§4-2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程振動(dòng)與波動(dòng)區(qū)別區(qū)別聯(lián)系振動(dòng)研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。波動(dòng)研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的集體表現(xiàn)。振動(dòng)是波動(dòng)的根源。波動(dòng)是振動(dòng)的傳播。最簡(jiǎn)單而又最根本的波動(dòng)是簡(jiǎn)諧波！簡(jiǎn)諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的波都可看成是假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)諧波的疊加。對(duì)平面簡(jiǎn)諧波，各質(zhì)點(diǎn)都在各自的平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但同一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)不同。需要定量地描述出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。波線是一組垂直于波面的平行射線，可選用其中一根波線為代表來研究平面簡(jiǎn)諧波的傳播規(guī)律。一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程設(shè)平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中沿軸正向傳播，在此波線上任取一參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)OOPu參考點(diǎn)原點(diǎn)的振動(dòng)方程為任取一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)如何振動(dòng)？和與原點(diǎn)的振動(dòng)相同，相位呢？沿著波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后，波每向前傳播的距離，相位落后現(xiàn)在，點(diǎn)的振動(dòng)要傳到點(diǎn)，需要向前傳播的距離為，因而點(diǎn)的相位比點(diǎn)落后點(diǎn)的振動(dòng)方程為由于點(diǎn)的任意性，上式給出了任意時(shí)刻任意位置的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，將下標(biāo)去掉就是沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。OOPu如果波沿軸的負(fù)向傳播，點(diǎn)的相位將比點(diǎn)的振動(dòng)相位超前沿軸負(fù)向傳播的波動(dòng)方程為利用，沿軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程又可寫為即原點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳到點(diǎn)所需要的時(shí)間點(diǎn)在時(shí)刻重復(fù)原點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)波動(dòng)方程也常寫為其中波數(shù)，物理意義為長(zhǎng)度內(nèi)所具有完整波的數(shù)目?！畈▌?dòng)方程的三個(gè)要素：參考點(diǎn)，參考點(diǎn)振動(dòng)方程，傳播方向二、波動(dòng)方程的物理意義1、固定，如令振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處的振動(dòng)曲線該質(zhì)點(diǎn)在和兩時(shí)刻的相位差2、固定，如令波形方程時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)離開各自平衡位置的位移分布情況，即時(shí)刻的波形方程。波形曲線3、和都在變化時(shí)刻時(shí)刻各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，不同時(shí)刻的波形，反映了波形不斷向前推進(jìn)的波動(dòng)傳播的全過程行波時(shí)刻，處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過的時(shí)間，傳播了的距離，傳到了處，顯然行波必須滿足此方程其中波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播！習(xí)題類型〔1〕由某質(zhì)元的振動(dòng)方程〔或振動(dòng)曲線〕求波動(dòng)方程〔2〕由某時(shí)刻的波形曲線求波動(dòng)方程例4.2：一平面波在介質(zhì)中以速度m/s沿直線傳播，在傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為，如圖4.8所示?！?〕假設(shè)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求出C，D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程；〔2〕假設(shè)以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求出C，D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程。AAB8muCD5m9m解：〔1〕振幅m，圓頻率rad/s，頻率Hz，波長(zhǎng)m波動(dòng)方程為mC點(diǎn)坐標(biāo)為m，振動(dòng)方程為mD點(diǎn)坐標(biāo)為m，振動(dòng)方程為m〔2〕A點(diǎn)坐標(biāo)為m，波動(dòng)方程為mC點(diǎn)坐標(biāo)為m，振動(dòng)方程為mD點(diǎn)坐標(biāo)為m，振動(dòng)方程為m例4.3：一平面簡(jiǎn)諧橫波以m/s的波速在均勻介質(zhì)中沿方向傳播。位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.01秒，振幅為0.1m，取原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)?！?〕寫出波動(dòng)方程；〔2〕寫出距原點(diǎn)2m處的質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)方程；〔3〕畫出秒和0.007秒時(shí)的波形圖；〔4〕假設(shè)以距原點(diǎn)2m處為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。解：〔1〕由題意m，秒，m/s可得圓頻率rad/s，波長(zhǎng)m由旋轉(zhuǎn)矢量圖知，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相位故原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為m波動(dòng)方程為m〔2〕m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為m〔3〕秒時(shí)，波形方程為因?yàn)?，故由時(shí)刻的波形向+x方向平移即可得時(shí)刻的波形。如下圖uu〔4〕Ex.4：秒的波形曲線如下圖，波速，沿方向傳播(m)(m)(m)21u0.50求：〔1〕點(diǎn)的振動(dòng)方程；〔2〕波動(dòng)方程解：〔1〕由時(shí)的波形圖可知，，，利用旋轉(zhuǎn)矢量圖法得出秒時(shí)點(diǎn)振動(dòng)相位OO，點(diǎn)的初相位點(diǎn)的振動(dòng)方程為〔2〕波動(dòng)方程Ex：一列機(jī)械波沿軸正向傳播，=0時(shí)的波形如下圖，波速為10m·s-1，波長(zhǎng)為2m，求：(1)波動(dòng)方程；(2)點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間．解:(1)由題5-13圖可知，時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初始條件為，∴由題知，，那么，圓頻率原點(diǎn)的振動(dòng)方程為波動(dòng)方程