AD=3

【解析】

【分析】（1）由題意易得40〃CE,然后問題可求證；

（2）由（1）及題意易得EF=CE=AD，然后由5E=5,cosB=]可進(jìn)行求解問題.

【詳解】（1）證明：?.?ZACB=NGLD=90。，

：.AD//CE,

'：AE//DC,

...四邊形AECO是平行四邊形；

（2）解：由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，

CE=AD,

v￡F±AB，AE平分以AC,ZACB=90°,

/.EF=CE,

:.EF=CE=AD,

__4

；BE=5,cosB=—,

4

BF=BEcosfi=5x—=4,

5

?*-EF=^BE2-BF2=3，

AD=EF=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理及三角函數(shù)，熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)與判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

23.在平面直角坐標(biāo)系》。），中，一次函數(shù)丁=依+。（人力0）的圖象由函數(shù)y=的圖象向下平移1個(gè)單位

長度得到.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)x>-2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y的值大于一次函數(shù)丫="+方的值，直接寫出〃z

的取值范圍.

【答案】（1）y=—x-1；（2）-<m<\

22

【解析】

【分析】（1）由圖象的平移及題意可直接求得一次函數(shù)的解析式；

⑵由題意可先假設(shè)函數(shù)丁=如（加。0）與一次函數(shù)尸依+b的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為—2,則由（1）可得：m=\,

然后結(jié)合函數(shù)圖象可進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）由一次函數(shù)〉=依+可%/0）圖象由函數(shù)y的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到可

得：一次函數(shù)的解析式為y=5%—1；

（2）由題意可先假設(shè)函數(shù)y=/nx（，"HO）與一次函數(shù)、=丘+6的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為—2,則由（1）可得：

—2/n=；x（—2）—1,解得：m=\,

...當(dāng)x>-2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=（加。0）的值大于一次函數(shù)y=Ax+力的值時(shí)，根據(jù)一次函

數(shù)的k表示直線的傾斜程度可得當(dāng)m=g時(shí)，符合題意，當(dāng)機(jī)<g時(shí)，則函數(shù)y=/nr（mHO）與一次函數(shù)

y=h+匕的交點(diǎn)在第一象限，此時(shí)就不符合題意,

綜上所述：-<m<\.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，0。是.A8c的外接圓，AO是:「。的直徑，于點(diǎn)E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

（2）連接并延長，交AC于點(diǎn)尸，交于點(diǎn)G,連接GC.若C。的半徑為5,OE=3,求GC

和OF的長.

25

【答案】（1）見詳解；（2）GC=6,0F=—

11

【解析】

【分析】（1）由題意易得8D=CZ），然后問題可求證；

（2）由題意可先作圖，由（1）可得點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，則有OE=」CG,。后〃CG,進(jìn)而可得AOFsCGF,

2

然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】⑴證明：是。。的直徑，ADLBC,

:,BD=CD，

：.NBAD=NCAD；

（2）解：由題意可得如圖所示：

由Q）可得點(diǎn)E為8C的中點(diǎn),

?.?點(diǎn)。是BG的中點(diǎn)，

OE=-CG,OE//CG,

2

，.AOF^CGF,

.OAOF

??=,

CGGF

-：0E=3,

CG=6,

：。的半徑為5,

OA=OG=5，

.5OF

??-9

6GF

525

：.OF=—OG=—.

1111

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形

中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

25.為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取了25家

郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了

部分信息.

?.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：

6<%<8,8<%<10,10<x<12,12<%<14,14<%<16）：

b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10Wx<12這一組的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,

11.8

c.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中用的值：

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為P1.在乙城市抽

取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為，2.比較的大小，并說明

理由；

（3）若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計(jì)乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出結(jié)果）.

【答案】（1）m=10.1；（2）p1<p2,理由見詳解；（3）乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬

元.

【解析】

【分析】（1）由題中所給數(shù)據(jù)可得甲城市的中位數(shù)為第13個(gè)數(shù)據(jù)，然后問題可求解；

（2）由甲、乙兩城市的中位數(shù)可直接進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)乙城市的平均數(shù)可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）由題意可得力為甲城市的中位數(shù)，由于總共有25家郵政企業(yè)，所以第13家郵政企業(yè)的

收入作為該數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

?.?64x<8有3家，8Wx<10有7家，10<x<12有8家，

中位數(shù)落在10〈x<12上，

m=10.1；

（2）由（1）可得：甲城市中位數(shù)低于平均數(shù)，則P1最大12個(gè)；乙城市中位數(shù)高于平均數(shù)，則P2至少

為13個(gè),

???Pl<P2；

（3）由題意得：

200x11=2200（百萬元）；

答：乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計(jì)與調(diào)查，熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計(jì)與調(diào)查是解題的關(guān)

鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,加）和點(diǎn)（3,〃）在拋物線丁=口？+笈（。>0）上.

（1）若m=3,〃=15,求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）已知點(diǎn)（一1,y）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上.若根〃<0，比較%，%，%的大小，并說明理由.

【答案】（1）》=—1；（2）%<%<為，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由題意易得點(diǎn)（1,3）和點(diǎn)（3,15）,然后代入拋物線解析式進(jìn)行求解，最后根據(jù)對(duì)稱軸公式進(jìn)行

求解即可；

（2）由題意可分當(dāng)機(jī)<0,〃>0時(shí)和當(dāng)機(jī)>0,〃<0時(shí);然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】解：⑴當(dāng)m=3,〃=15時(shí)，則有點(diǎn)（1,3）和點(diǎn)（3,15）,代入二次函數(shù)y=—+區(qū)（。>0）得：

。+匕=3{a-\

c」解得：t-

9。+3。=15[b=2

拋物線解析式為y=f+2x,

b

???拋物線的對(duì)稱軸為尤=——=-1；

2a

（2）由題意得：拋物線）=以2+法（a>0）始終過定點(diǎn)（0,0）,則由〃切<0可得：

①當(dāng)機(jī)>0,〃<0時(shí)，由拋物線y=a^+hx{a>0）始終過定點(diǎn)（0,0）可得此時(shí)的拋物線開口向下，即a<0,

與a>0矛盾；

②當(dāng)相<0,〃>0時(shí)，

,/拋物線y=ar?>0）始終過定點(diǎn)（0,0）,

13

：.此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸的范圍為一<x<巳，

22

?.?點(diǎn)（一1,y）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上，

351357

???它們離拋物線對(duì)稱軸的距離的范圍分別為一<1一（-1）<一<2—x<一<4—x<—,

2'/22222

:。〉。，開口向上,

...由拋物線的性質(zhì)可知離對(duì)稱軸越近越小,

，>2<X<>3-

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，在AHC中，AB=AC,NB4C=c,"為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，以點(diǎn)A為中心，將線

段AO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

(1)比較N5L4E與NC4D的大??；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)過點(diǎn)M作AB的垂線，交OE于點(diǎn)N,用等式表示線段NE與M9的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)ZBAE=NCAD,BM=BE+MD，理由見詳解：(2)DN=EN,理由見詳解.

【解析】

【分析】(1)由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得NB4C=NE4O=a,AE^AD，然后可證△A8E四△AC。，

進(jìn)而問題可求解；

(2)過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)、H,由(1)可得NA5E=NAC￡),BE=CD,易證

BH=BE=CD,進(jìn)而可得=然后可得，Z)MNsDHE,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證.

【詳解】(1)證明：VZBAC=ZEAD^a,

：.ZBAE+/BAD=ABAD+ACAD=a,

NBAE=NCAD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A￡=4),

,ZAB=AC,

：.tABE^ACD(SAS),

?*.BE=CD,

???點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

BM=CM,

'：CM=MD+CD=MD+BE,

BM=BE+MD；

(2)證明：DN=EN,理由如下：

過點(diǎn)E作EHL48,垂足為點(diǎn)Q,交AB于點(diǎn)H,如圖所示:

NEQB=NHQB=90。,

由（1）可得△ABEgZ\AC￡），

AZABE=ZACD,BE=CD,

AB^AC,

ZABC=NC=ZABE,

：BQ=BQ,

：.tBQE絲.BQH(ASA),

BH=BE=CD,

?：MB=MC,

：.HM=DM,

'：MN±AB,

：.MN//EH,

:_DMNs.DHE,

.DMDN_1

"'~DH~~DE~2'

：.DN=EN.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，1。的半徑為1,對(duì)于點(diǎn)A和線段8C,給出如下定義：若將線段6C繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)可以得到的弦B'C(B；C'分別是B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱線段8c是:。的以點(diǎn)A為中心的

“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點(diǎn)A，4，G，層,。2，4,。3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段8c"62C2,83c3中，。的以點(diǎn)A為

中心的“關(guān)聯(lián)線段”是;

(2)A8C是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)A(0,。，其中，關(guān)0.若8c是:。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線

段”，求/的值；

(3)在,.ABC中，AB=i,AC^2.若BC是的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小

值和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

【答案】良。當(dāng)。山=時(shí)，此時(shí)當(dāng)。時(shí)，此時(shí)如.