3.1

不等式的性質(zhì)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.2.掌握不等式的性質(zhì).3.能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較及證明不等式.4.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,加強(qiáng)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、實(shí)數(shù)大小的比較【問(wèn)題思考】1.(1)對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有哪幾種可能?提示:兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有三種可能,即a>b,a=b,a<b.(2)如果a-b是正數(shù),那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何?反之成立嗎?提示:如果a-b是正數(shù),那么a>b,反之也成立,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可描述為a-b>0?a>b.(3)如果a-b是負(fù)數(shù),那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何?反之成立嗎?提示:如果a-b是負(fù)數(shù),那么a<b,反之也成立,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可描述為a-b<0?a<b.2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算與其大小關(guān)系:a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.3.某工廠8月的產(chǎn)量比9月的產(chǎn)量少;甲物體比乙物體重;A容器與B容器的容積相等.若前一個(gè)量用a表示,后一個(gè)量用b表示,則上述事實(shí)可分別表示為

a<b,

a>b,

a=b.二、不等式的性質(zhì)【問(wèn)題思考】1.(1)在解不等式x-3>2時(shí),通過(guò)移項(xiàng)得x>5,其理論依據(jù)是什么?提示:不等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)不等號(hào)方向不變.(2)已知3>2,若兩邊同時(shí)乘2,不等式成立嗎?若兩邊同時(shí)乘c(c為常數(shù)),不等式成立嗎?提示:同時(shí)乘2,不等式成立.兩邊同時(shí)乘c,不等式不一定成立,當(dāng)c=0時(shí),3c=2c;當(dāng)c>0時(shí),3c>2c;當(dāng)c<0時(shí),3c<2c.(3)已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N+)成立嗎?提示:成立.2.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1

如果a>b,且b>c,那么a>c.性質(zhì)2

如果a>b,那么a+c>b+c.性質(zhì)3

(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;(2)如果a>b,c<0,那么ac<bc.性質(zhì)4

如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性質(zhì)5

(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.特殊地,當(dāng)a>b>0時(shí),an>bn,其中n∈N+,n≥2.3.若a>b,c>d,則下列不等關(guān)系不一定成立的是(

)A.a-b>d-c

B.a+d>b+cC.a-c>b-c

D.a-c<a-d解析:由a>b,c>d,得a+c>b+d,移項(xiàng)得,a-b>d-c,A正確;由a>b得a-c>b-c,C正確;由c>d得-c<-d,所以a-c<a-d,D正確;B中,取值檢驗(yàn),當(dāng)a=3,b=1,c=6,d=3時(shí),a+d<b+c,故B不一定成立.答案:B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.(

√

)(2)若a>b,則ac2>bc2.(×)(3)若a+c>b+d,則a>b,c>d.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

作差比較大小【例1】

已知a,b均為正實(shí)數(shù).試?yán)米鞑罘ū容^a3+b3與a2b+ab2的大小.解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).當(dāng)a=b時(shí),a-b=0,所以a3+b3=a2b+ab2;當(dāng)a≠b時(shí),(a-b)2>0,又a>0,b>0,所以a+b>0,所以a3+b3>a2b+ab2.綜上所述,a3+b3≥a2b+ab2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.作差法比較實(shí)數(shù)大小的一般步驟是:作差→恒等變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步,變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的形式.【變式訓(xùn)練1】

已知x≤1,試比較3x3與3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0,所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.探究二

利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式分析:證明不等式,要緊扣不等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變形,注意條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.利用不等式的性質(zhì)證明不等式時(shí)的注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論證明不等式,一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì),并靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),應(yīng)嚴(yán)格遵循不等式的性質(zhì)成立的條件且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不可隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.探究三

不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例3】

已知a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a分析:根據(jù)已知條件兩兩作差比較→或根據(jù)a,b的范圍取特殊值驗(yàn)證→注意要在給定范圍內(nèi)解析:(方法一)因?yàn)閍<0,-1<b<0,所以ab2-a=a(b2-1)>0,ab-ab2=ab(1-b)>0.所以ab>ab2>a,故選D.答案:D1.本例中若把已知條件改為0<a<b<1,選項(xiàng)不變,哪一個(gè)不等式成立?答案:A答案:C利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立的兩種方法(1)直接法:判斷不等式成立,要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明;判斷不等式不成立,只需舉出一個(gè)反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三個(gè)原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡(jiǎn)單,便于驗(yàn)證計(jì)算;三是所取的值要有代表性.易

錯(cuò)

辨

析因忽視不等式的性質(zhì)的單向性致誤【典例】

已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.錯(cuò)解

1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?1.借助性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答,切忌連續(xù)多次使用,避免擴(kuò)大取值范圍.2.將所給條件整體使用,切不可隨意拆分所給條件.3.結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解.隨

堂

練

習(xí)1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關(guān)系是(

)A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b解析:由a+b>0知a>-b,-a<b.又b<0,所以-b>0,所以a>-b>b>-a.答案:C2.設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.與x有關(guān)答案:A3.若a,b,c,d為實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(

).A.若a<b,則a|c|<b|c|B.若ac2<bc2,則a<bC.若a<b,c<d,則a-c<b-dD.若a<b,c<d,則ac<bd解析:對(duì)于A,當(dāng)c=0時(shí),a|c|=b|c|=0,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,因?yàn)閍c2<bc2,所以c≠0.又因?yàn)閏2>0,所以a<b,所以B正確.對(duì)于C,如a=2,b=3,c=2,d=3時(shí),滿足a<b,c<d,但a-c=b-d,所以C