廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)2024屆高三高考適應(yīng)性考試（零診）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．2．已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．3．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．4．已知變量x，y間存在線性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.55．函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為（）A． B． C． D．6．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．87．中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A．-5 B．2 C．7 D．119．設(shè)復(fù)數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．10．定義在上函數(shù)滿足，且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．12．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域的外接圓的面積為_(kāi)_____．14．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．15．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為_(kāi)_____.16．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，其中為切點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最小值.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、、（），求證：.19．（12分）某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)）.年份年份代號(hào)年利潤(rùn)（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式：，.20．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．21．（12分）設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求的最小值.22．（10分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【題目詳解】如圖，設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過(guò)求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【題目詳解】如圖；設(shè)AB的中點(diǎn)為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設(shè)外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【題目詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因?yàn)椋纯傻玫?，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．4、A【解題分析】

計(jì)算，代入回歸方程可得．【題目詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)．5、D【解題分析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【題目詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，，.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【題目詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的算籌即可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位用縱式表示；十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【題目詳解】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候，解得所以，此時(shí)故選A項(xiàng)【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.9、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)即可求解.【題目詳解】復(fù)數(shù)，則故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【題目詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【題目點(diǎn)撥】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.11、C【解題分析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【題目詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解題分析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【題目詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【題目詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【題目點(diǎn)撥】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【解題分析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【題目詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設(shè)f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵15、【解題分析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【題目詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點(diǎn)斜式求切線方程即可【題目詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【題目點(diǎn)撥】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析，最小值為4【解題分析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，由此判斷出直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.【題目詳解】（1）依題意，解得（負(fù)根舍去）∴拋物線的方程為（2）設(shè)點(diǎn)，由，即，得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即∵，∴∵點(diǎn)在切線上，①，同理，②綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可知：當(dāng)，此時(shí)直線直線的斜率為，得于是，而把直線代入中消去得，即：當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為4【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.18、（1）①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【題目詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，令得，解得，又，∴∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞減，∴，即設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調(diào)遞增，∴要證，即證設(shè)，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，∴，即（注意：若沒(méi)有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時(shí)，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過(guò)分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.19、（Ⅰ），該公司年年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤(rùn)的估計(jì)值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計(jì)算出從年至年這年被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的年數(shù)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【題目詳解】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得，，，又，，，關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)估計(jì)值的有年.故這年中被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年，評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年.記“從年至年這年的年利潤(rùn)中隨機(jī)抽取年，恰有年為級(jí)利潤(rùn)年”的概率為，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算，涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、(Ⅰ)極大值為：，無(wú)極小值；(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解題分析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)