4.2

分層隨機(jī)抽樣的均值與方差4.3

百分位數(shù)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過實(shí)例理解分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)和樣本方差.2.抽象概括分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差公式.3.結(jié)合實(shí)例理解p分位數(shù)的意義,并會(huì)求解p分位數(shù).4.通過學(xué)習(xí)分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)和樣本方差,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)【問題思考】1.某工廠加工一批工藝品,熟練工人日平均加工100個(gè),學(xué)徒日平均加工40個(gè).提示:(1)不能.(2)不合理,由于熟練工人與學(xué)徒所占比例不同,故上述計(jì)算方法不合理.3.對(duì)于一般情況下,分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)怎樣求?二、分層隨機(jī)抽樣的方差【問題思考】分層隨機(jī)抽樣的方差是什么?三、百分位數(shù)【問題思考】1.總體的中位數(shù)有什么樣的特點(diǎn)?提示:總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是50%,因此也稱中位數(shù)是50%分位數(shù).2.總體的25%分位數(shù)有什么樣的特點(diǎn)?提示:總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是25%.3.常用的百分位數(shù)有哪些?提示:1%,5%,10%,25%,50%,75%,90%,95%,99%.4.(1)一般地,當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí),給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn):總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.(2)25%,50%,75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù).把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后,這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分,在這4個(gè)部分取值的可能性都是

.因此這三個(gè)百分位數(shù)也稱為總體的四分位數(shù).5.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟是什么?提示:第一步,按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);第二步,計(jì)算i=np;第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)在分層隨機(jī)抽樣中,僅知樣本中每層的平均數(shù),無(wú)法得到樣本的平均數(shù).(

√

)(2)一組數(shù)據(jù)有80個(gè),按從小到大排序,第80百分位數(shù)為第64項(xiàng)數(shù)據(jù).(

×

)(3)在頻率分布直方圖中,樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)即由小到大分組的累計(jì)頻率為0.8對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).(

√

)(4)百分位數(shù)用于描述一組數(shù)據(jù)某一百分位置的水平.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)與方差【例1】

某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡,中級(jí)職稱教師的人數(shù)為50,其平均年齡為38歲,方差是2,高級(jí)職稱的教師3人58歲,5人40歲,2人38歲,求該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師年齡的平均數(shù)和方差.【變式訓(xùn)練1】

在高一期中考試中,甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表:答案:C

探究二

用分層隨機(jī)抽樣的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例2】

某高校欲了解在校學(xué)生用于課外進(jìn)修的開支,在全校8000名學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了一個(gè)200人的樣本,根據(jù)統(tǒng)計(jì),本科生人數(shù)為全校學(xué)生數(shù)的70%,調(diào)查最近一個(gè)學(xué)期課外進(jìn)修支出(單位:元)的結(jié)果如表:試估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支和開支的方差.由于分層隨機(jī)抽樣,因此可以估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支為276.2元,開支的方差為1

484.76.【變式訓(xùn)練2】

一組樣本數(shù)據(jù)分為甲、乙兩組,用分層隨機(jī)抽樣的方法從甲組中抽取6個(gè)數(shù),其平均數(shù)為10,方差為50;從乙組中抽取4個(gè)數(shù),其平均數(shù)為15,方差為55,則估計(jì)這個(gè)樣本的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:12

58解析:設(shè)一班參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)在16名學(xué)生中的權(quán)重為w1,答案:B探究三

百分位數(shù)的計(jì)算【例3】

某中學(xué)從高一年級(jí)中抽取了30名男生,測(cè)量其體重?cái)?shù)據(jù)(單位:kg)如下:62

60

59

59

59

58

58

57

57

5756

56

56

56

56

56

55

55

55

5454

54

53

53

52

52

51

50

49

48(1)求這30名男生體重的25%,75%分位數(shù);(2)估計(jì)該校高一男生體重的80%分位數(shù).解:將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得48

49

50

51

52

52

53

53

54

5454

55

55

55

56

56

56

56

56

5657

57

57

58

58

59

59

59

60

62(1)由25%×30=7.5,75%×30=22.5,可知這組數(shù)據(jù)的25%,75%分位數(shù)分別是第8,23項(xiàng)數(shù)據(jù),從而得到25%分位數(shù)為53

kg,75%分位數(shù)為57

kg.(2)由80%×30=24,可知80%分位數(shù)為第24項(xiàng)與第25項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),據(jù)此可以估計(jì)該校高一男生體重的80%分位數(shù)為58

kg.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟:(1)按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);(2)計(jì)算i=np;(3)若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).探究四

百分位數(shù)的應(yīng)用【例4】

某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,實(shí)行“階梯式”電價(jià),將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過200kW·h的部分按0.5元/kW·h收費(fèi),超過200kW·h但不超過400kW·h的部分按0.8元/kW·h收費(fèi),超過400kW·h的部分按1.0元/kW·h收費(fèi).(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位:元)關(guān)于月用電量x(單位:千瓦時(shí))的函數(shù)解析式.(2)為了解居民的用電情況,通過抽樣獲得了今年1月100戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計(jì)分析后得到的頻率分布直方圖如圖(除最后一組為閉區(qū)間外,其余分組均為左閉右開區(qū)間).若這100戶居民中,今年1月用電費(fèi)用不超過260元的占80%,求a,b的值.(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù).解:(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),y=0.5x;當(dāng)200<x≤400時(shí),y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;當(dāng)x>400時(shí),y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為(2)由(1)可知,當(dāng)y=260時(shí),x=400,即用電量不超過400

kW·h的占80%,結(jié)合題中頻率分布直方圖可知解得a=0.001

5,b=0.002

0.(3)設(shè)75%分位數(shù)為m,因?yàn)橛秒娏康陀?00

kW·h所占的比例為(0.001

0+0.002

0+0.003

0)×100=60%,用電量不超過400

kW·h的占80%,所以75%分位數(shù)m在區(qū)間[300,400)內(nèi),所以0.6+(m-300)×0.002

0=0.75,解得m=375

kW·h,即用電量的75%分位數(shù)為375

kW·h.根據(jù)本例(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的15%分位數(shù).解:設(shè)15%分位數(shù)為x,因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)所占的比例為0.001

0×100=10%,用電量低于200千瓦時(shí)所占的比例為(0.001

0+0.002

0)×100=30%,所以15%分位數(shù)x在區(qū)間[100,200)內(nèi),所以0.1+(x-100)×0.002

0=0.15,解得x=125,即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時(shí).根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算,其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組,再應(yīng)用方程的思想方法,設(shè)出百分位數(shù),解方程可得.【變式訓(xùn)練4】

某社區(qū)為了解人們對(duì)環(huán)保知識(shí)的了解程度,在社區(qū)內(nèi)舉辦了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽,滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高),現(xiàn)從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組(第一組:[20,25),第二組:[25,30),第三組:[30,35),第四組:[35,40),第五組:[40,45]),得到頻率分布直方圖如圖6-4-4,已知第一組有5人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(3)以下是參賽的10人的成績(jī):90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求這10人成績(jī)的20%分位數(shù)和平均數(shù),以這兩個(gè)數(shù)據(jù)為依據(jù),評(píng)價(jià)參賽人員對(duì)環(huán)保知識(shí)的了解程度.易

錯(cuò)

辨

析對(duì)求p分位數(shù)的步驟不明確而致誤【典例】

從某城市隨機(jī)抽取14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī),對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下:8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43.則這14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額的50%,80%分位數(shù)分別為

,

.

錯(cuò)解

因?yàn)?4×50%=7,14×80%=11.2≈11,所以50%,80%分位數(shù)分別是第7,11項(xiàng),分別為20,31.答案

20

31以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述錯(cuò)解有3處錯(cuò)誤,第一,沒有把數(shù)據(jù)按從小到大排序;第二,14×50%=7,為整數(shù),此百分位數(shù)應(yīng)為第7項(xiàng)和第8項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù);第三,14×80%=11.2,不能四舍五入,此百分位數(shù)應(yīng)取第12項(xiàng)數(shù)據(jù).正解:把14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額按從小到大排序,得8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42,43.因?yàn)?4×50%=7,14×80%=11.2,所以50%分位數(shù)是第7項(xiàng)和第8項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即×(23+23)=23,80%分位數(shù)是第12項(xiàng)數(shù)據(jù)34.答案:23

341.明確求p分位數(shù)的步驟.2.注意np的值是整數(shù)和非整數(shù)時(shí)的百分位數(shù)的取值情況.【變式訓(xùn)練】

已知一組數(shù)據(jù)4.3,6.5,7.8,6.2,9.6,15.9,7.6,8.1,10,12.3,11,3,則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是

.

解析:把數(shù)據(jù)從小到大排序,得3,4.3,6.2,6.5,7.6,7.8,8.1,9.6,10,11,12.3,15.9,共有12個(gè)數(shù).因?yàn)?2×75%=9,所以75%分位數(shù)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即

(10+