2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識梳理直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。PaL2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。知能訓(xùn)練一．選擇題1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上的一點，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是（）

A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的體積為8B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為8C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的體積為163D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為163．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PE⊥AC．則動點P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形是（）A．B．C．D．4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折．給出四個結(jié)論：

①DF⊥BC；

②BD⊥FC；

③平面DBF⊥平面BFC；

④平面DCF⊥平面BFC．

在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是（）A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，則該球的表面積為（）A．16πB．24πC．322πD．48π6．設(shè)O是空間一點，a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是（）A．當(dāng)a∩b=O且a?α，b?α?xí)r，若c⊥a，c⊥b，則c⊥αB．當(dāng)a∩b=O且a?α，b?α?xí)r，若a∥β，b∥β，則α∥βC．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βD．當(dāng)b?α?xí)r，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c7．已知平面α⊥平面β，點A∈α，則過點A且垂直于平面β的直線（）A．只有一條，不一定在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)C．只有一條，一定在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)8．如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角9．下列命題中錯誤的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，AC∩EF=G．現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，則在四面體P-AEF中必有（）A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF．現(xiàn)有①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF．那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個12．在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）A．5B．8C．10D．613．經(jīng)過一條直線與一個平面垂直的平面?zhèn)€數(shù)是（）A．1B．2C．無數(shù)D．以上答案都不正確14．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為π4和π6．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB：A．2：1B．3：1C．3：2D．4：315．已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則與平面ABCD垂直的直線MN有（）A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條16．三棱錐P-ABC的高為PH，若P到△ABC的三邊的距離相等，若H在△ABC內(nèi)，則H為△ABC的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．垂心或內(nèi)心17．如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在面ABC上的射影H必在（）A．直線AB上B．直線BC上C．直線CA上D．△ABC內(nèi)部18．如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：

①直線BE與直線CF異面；

②直線BE與直線AF異面；

③直線EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD．

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個二．填空題19．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足時，平面MBD⊥平面PCD．（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）20．已知平面α，β和直線，給出條件：

①m∥α；

②m⊥α；

③m?α；

④α⊥β；

⑤α∥β．

（i）當(dāng)滿足條件時，有m∥β；

（ii）當(dāng)滿足條件時，有m⊥β．（填所選條件的序號）21．已知AB是平面α的垂線，AC是平面α的斜線，CD∈平面α，CD⊥AC，則面面垂直的有．22．設(shè)△ABC的三個頂點在平面α的同側(cè)，AA1⊥平面α于點A1，BB1⊥平面α于點B1，CC1⊥平面α于點C1，G、G1分別是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，則GG1=．23．設(shè)α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m⊥n，m⊥α，n?α則n∥α；

②若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，則n⊥β；

③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；

④若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．

其中所有真命題的序號是．24．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP與BD1垂直，則動點P的軌跡為．25．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值等于

．26．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=2a，則它的5個面中，互相垂直的面有對．第24題第25題第26題三．解答題27．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分別是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中點，求證：

（Ⅰ）直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）直線AC1⊥平面PQMN．28．在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形

（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）設(shè)D、E分別是線段BC、CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．29．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點．

（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）求證：C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．30．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．求證：BC⊥平面ACD；

【參考答案】1-5BCABD6-10CCDDA11-15BBDAB16-18AAB19.DM⊥PC（或BM⊥PC等）20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD22.523.①②24.線段CB125.126.527.證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接AD1，

∵AD1∥BC1，且F、P分別是AD、DD1的中點，

∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，

又FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，

∴直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）如圖，

連接AC、BD，則AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴CC1⊥BD；

又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，

又AC1?平面ACC1，∴BD⊥AC1；

又∵M、N分別是A1B1、A1D1的中點，

∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；

同理可證PN⊥AC1，

又PN∩MN=N，∴直線AC1⊥平面PQMN．28.（Ⅰ）證明：∵四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形，

∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，

∵AB∩AC=A，

∴AA1⊥平面ABC，

∵BC?平面ABC，

∴AA1⊥BC，

∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，

∴直線BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）解：取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點，則O為AC1的中點．

連接MD，OE，則MD∥AC，MD=12AC，OE∥AC，OE=12AC，

∴MD∥OE，MD=OE，

連接OM，則四邊形MDEO為平行四邊形，

∴DE∥MO，

∵DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，

∴DE∥平面A1MC，

∴線段AB上存在一點M（線段AB的中點），使直線DE∥平面A29.（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，

∴BB1⊥AB，

∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，

∴AB⊥B1BCC1，

∵AB?平面ABE，

∴平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）證明：取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G，則

∵F是BC的中點，

∴FG∥AC，F(xiàn)G=12AC，

∵E是A1C1的中點，

∴FG∥EC1，F(xiàn)G=EC1，

∴四邊形FGEC1為平行四邊形，

∴C1F∥EG，

∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，

∴C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AB=3，

∴VE-ABC=S△ABC?AA1=13×12×3×1×2=30.解：（Ⅰ）在圖1中，可得AC＝BC＝22，從而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

取AC中點O連接DO，則DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，

面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，從而OD⊥平面ABC，（4分）

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD（6分）

另解：在圖1中，可得AC＝BC＝22，

從而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，從而BC⊥平面ACD必修二第一章空間幾何體的結(jié)構(gòu)1．下列幾何體中棱柱有()A．5個 B．4個C．3個 D．2個 2．有兩個面平行的多面體不可能是()A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．以上都錯3．一棱柱有10個頂點，且所有側(cè)棱長之和為100，則其側(cè)棱長為()A．10 B．20C．5 D．154．下列命題中正確的是()A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B．兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．棱臺的底面是兩個相似的正方形D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點5．面數(shù)最少的棱柱為________棱柱，共由________個面圍成．解析：棱柱有相互平行的兩個底面，其側(cè)面至少有3個，故面數(shù)最少的棱柱為三棱柱，共有五個面圍成．6.如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，沿AE，AF，EF將其折成一個多面體，則此多面體是______________．7．如圖，這是一個正方體的表面展開圖，把它再折成正方體.有下列命題：①點H與點C重合；②點D與點M、點R重合；③點B與點Q重合；④點A與點S重合．其中,正確命題的序號是________．(注：把你認為正確的命題的序號都填上)8．在一個長方體的容器中，裝有少量水.現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中,(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎？(2)水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐，對嗎？(3)如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個頂點，上面的第(1)題和第(2)題對不對？9．對于四面體ABCD，下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．①相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；②由頂點A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；④任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；⑤分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點．10.右圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()11．以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是()A．兩個圓錐拼接而成的組合體B．一個圓臺C．一個圓錐D．一個圓錐挖去一個同底的小圓錐12．給出下列命題：①在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線相互平行．其中正確的是()A．①② B．②③C．①③ D．②④13.給出如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是()A．該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體B．該幾何體有12條棱、6個頂點C．該幾何體有8個面，并且各面均為三角形D．該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形14．給出下列7種幾何體：(1)柱體有________；(2)錐體有________；(3)球有________；(4)棱柱有________；(5)圓柱有________；(6)棱錐有________；(7)圓錐有________．15．已知ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD，且AB＞CD，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由________和________構(gòu)成的組合體．斜二測畫法1．關(guān)于斜二測畫法，下列說法不正確的是()A．原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變B．原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)C．在畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45°D．在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同2．如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()3．建立坐標(biāo)系，得到兩個正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()4.如圖所示的正方形O′A′B′C′，其邊長為1cm，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A．6cmB．8cmC．(2＋3eq\r(2))cmD．(2＋2eq\r(3))cm5．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是________．6．如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________．7．如圖所示，△ABC中，AC＝10cm，邊AC上的高BD＝10cm，求其水平放置的直觀圖的面積．8．用斜二測畫法畫出底面邊長為4cm，高為3cm的正四棱錐(底面是正方形，并且頂點在底面的正射影是底面中心的棱錐)的直觀圖．三視圖1．如圖所示物體的三視圖是()2．如圖，幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是()3.(2011·新課標(biāo)全國高考)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()4．如圖所示，在這4個幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()A．①② B．①③C．①④ D．②④5．下圖中三視圖所表示幾何體的名稱為________．第5題圖第4題圖6．如圖所示，點O為正方體ABCD-A′B′C′D′的中心，點E為面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序號)．7．說出圖中的三視圖表示的幾何體，并畫出它的示意圖．8．如圖所示的幾何體是由一個長方體木塊鋸成的．(1)判斷該幾何體是否為棱柱；(2)畫出它的三視圖．9．(2011·廣東高考)如圖，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A．18eq\r(3) B．12eq\r(3)C．9eq\r(3) D．6eq\r(3)10．(2011·遼寧高考)一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示．左視圖是一個矩形．則這個矩形的面積是________．A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)立體幾何三視圖體積表面積側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖正視圖俯視圖2221．一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積為（）（A）（B）（C）（D）2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）3．一個幾何體的三視圖如圖，則其體積為（）A．B．6C．D．54．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等邊三角形．該四棱錐的體積等于（）正視圖側(cè)視圖俯視圖A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．6eq\r(3)正視圖側(cè)視圖俯視圖5．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為（A）200+9π（B）200+18π（C）140+9π（D）140+18π8．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是（）9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A．B．2C．D．10．如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為（）A．8B．16C．32D．64二、填空題11．一個四棱柱的三視圖如圖所示，則其體積為_______12．若某幾何體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的體積是______.13．若某多面體的三視圖如右