河北省滄州市2024屆高三下學(xué)期3月月考（文理）數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線(xiàn)與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線(xiàn)與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與l平行D．α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l相交2．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．13．已知圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．44．設(shè)集合（為實(shí)數(shù)集），，，則（）A． B． C． D．5．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線(xiàn)與圓相交的概率為（）A． B． C． D．7．正方形的邊長(zhǎng)為，是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．6010．若向量，，則與共線(xiàn)的向量可以是（）A． B． C． D．11．點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．12．已知集合，集合，則A． B．或C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．14．設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________15．已知圓C：經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)E：的焦點(diǎn)，則拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)與圓C相交所得弦長(zhǎng)是__________.16．的角所對(duì)的邊分別為，且，，若，則的值為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿(mǎn)足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.18．（12分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．19．（12分）數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）設(shè)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：；（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過(guò)條件判斷直線(xiàn)l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【題目詳解】根據(jù)直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α可知直線(xiàn)l與平面α相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，難度不大.2、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

因?yàn)閳A與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【題目詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、A【解題分析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【題目詳解】集合,,所以所以故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋灾恍鑼⒌膱D象向右平移個(gè)單位.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解題分析】

利用直線(xiàn)與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由于直線(xiàn)與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線(xiàn)與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

分別以直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，可求，而，化簡(jiǎn)求解.【題目詳解】解：建立以為原點(diǎn)，以直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，則，，由，即，得.所以=，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【題目詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線(xiàn)且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，滿(mǎn)足，但此時(shí)，不共線(xiàn)且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【題目點(diǎn)撥】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．9、D【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題10、B【解題分析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【題目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.11、C【解題分析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【題目詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線(xiàn).正方體的棱長(zhǎng)為2，所以?xún)?nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問(wèn)題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、C【解題分析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【題目詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【題目詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),設(shè)點(diǎn)為,則到直線(xiàn)的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題.15、【解題分析】

求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)的一半，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)．【題目詳解】拋物線(xiàn)E:的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為（0，1），把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，所以弦長(zhǎng)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)、圓的弦長(zhǎng)公式．16、【解題分析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【題目詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿(mǎn)足，所以即.因?yàn)?，解得或（舍?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、特征值為1，特征向量為．【解題分析】

設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個(gè)特征向量.【題目詳解】設(shè)矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設(shè)特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個(gè)特征向量為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查矩陣的運(yùn)算及特征量的求解，矩陣運(yùn)算的關(guān)鍵是明確其運(yùn)算規(guī)則，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、（1）（2）【解題分析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，可求得．【題目詳解】解：（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得因?yàn)椋越獾?，故．?）由（1）得．所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得．【題目點(diǎn)撥】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法．19、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）【解題分析】

（1）利用，推出，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項(xiàng)法，即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【題目詳解】（1）由題意，數(shù)列滿(mǎn)足且可得，即，所以數(shù)列是公差，首項(xiàng)的等差數(shù)列，故，所以.（2）由（1）知，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和：==【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及“裂項(xiàng)法”求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【題目詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類(lèi)討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【題目詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（Ⅱ）設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時(shí)，此時(shí),且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因?yàn)?,故設(shè)的解為,因?yàn)?故.所以在遞減,在遞增.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,故.結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設(shè)的解為,則；設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問(wèn)題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問(wèn)的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2